一題多解 拓展思維

陳俐青

[摘? 要] 一題多解的教學(xué)方法，能反映學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)掌握的程度，又能考查學(xué)生的思維靈活度. 縱觀初中數(shù)學(xué)中考試題，有不少是一題多解的題型. 因此，教師在日常課堂教學(xué)中，應(yīng)關(guān)注習(xí)題或例題的一題多解教學(xué)，通過(guò)問(wèn)題情境的設(shè)置或題型的轉(zhuǎn)換，整合交匯各個(gè)知識(shí)點(diǎn)，讓題目充滿靈動(dòng)與智慧，以激發(fā)學(xué)生自主學(xué)習(xí)的欲望，從而拓展思維能力.

[關(guān)鍵詞] 一題多解;思維;證明

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)固然離不開解決問(wèn)題，而解決問(wèn)題的關(guān)鍵在于緊扣問(wèn)題的核心，捕捉到問(wèn)題中有用的數(shù)學(xué)信息，結(jié)合學(xué)生已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析，獲得解題方法，這是優(yōu)化學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)，提高解題能力，培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維的過(guò)程. 特別是一些看似復(fù)雜的問(wèn)題，卻有多種解決方法，教師要引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的特征，尋找解題的突破口，根據(jù)數(shù)學(xué)模型，逐層深入、循序漸進(jìn)地進(jìn)行解題，以培養(yǎng)學(xué)生的思維能力. 本文筆者結(jié)合一道一題多解的證明案例，進(jìn)行拓展分析，談?wù)勅绾卧谝坏李}中巧妙地運(yùn)用數(shù)學(xué)思想，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的內(nèi)驅(qū)力，以提升其思維能力.

問(wèn)題? 如圖1，點(diǎn)O在線段AB上，AO=2，OB=1，OC為射線，且∠BOC=60°，動(dòng)點(diǎn)P以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從點(diǎn)O出發(fā)，沿射線OC做勻速運(yùn)動(dòng)，若運(yùn)動(dòng)時(shí)間是t秒.

（1）當(dāng)t=■秒時(shí)，則OP=________，S■=________;

（2）當(dāng)△ABP是直角三角形時(shí)，求t的值;

（3）如圖2，當(dāng)AP=AB時(shí)，過(guò)點(diǎn)A作AQ∥BP，并使得∠QOP=∠B，求證：AQ·BP=3.

分析：本題題干簡(jiǎn)潔明了，結(jié)構(gòu)合理，圖像清楚，內(nèi)涵較豐富，問(wèn)題的梯度也一目了然，是一道集知識(shí)與思想于一體的運(yùn)動(dòng)綜合題.

第（1）問(wèn)的起點(diǎn)比較低，當(dāng)t=■秒時(shí)，則OP=1，S■=■.

第（2）問(wèn)把方程思想和分類討論思想融于一體，當(dāng)△ABP為直角三角形的時(shí)候，①因?yàn)椤螦<∠BOC=60°，所以∠A不會(huì)是直角;②若∠ABP=90°，則t=■=■=1;③若∠APB=90°，容易求得t=■.

第（3）問(wèn)的解題入口比較寬，解題方法也有多種，但這一問(wèn)對(duì)學(xué)生思維的廣度和深度提出了較高的要求，也是壓軸題區(qū)分學(xué)生水平能力的典型表現(xiàn). 在解題時(shí)，可捕捉結(jié)論中的數(shù)學(xué)信息，以確定思維的方向，將問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為幾何的關(guān)系，實(shí)現(xiàn)條件與結(jié)論的互相交流.

隱含信息：待證明的結(jié)論AQ·BP=3可轉(zhuǎn)化成比例式■=■，通過(guò)包含線段AQ與長(zhǎng)度為3的線段的三角形，與包含線段BP與長(zhǎng)度為1的線段的三角形相似而對(duì)應(yīng)的線段成比例來(lái)獲得隱藏信息.

證法1? 連接PQ，設(shè)AP與OQ相交與點(diǎn)F（如圖3）.

因?yàn)锳Q∥BP，所以∠QAP=∠APB，因?yàn)锳P=AB，所以∠APB=∠B，所以∠QAP=∠B. 又∠QOP=∠B，所以∠QAP=∠QOP，因?yàn)椤螿FA=∠PFO，所以△QFA∽△PFO，故■=■，即■=■. 又∠PFQ=∠OFA，所以△PFQ∽△OFA，∠3=∠1. 因?yàn)椤螦OC=∠2+∠B=∠1+∠QOP，又∠B=∠QOP，所以∠1=∠2，故∠2=∠3，可得△APQ∽△BPO，■=■，所以AQ·BP=AP·BO=3×1=3.

證法2? 連接PQ（如圖4）.

同上可證∠QAP=∠QOP. 所以Q，A，O，P四點(diǎn)同圓，有∠3=∠1. 同上可證∠2=∠3，所以△APQ∽△BPO，■=■，所以AQ·BP=AP·BO=3×1=3.

隱含信息：結(jié)論AQ·BP=3還可轉(zhuǎn)化成比例式■=■，即可通過(guò)含有線段AQ與長(zhǎng)度為2的線段的三角形和含有線段BP與長(zhǎng)度為■的線段的三角形相似的對(duì)應(yīng)線段成比例獲得.

證法3? 過(guò)點(diǎn)B作BE∥AP交PO的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E（如圖5）.

易知有△APO∽△BEO，所以■=■=■，因?yàn)锳P=AB=3，所以BE=■. 同上可證∠AOQ=∠OPB，又∠QAO+∠OBP=180°，∠EBP+∠APB=180°，∠OBP=∠APB，所以∠QAO=∠EBP，故△QAO∽△EBP，■=■，即AQ·BP=BE·AO=■×2=3.

證法4? 過(guò)點(diǎn)B作BE∥OP交AP的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E（如圖6）.

則有■=■=■，因?yàn)锳P=AB=3，所以PE=■，同上可證：∠AOQ=∠OPB，因?yàn)锽E∥OP，所以∠EBP=∠OPB，∠AOQ=∠EBP. 又∠QAO+∠OBP=180°，∠EPB+∠APB=180°，∠OBP=∠APB，所以∠QAO=∠EPB，故有△QAO∽△EPB，■=■，即AQ·BP=PE·AO=■×2=3.

隱含信息：結(jié)論AQ·BP=3又可以轉(zhuǎn)化成比例式■=■，根據(jù)以上證明思路，構(gòu)造相似三角形而獲得求證.

關(guān)于線段的乘積問(wèn)題，最常用的解題方法就是確定好位置以后尋找相似，怎樣根據(jù)已有條件作出合理的輔助線，找出相似三角形是本題的解題突破口. 上述幾種解題思路是常用的解題思路，雖然解法不一樣，但都是以AQ·BP=3的隱含信息作為解題思路的出發(fā)點(diǎn)，找到解決問(wèn)題的突破口，即相似三角形，即可論證. 當(dāng)然，本題還有其他論證方法，筆者不再一一贅述.

實(shí)踐證明，解題方法越多，對(duì)思維水平的要求越高. 有高度活躍的數(shù)學(xué)思維才能有開闊的解題思路，學(xué)生運(yùn)用自己的知識(shí)結(jié)構(gòu)，突破條條框框的約束，用發(fā)散性思維探索出多種解題辦法，既鍛煉了解題能力，又刺激了思維的發(fā)展. 因此，教師應(yīng)在適當(dāng)?shù)臅r(shí)候，給予學(xué)生充分的肯定與鼓勵(lì)，這樣有助于讓學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科產(chǎn)生濃厚的學(xué)習(xí)興趣，能在培養(yǎng)學(xué)生思維能力的同時(shí)有效地提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).