重溫函數(shù)綜合經(jīng)典，探究考題思路解法

江瑜

[摘? 要] 二次函數(shù)與幾何相結合的綜合題是初中數(shù)學的經(jīng)典問題，其解法思路和突破方法較為特殊，對學生的知識儲備和分析思維有較高的要求. 文章以一道二次函數(shù)綜合題為例，開展思路點撥、解法探究，并適度拓展，提出相應的學習建議，與讀者交流.

[關鍵詞] 二次函數(shù);綜合;周長;面積;數(shù)形結合

考題再現(xiàn)

試題？搖 （2019年四川涼山中考數(shù)學）如圖1，拋物線y=ax2+bx+c的圖像經(jīng)過A（-1，0），B（3，0），C（0，3）三點，試回答下列問題.

（1）試求拋物線的解析式.

（2）在拋物線的對稱軸上是否存在一點P，使得△PAC的周長最小？若存在，請求出點P的坐標及△PAC的最小周長;若不存在，請說明理由.

（3）在（2）的條件下，在x軸上方的拋物線上是否存在一點M（不與點C重合），使得S△PAM=S△PAC？若存在，請求出點M的坐標;若不存在，請說明理由.

思路點撥

本題屬于二次函數(shù)綜合問題，所涉及的三個小問具有一定的難度和梯度，能夠全面考查拋物線的基本特征與知識關聯(lián)，下面結合問題特點進行思路點撥.

（1）該問求拋物線的解析式，有兩種思路：一是按部就班地根據(jù)拋物線上三點的坐標構建關于拋物線系數(shù)的三元一次方程組;二是根據(jù)A，B，C三點的位置特性——點A和點B為拋物線與x軸的兩個交點，將拋物線的解析式設為特殊形式y(tǒng)=a（x-xA）（x-xB），于是只需要求出a的值即可.

（2）該問為最小周長存在性問題，根據(jù)周長公式可知，C△PAC=AC+PA+PC，由于點P位于拋物線的對稱軸上，即AB的垂直平分線上，根據(jù)該性質可知PA=PB，于是C△PAC=AC+PB+PC. 又AC的長固定，于是根據(jù)“兩點之間，線段最短”原理可知，當C，P，B三點共線時，C△PAC=AC+BC，此時△PAC的周長取得最小值，結合“直線相交求交點”即可確定點P的坐標.

（3）該問需要利用（2）問的條件，即點P的坐標確定. 對于△PAM和△PAC，可將兩個三角形均視為是以PA為底的三角形，顯然當點M和點C到PA的距離相等時即可確保兩者面積相等. 分析三角形特點可知點M的位置有兩種情形：①點M位于點P的上方;②點M位于點P的下方. 具體分析時需要結合相應的圖像，采用數(shù)形結合的方式挖掘隱含條件，簡化求解過程.

問題詳解

（1）因為A（-1，0），B（3，0）是拋物線與x軸的兩個交點，所以設拋物線的解析式為y=a（x+1）（x-3）. 將C（0，3）代入其中，則有-3a=3，解得a=-1. 整理后可得拋物線的解析式為y=-x2+2x+3.

（2）在拋物線的對稱軸上存在一點P，使得△PAC的周長最小，具體如下：

連接PB和PC，如圖2. 因為點A和點B關于拋物線的對稱軸x=1對稱，所以PA=PB. 所以△PAC的周長C△PAC=AC+PA+PC= AC+PB+PC，其中AC為定值，PB和PC的長與點P的位置相關. 分析可知，當C，P，B三點在同一條直線上時，PB+PC=BC，此時△PAC的周長最小，且點P為直線BC與直線x=1的交點. 容易求得直線BC的解析式為y=-x+3，于是可求得點P的坐標為（1，2）. 因為AC=■=■，BC=■=3■，所以△PAC的周長的最小值為■+3■. 綜上所述，當點P的坐標為（1，2）時，△PAC的周長最小，且最小值為■+3■.

（3）存在滿足條件的點M，使得S△PAM =S△PAC，具體如下. 若S△PAM=S△PAC，將△PAM和△PAC均視為是以PA為底的三角形，則點C和點M到直線PA的距離相等. 此時點M的位置有以下兩種情形：

①當點M位于點P的上方時，如圖3. 由于點M和點C到PA的距離相等，所以MC∥PA. 又直線PA的解析式為y=x+1，所以可設直線MC的解析式為y=x+b，代入點C的坐標后可求得直線MC的解析式為y=x+3. 聯(lián)立直線CM與拋物線的解析式，可求得點M的坐標為（1，4）.

②當點M位于點P的下方時，如圖4. 設點M所在的直線為l，結合情形①可知，需要確保直線l、直線PA與直線y=x+3互相平行，且直線l到直線PA的距離與直線y=x+3到直線PA的距離相等. 此時可以從平移的視角來分析：直線l是由直線y=x+3經(jīng)過兩次平移得到的，即直線y=x+3向下平移2個單位長度得到直線PA，在此基礎上繼續(xù)向下平移2個單位長度得到直線l，故直線l的解析式為y=x-1. 聯(lián)立直線l與拋物線的解析式，結合點M位于點P下方和點P在x軸上方，可確定此時點M的坐標為■，■.

綜上可知，當點M的坐標為（1，4）或■，■時，有S△PAM= S△PAC .

問題點睛

上述考題以求解拋物線解析式、分析周長和面積存在性為依托，考查學生對待定系數(shù)法、軸對稱最短路徑、平行線間的距離處處相等和利用方程求交點等知識內容的掌握情況. 其中核心之問是第（3）問的三角形面積相等存在性問題. 解析時，首先從等底視角將問題轉化為分析點到直線的距離，然后借助平行線之間的性質來對不同的情形加以討論. 總體來看，采用數(shù)形結合方法分析問題，利用圖形分析簡化問題，運用方程求解確定坐標.

面積存在性問題是中學數(shù)學的重難點問題之一，總體而言，問題突破采用的是“假設—驗證”的思路，首先假設面積情形存在，然后根據(jù)問題條件加以驗證. 而在實際分析時有以下兩種解題策略：一，幾何法，即確定研究目標，分析圖像特點，結合幾何性質直接論證面積相等情形是否成立;二，代數(shù)法，根據(jù)面積公式構建代數(shù)方程，通過研究方程的解來確定假設是否成立.

而在實際解析時，可以參照上述幾何與代數(shù)相結合的方法，利用直觀的圖像挖掘隱含信息，采用代數(shù)方程來確定最終答案.

拓展精練

面積存在性問題的考查形式眾多，除了上述等面積的形式外，還有面積比值形式，該類型的突破思路與其相似——首先結合面積公式加以轉化，然后通過代數(shù)分析求解滿足條件的情形.

拓展？搖 （2019年遼寧營口中考數(shù)學）在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過A（-1，0），B（3，0）兩點，與y軸交于點C，連接AC，BC，將△OBC沿BC所在的直線翻折，得到△DBC，連接OD.

（1）用含a的代數(shù)式表示點C的坐標;

（2）如圖5，若點D落在拋物線的對稱軸上，且在x軸上方，求拋物線的解析式;

（3）設△OBD的面積為S1，△OAC的面積為S2，若■=■，求a的值.

解析？搖 前兩問較為基礎，此處主要分析第（3）問的面積比值問題. 如圖6，當點C位于x軸上方時，連接OD與BC交于點H，此時OD⊥BC. 分別過點H和點D作x軸的垂線，設垂足分別為N和M. 設OC=m=-3a，則S1=S△OBD=■·OB·DM=■·DM，S2=S△OAC=■·OA·OC=■. 所以■=■DM·■=■. 所以DM=■m，HN=■=■OC. 進而可得BN=■，ON=■. 分析可知∠BHN=∠HON，所以tan∠BHN=tan∠HON. 所以HN2=ON×BN=■=■2，解得m=6■. 所以a=-2■. 當點C位于x軸下方時，同理可得a=2■. 綜上可知，若■=■，則a=±2■.

解后思考

上述對一道二次函數(shù)綜合題的解法進行了深入探討，呈現(xiàn)了問題的解析思路和突破方法，其解法具有一定的參考價值，下面提出幾點學習建議.

1. 深刻認識問題本質

以二次函數(shù)為背景的面積存在性問題是中考的經(jīng)典問題，該類問題的特點有兩個：一是二次函數(shù)與幾何進行融合，二是需要對存在性情形加以討論. 從問題的解析過程來看，實則就是分析圖形的面積關系，因此利用面積公式進行問題轉化是突破的關鍵，本質上依然是函數(shù)、方程問題，即根據(jù)函數(shù)解析式構建方程，聯(lián)立方程求解交點坐標. 實際學習時，需要把握問題特點，深刻認識問題本質，以關聯(lián)知識為突破口構建解題思路.

2. 全面掌握解題策略

上述呈現(xiàn)了面積存在性問題的解題策略，即以數(shù)形結合為指導，利用直觀的圖像提取拋物線的特征，挖掘問題條件，確定分類標準，構建解析方程，利用代數(shù)分析來確定交點坐標，論證猜想. 數(shù)形結合的分析方式可以有效降低思維難度，構建簡潔的解題思路，而在具體解析時需要掌握分類作圖的方法. 拋物線的對稱性很容易造成問題多解，此時就需要結合點的位置特性對面積圖像加以剖析，以確定分類圖像.

3. 充分領會解題思想

從思想層面來看，上述面積存在性分析過程可以分為化歸轉化、分類討論、模型構造和數(shù)形結合等多個階段，其中涉及對應的數(shù)學思想，正是在數(shù)學思想的指導下完成了問題轉化及簡答過程. 數(shù)學思想對于求解函數(shù)綜合性問題來說有著極大的幫助，因此在實際教學中教師需要引導學生從思想高度來理解解析過程，明晰存在性問題的思想考向，強化學生的數(shù)學思想，提升學生的思維水平. 另外，數(shù)學思想提升是一個長期的過程，教學中教師要引導學生不斷練習、深入反思、逐步內化，從而形成自身的解題技能.