一道中考反比例函數(shù)試題的解法探究

祝明基

[摘? 要] 一份好的中考試卷應(yīng)該與考試說(shuō)明要求相吻合，知識(shí)點(diǎn)覆蓋合理;貼近教材，應(yīng)用性和開(kāi)放性適度;突出數(shù)學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ)性和綜合性;主干知識(shí)考查到位，核心知識(shí)重點(diǎn)考查;注重“雙基”，側(cè)重能力評(píng)價(jià);以人為本，促進(jìn)學(xué)生發(fā)展. 全卷應(yīng)充分體現(xiàn)新課程標(biāo)準(zhǔn)的評(píng)價(jià)理念，試卷中所滲透出的教育信息既要對(duì)今后初中數(shù)學(xué)教學(xué)起到良好的導(dǎo)向作用，又應(yīng)體現(xiàn)選拔功能.

[關(guān)鍵詞] 反比例函數(shù);中考;試題解法

試題呈現(xiàn)

試題如圖1，函數(shù)y=x的圖像與函數(shù)y=■的圖像在第一象限交于點(diǎn)B，點(diǎn)C是函數(shù)y=■在第一象限圖像上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn). 當(dāng)△OBC的面積為3時(shí)，點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為_(kāi)_____.

試題考查要點(diǎn)分析

本題是一道創(chuàng)新題，入口低，具有多種解題方法，體現(xiàn)了命題的層次性，是一道老題新做. 此題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，涉及的知識(shí)有反比例函數(shù)中k的幾何意義，梯形、三角形的面積求法，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，解方程，相似三角形等. 考查分類討論思想，分類討論時(shí)注意不重不漏，考慮問(wèn)題要全面. 據(jù)了解，該題在桂林全市的得分相當(dāng)?shù)?，難度系數(shù)只有0.18，在全卷中算是一道小綜合題，具有很強(qiáng)的選拔功能.

試題解法探究

按分類思想，點(diǎn)C的位置有兩種情況：在直線OB的左邊或右邊. 本題的解法主要分為如下兩大類型.

1. 面積變換法

（1）填補(bǔ)法

當(dāng)點(diǎn)C在直線OB左邊時(shí)，如圖2，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥x軸，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥x軸，垂足分別為F，E. 聯(lián)立y=x與y=■可求得B（2，2）. 由函數(shù)y=■圖像上的點(diǎn)的幾何意義可得△OCF與△OBE的面積均為2，又△OBC的面積為3，所以S■+S■= S■+S■=5. 由條件令Cc，■，則有2+■·■+2·（2-c）=5，解得c=-4（舍去）或c=1，此時(shí)c=1.

當(dāng)點(diǎn)C在直線OB右邊時(shí)，如圖3，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥x軸，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥x軸，垂足分別為F，E. 同理可求出c=-1（舍去）或c=4.

綜上可知，滿足條件的點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為1或4.

（2）分割法

如圖4，當(dāng)點(diǎn)C在直線OB的右邊時(shí)，過(guò)點(diǎn)B作BD⊥x軸，CH⊥x軸，垂足分別為D，H，BD交OC于點(diǎn)E. 易求得B（2，2），S■=S■+S■=■BE·OH. 令Cc，■，由△ODE∽△OHC，得■=■，即■=■，所以DE=■. 所以3=■·2-■·c，解得c=4或c=-1（舍去）. 同理，當(dāng)點(diǎn)C在直線OB的左邊時(shí)，c=1. 綜上可知，滿足條件的點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為1或4.

（3）等積法

容易求得B（2，2）. 當(dāng)點(diǎn)C在直線OB的右邊時(shí)，過(guò)點(diǎn)B作BD⊥x軸，CH⊥x軸，垂足分別為D，H，BD交OC于點(diǎn)E，如圖5. 因?yàn)镾■+S■=S■+S■，又S■=S■=2，所以S■=S■. 由條件設(shè)Cc，■，則3=■·■+2·（c-2），解得c=4或c=-1（舍去）. 同理，當(dāng)點(diǎn)C在直線OB的左邊時(shí)，可求得c=1. 綜上可知，滿足條件的點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為1或4.

（4）構(gòu)造三角形法

當(dāng)點(diǎn)C在直線OB的右邊時(shí)，如圖6，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥x軸，與x軸交于點(diǎn)D，與直線OB交于點(diǎn)H，則S■=S■-S■. 容易求得B（2，2），令Cc，■，則H（c，c），HC=c-■. 所以3=■·c-■c-■·c-■（c-2）=c-■，解得c=4或c=-1（舍去）. 同理，當(dāng)點(diǎn)C在直線OB的左邊時(shí)，可求得c=1. 綜上可知，滿足條件的點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為1或4.

2. 函數(shù)解析法

當(dāng)點(diǎn)C在直線OB的右邊時(shí)，如圖7. 過(guò)點(diǎn)C作直線CD∥OB交x軸于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥x軸，垂足為E，過(guò)點(diǎn)D作DH⊥OB，垂足為H，過(guò)點(diǎn)C作CN⊥OB，垂足為N. 因?yàn)锽是直線OB與雙曲線的交點(diǎn)，所以B（2，2）. 所以O(shè)B=2■. 由S■=■OB·CN得3=■×2■×CN，所以CN=■. 所以DH=■. 在Rt△DOH中，因?yàn)椤螪OH=45°，所以O(shè)H=DH=■，OD=3. 所以點(diǎn)D的坐標(biāo)為（3，0）. 因?yàn)镃D∥OB，所以可設(shè)直線CD的解析式為y=x+b，將（3，0）代入后可解得b=-3，所以直線CD的解析式為y=x-3. 聯(lián)立y=■，y=x-3， 可解得x=4或x=-1（舍去）. 所以此時(shí)滿足條件的點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為4.

當(dāng)點(diǎn)C在直線OB的左邊時(shí)，如圖8，過(guò)點(diǎn)C作直線CD∥OB交y軸于點(diǎn)D，分別過(guò)點(diǎn)C和點(diǎn)D作直線OB的垂線段. 同上述解法，可求得點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，3），于是直線CD的解析式為y=x+3. 聯(lián)立y=■，y=x+3， 解得x=1或x=-4（舍去）. 所以此時(shí)滿足條件的點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為1.

綜合可知，滿足條件的點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為1或4.

教學(xué)建議

1. 強(qiáng)化對(duì)反比例函數(shù)中k的幾何意義的理解，熟悉基本圖形，熟悉基本技能的應(yīng)用. 例如，如圖9，A是反比例函數(shù)y=■（x>0）圖像上一點(diǎn)，AB⊥x軸，垂足為B，AC⊥y軸，垂足為C. 若四邊形OBAC的面積為3，則k的值為_(kāi)_____.

2. 函數(shù)圖像上的點(diǎn)的表示尤為重要. 在教學(xué)中，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生將點(diǎn)的坐標(biāo)轉(zhuǎn)化成相關(guān)線段的長(zhǎng)，再用幾何知識(shí)解題.

3. 教學(xué)中應(yīng)滲透試題的變式訓(xùn)練. 學(xué)生能自己命題是復(fù)習(xí)的最高境界.

4. 教學(xué)中應(yīng)加強(qiáng)學(xué)生知識(shí)綜合能力的提升，強(qiáng)化數(shù)形結(jié)合思想方法.

5. 注重一題多解和多題一解相結(jié)合，前者注重挖掘題型的功能——多角度、全方位地理解試題，強(qiáng)調(diào)思維的多向性;后者注重訓(xùn)練學(xué)生的歸納能力.