高中數(shù)學主題教學研究熱的冷思考

【摘?要】在《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版）》頒布之后，主題教學成為高中數(shù)學教學研究的熱點話題。通過近幾年的文獻分析，研究者發(fā)現(xiàn)對內(nèi)容的深度分析、對情境的合理創(chuàng)設(shè)、對“教、學、評”一致性的研究，是當前高中數(shù)學主題教學研究中尚未妥善解決的問題，也是需要思考的重要課題。

【關(guān)鍵詞】主題教學;內(nèi)容分析;情境創(chuàng)設(shè);“教、學、評”一致性

【作者簡介】任念兵，高級教師，新青年數(shù)學教師工作室創(chuàng)始成員，主要研究方向為高中數(shù)學課堂教學與命題研究。

【基金項目】上海市浦東新區(qū)2018年教育科學研究項目重點課題“基于高中數(shù)學核心素養(yǎng)的中觀教學設(shè)計與實踐研究”（A201806）

史寧中教授認為，要落實培養(yǎng)學生數(shù)學核心素養(yǎng)的教育目標，至少應當遵循兩個原則：一是把握數(shù)學知識的本質(zhì)，二是設(shè)計并且實施合理的教學活動。教材編寫和教學設(shè)計都應充分關(guān)注這兩個原則。由于數(shù)學內(nèi)容很難通過一節(jié)課或一個知識點就把數(shù)學的本質(zhì)表述清楚，因此，在教學設(shè)計中，應當把一些具有邏輯聯(lián)系的知識點放在一起進行整體設(shè)計[1]。這個數(shù)學教學觀點，也就是《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版）》（下文簡稱《課程標準》）在教學實施建議中所倡導的整體教學觀，主題教學設(shè)計正是落實整體教學觀的課堂教學實施方案。

主題教學與單元教學、項目學習、深度學習的含義一致（本文統(tǒng)稱為主題教學），是相對課節(jié)教學而言的，就是從關(guān)注一節(jié)課、一節(jié)課的教學到關(guān)注更大范圍（如一個單元、一章、一個主題）的教學[2]253-260。類似的提法還有結(jié)構(gòu)化設(shè)計、中觀設(shè)計、學材再重構(gòu)等，都是著眼于大立意、大情境、大任務、大問題，從關(guān)注零散的知識點到關(guān)注系統(tǒng)的“知識團”，從碎片化教學走向整體教學。

《課程標準》頒布以來，主題教學在一線教師群體中逐漸形成了較為廣泛的理念認同，并呈現(xiàn)出如火如荼的研究態(tài)勢。筆者在中國知網(wǎng)（CNKI）數(shù)據(jù)庫中以篇名含“單元”或“主題”，以及全文含“數(shù)學”為檢索條件進行搜索，再逐篇篩選出關(guān)于高中數(shù)學主題教學的論文。其中，將針對某個具體主題進行論述的文章歸入“案例分析”類，泛論主題教學的特征、原則等內(nèi)容的文章歸入“理論論述”類。筆者在撰寫本文時，由于只檢索到2020年1—4月發(fā)表的論文，因此將篇數(shù)乘以3作為2020年論文數(shù)的估計值，統(tǒng)計情況見表1。雖然“單元教學”的提法在20世紀90年代就已經(jīng)廣泛流傳開來，但是在高中數(shù)學教學領(lǐng)域以“主題”“單元”結(jié)構(gòu)進行整體設(shè)計的研究是近幾年才開始的，較早發(fā)表且具有代表性的論文是2016年呂世虎等發(fā)表的《單元教學設(shè)計及其對促進數(shù)學教師專業(yè)發(fā)展的作用》。高中數(shù)學主題教學的研究論文從2017年開始大幅度地逐年增長，其中有4篇是師范大學的碩士論文。

數(shù)學教育類期刊也為主題教學研究熱“推波助瀾”。例如一些期刊進行“單元教學設(shè)計”專題征稿，或者舉辦“單元—課時教學設(shè)計征文大賽”等。近幾年中國人民大學復印報刊資料《高中數(shù)學教與學》策劃主題教學專題，介紹教育教學的研究成果，例如該雜志2018年第12期、2020年第4期刊登有關(guān)“單元教學”的文章，2018年第7期、2019年第1期、2020年第1期刊登有關(guān)“深度學習”的文章等。各地教研機構(gòu)也在大力支持和推動主題教學的研究，以“主題教學”“單元教學”為研究內(nèi)容的省、市級教育科學規(guī)劃課題如雨后春筍般涌現(xiàn);上海市教育委員會教學研究室還專門組織人員編寫了《高中數(shù)學單元教學設(shè)計指南》（人民教育出版社，2018），等等。

基于課程標準解讀[2]253-260和主題教學論文的研究，筆者就當前主題教學的研究熱做一些冷思考，與正在研究主題教學的同行們探討。

一、對數(shù)學內(nèi)容的深度分析是主題教學成敗的關(guān)鍵

理解數(shù)學是教師教好數(shù)學的前提，從中學數(shù)學學科的整體結(jié)構(gòu)、核心內(nèi)容和重要思想上整體把握和認識數(shù)學教學內(nèi)容，是主題教學研究的首要工作。

注重對教學內(nèi)容的理解和把握是我國中學數(shù)學教師的優(yōu)良傳統(tǒng)，尤其是改革開放以來，涌現(xiàn)出一大批對數(shù)學內(nèi)容解讀有創(chuàng)見、教學成績突出的優(yōu)秀教師，他們總結(jié)出不少教學名言和教學主張。例如北京的孫維剛老師倡導結(jié)構(gòu)教學法，提出“八方聯(lián)系、渾然一體、漫江碧透、魚翔淺底”的教學主張，注重新舊知識之間的聯(lián)系，站在系統(tǒng)的高度把握數(shù)學的結(jié)構(gòu);江蘇的李庾南老師踐行“自學、議論、引導”教學法近40年，曾榮獲首屆（2014年）基礎(chǔ)教育國家級教學成果獎一等獎，而其成功的秘訣之一就是整體理解教學內(nèi)容的“學材再重構(gòu)”;上海的曾容老師強調(diào)在教學中要弄清楚“是什么、為什么、還有什么”的問題?！笆鞘裁础笔亲穼?shù)學學科的內(nèi)在邏輯，研究脈絡和研究方法是什么;“為什么”是追問概念、公式的內(nèi)在動因，為什么要研究這些概念和公式;“還有什么”是追溯核心問題的歷史蹤跡（縱向聯(lián)系），追求數(shù)學知識的通透理解（橫向聯(lián)系），等等。因此，主題教學具有廣泛的實踐基礎(chǔ)和深厚的歷史積淀，當前的主題教學研究在一定程度上是對優(yōu)良傳統(tǒng)的繼承、發(fā)揚和深化。另一方面，回歸學科是近年來國際數(shù)學教育界的主流話題和趨勢，MPCK、MKT等數(shù)學學科教學知識的研究自從20世紀末引入我國后，對數(shù)學內(nèi)容的深度理解成為很多教師的專業(yè)追求。因此，優(yōu)良傳統(tǒng)和外來理念的疊加，使得主題教學經(jīng)《課程標準》的倡導之后，得到了一線教師積極的響應。

主題教學基于對數(shù)學內(nèi)容的整合，對教師理解數(shù)學的能力提出較大的挑戰(zhàn)。主題教學要求教師具備較高的數(shù)學元認知水平，能夠?qū)?shù)學理論體系具有廣泛的了解，具有用高觀點解釋初等數(shù)學的能力;能夠梳理主題（單元）的邏輯脈絡（章建躍博士稱為數(shù)學研究的“基本套路”），并能洞察顯性知識背后的隱性知識（又稱“默會知識”）。所以，教師能否深度分析數(shù)學教學內(nèi)容，是決定主題教學成敗的關(guān)鍵。

比如，在“數(shù)列”的主題教學中，教師可以對“等比數(shù)列前n項和”做如下“瞻前顧后”的剖析。

（1）“瞻前”分析——為什么不能類比等差數(shù)列前n項和公式的推導方法來研究等比數(shù)列求和？從形式上看，等差數(shù)列前n項和公式的推導方法（倒序相加法）不能簡單地類比到等比數(shù)列中來。但是等差數(shù)列、等比數(shù)列求和都是通過消去相同的項，使得和式中的項數(shù)減少：等差數(shù)列求和的倒序相加法Sn+Sn，實際上是通過“配對”將不同數(shù)的和轉(zhuǎn)化為相同數(shù)的和，從而減少項數(shù);等比數(shù)列求和的方法除了錯位相減法（教材選擇的方法），還有迭代遞推、利用合分比定理、裂項相消等方法。它們都合乎消項的邏輯，但是不太利于類比等差數(shù)列求和的思路。Sn-qSn則是通過“錯位”消去兩式中的公共項，從而減少項數(shù)。因此，這些數(shù)列求和的方法看似形式不同，但本質(zhì)上都是通過運算技巧達到消項的目標。

（2）“顧后”分析——如何理解等比數(shù)列求和的思想方法對后續(xù)學習的價值。從思想內(nèi)涵上看，數(shù)列求和的本質(zhì)是消項。數(shù)列是離散的函數(shù)，而連續(xù)函數(shù)的定積分，根據(jù)牛頓-萊布尼茨公式，可以求出原函數(shù)后作差，因此從運算技巧上看，數(shù)列求和的根本方法是“裂項相消”（差分求和）。等差（比）數(shù)列的求和都可以利用適當?shù)牧秧椉记蓙韺崿F(xiàn)相消。在歷年的高考數(shù)學壓軸題中，數(shù)列不等式a1+a2+…+an

又如，在“圓錐曲線”的主題教學中，教師可以對“圓錐曲線的性質(zhì)”做如下縱橫聯(lián)系的剖析。一般地，研究圓錐曲線性質(zhì)的思路為整體性質(zhì)→局部特征→與系統(tǒng)環(huán)境的關(guān)系。整體性質(zhì)是指圓錐曲線體現(xiàn)出的整體特征，包括對稱性、頂點、范圍等;局部特征是指圓錐曲線相關(guān)要素體現(xiàn)出的特征，比如圓錐曲線上的點與焦點構(gòu)成的線段（三角形）的性質(zhì)等;與系統(tǒng)環(huán)境的關(guān)系是指圓錐曲線與其他曲線的位置關(guān)系，典型的問題是圓錐曲線與直線的位置關(guān)系，圓錐曲線中某些特殊弦的研究都可以歸入這類關(guān)系中。橢圓、雙曲線、拋物線性質(zhì)的研究也都遵循這樣的研究思路。

相較于教材章節(jié)主題，跨章節(jié)的主題教學設(shè)計，對教師深度分析、整合數(shù)學內(nèi)容的能力提出了更高的要求。從目前已發(fā)表的論文來看，涉及跨章節(jié)主題基本只有《課程標準》中介紹的“函數(shù)單調(diào)性”（案例36），鮮見其他跨章節(jié)主題的研究。這從另一個側(cè)面說明，整體把握數(shù)學內(nèi)容對于主題教學研究的重要性。

章建躍博士認為，教師對課程內(nèi)容的理解水平不高，在挖掘數(shù)學內(nèi)容蘊含的育人價值方面缺乏意識和能力，是當前教學設(shè)計出現(xiàn)偏差的主要原因[3]。倘若教師缺乏一定的數(shù)學元認知能力，那么在主題教學設(shè)計中就只能停留在數(shù)學內(nèi)容的表面理解上，在內(nèi)容分析時依然是堆砌零散的點狀知識而不能整合為“知識團”。無論教學設(shè)計的外在包裝是表格還是所謂的“思維導圖”，只要教師不能挖掘內(nèi)容背后的隱性知識，都將無法幫助學生整體把握內(nèi)容，不可能真正實現(xiàn)思維的可視化。

就當前高中數(shù)學主題教學研究的相關(guān)論文來看，深度分析數(shù)學內(nèi)容的文章較少，浮于表面的空泛議論偏多;甚至有“蹭熱點”的文章“用新瓶裝舊酒”“穿新鞋走老路”，離主題教學的要求相差較遠，這是值得有志于主題教學研究的同行們思考的問題。

二、對問題情境的合理創(chuàng)設(shè)是主題教學實施的要素

哈爾莫斯說：“問題是數(shù)學的心臟。”在數(shù)學的發(fā)生和發(fā)展過程中，問題可以分為兩類：一類是促使概念、原理、理論產(chǎn)生的原始的問題，哲學上稱為“本原性問題”;另一類是在理論發(fā)展過程中派生出來的與自然科學沒有直接關(guān)系的問題，稱為“派生性問題”[4]。任何重要概念、定理的產(chǎn)生都有其背景、根源，這些問題既有可能是本原性的，也有可能是派生性的，它們都可以作為驅(qū)動中學數(shù)學課堂的問題載體，也是主題教學設(shè)計的問題來源。

主題教學重在對內(nèi)容的深刻把握，但有些隱性知識并不適合“告知”學生，教師需要設(shè)計適當?shù)膯栴}串來幫助學生理解知識，于是問題的選取就成為難點所在。因此，合理創(chuàng)設(shè)問題情境是主題教學順利實施的關(guān)鍵。另外，主題教學仍然要通過課時教學去落實，而在每個課時的具體教學過程中，教學流程、方法手段和技術(shù)手段等，與過去的課時教學相比并沒有實質(zhì)性變化，最大的區(qū)別體現(xiàn)在對教學內(nèi)容的整合與設(shè)計上，因此整合內(nèi)容、設(shè)計主題問題是凸顯主題教學特點的重要一維。

在主題教學中創(chuàng)設(shè)問題情境，應盡量選取可以在多個課時使用的較為綜合性的情境素材，設(shè)計主題系列學習活動（問題串），使整個主題的教學顯得更為連貫。比如在“數(shù)列”主題教學中，謝爾賓斯基三角形就是值得嘗試的主題問題。在數(shù)列概念引入、等比數(shù)列、遞推數(shù)列、數(shù)列求和等課時教學中，教師都可以圍繞謝爾賓斯基三角形來創(chuàng)設(shè)問題情境。

問題情境的創(chuàng)設(shè)沒有一定之規(guī)，不能生搬硬套，不同類型的數(shù)學內(nèi)容需要用不同的方式來處理，或娓娓道來，或開門見山，或引發(fā)認知沖突，或利用邏輯演繹。比如，從具體的例子出發(fā)，可以歸納出一般結(jié)論、引發(fā)猜想，可以打開思路、引出證明，因此從特殊到一般是創(chuàng)設(shè)問題情境的常見思路。然而，事物往往具有兩面性，在中學數(shù)學中也常常會有這樣的問題，即抽象、一般的情形可能比具體、特殊的情形更直觀、更容易解決，“點到直線的距離”即為一例。很多教學設(shè)計類論文在設(shè)計“點到直線的距離”課例時，都是先給出直線的方程（系數(shù)給定）和直線外一點的坐標，然后求點到直線的距離，試圖通過特殊問題的解決尋找一般的思考路徑。但實際上，相對于字母表示形式，具體系數(shù)形式的直線方程和點的坐標，對于該問題的解決并不能起到簡化和啟迪思維的作用，兩者在思維量上是沒有任何本質(zhì)差異的，有時候具體數(shù)字的特殊性反而可能會導致思路的異化（特殊系數(shù)下的特殊直線會產(chǎn)生特殊解法）。著眼于“直線與方程”的主題設(shè)計，教師可以從內(nèi)容的內(nèi)在邏輯聯(lián)系上開門見山地創(chuàng)設(shè)“點到直線的距離”的教學情境，并提出問題，教學片段如下。

師：在解析幾何中，用代數(shù)方法研究幾何對象，用方程表示直線后，通過方程研究兩條直線的位置關(guān)系——相交、平行和重合。對于相交直線，我們可以定量研究它們的夾角;若兩條直線平行，如何定量刻畫兩條直線的位置關(guān)系？

生：用距離定量刻畫兩條平行直線的位置關(guān)系。

師：由于兩條直線平行時，一條直線上任意點到另一條直線的距離即為兩條平行線之間的距離，因此我們將研究點到直線的距離。

《課程標準》提出，情境創(chuàng)設(shè)和問題設(shè)計要有利于發(fā)展學生的數(shù)學學科核心素養(yǎng)，教學情境包括現(xiàn)實情境、數(shù)學情境、科學情境，每種情境又分為熟悉的、關(guān)聯(lián)的、綜合的。對于主題教學而言，在問題情境創(chuàng)設(shè)方面，應著重研究關(guān)聯(lián)的、綜合的情境。為高中數(shù)學的每個教學主題配套主題問題，這也是需要廣大同行冷靜思考的系統(tǒng)化工程。

三、對“教、學、評”一致性的思考是主題教學研究的歸宿

《課程標準》在實施建議中，不僅提出了“教”的建議，倡導主題教學，而且提出了“重視學”的要求，要求教師把教學活動的重心放在促進學生學會學習上，積極探索有利于促進學生學習的多樣化教學方式，豐富作業(yè)的形式，提高作業(yè)的質(zhì)量，提升學生完成作業(yè)的自主性、有效性。同時，《課程標準》還提出了評價建議、高考命題建議等?！敖獭薄皩W”“評”構(gòu)成了教學的完整閉環(huán)，主題教學對培育學生的數(shù)學核心素養(yǎng)是否有效，也應從“教、學、評”一致性角度進行研究。

對應主題教學，教師可以考慮圍繞核心概念或重要方法的“知識團”來命制創(chuàng)新試題，力圖讓那些注重整體理解數(shù)學、把握數(shù)學本質(zhì)的學生能夠考出高分，而舍本逐末不求甚解，埋頭刷題、大搞題海戰(zhàn)術(shù)的學生則“望題興嘆”。倘若真能做到這一點，以高考引導教學，以評價來撬動教育改革之錨，主題教學才能真正落實、深入人心，核心素養(yǎng)才能真正落地、遍地開花。

比如，在教學中，教師可以圍繞中學數(shù)學中的“距離”概念，梳理概念的內(nèi)涵和外延，溝通初高等數(shù)學中距離概念的本質(zhì)，在高三復習課上設(shè)計“距離”主題教學[5]，并相應地配備考查學生對距離概念深度理解的創(chuàng)新題（參見《課程標準》案例23距離問題），檢驗主題教學的效果。

除了配合主題教學的“評價”研究，有關(guān)“學”的研究還比較少，在已發(fā)表的論文中，筆者只看到過一篇《高中數(shù)學單元作業(yè)設(shè)計與實施》（李家齊，2019）涉及主題教學中如何“促進學生學會學習”。思考“教、學、評”的一致性，是主題教學亟待研究的重要課題，也是值得同行們冷靜思考的第三個問題。

系統(tǒng)的力量在于“整體大于部分之和”，主題教學著力于挖掘數(shù)學內(nèi)在的系統(tǒng)的力量，因而能有效地提高教學效率。當前，高中數(shù)學主題教學的研究方興未艾，廣大一線教師以飽滿的熱情對主題教學進行教學實踐和設(shè)計研究，而在“教研成果”大量涌現(xiàn)的繁榮、熱鬧的背后，對教學內(nèi)容的深度分析、對情境的合理創(chuàng)設(shè)、對“教、學、評”一致性的研究等問題，正擺在主題教學研究者面前，需要我們靜下心來，在理解教學、理解數(shù)學、理解學生上下大功夫才能妥善解決。

參考文獻：

[1]史寧中，林玉慈，陶劍，等.關(guān)于高中數(shù)學教育中的數(shù)學核心素養(yǎng)：史寧中教授訪談之七[J].課程·教材·教法，2017（4）：8-14.

[2]史寧中，王尚志.普通高中數(shù)學課程標準（2017年版）解讀[M].北京：高等教育出版社，2018.

[3]章建躍.數(shù)學學習與智慧發(fā)展[J].中學數(shù)學教學參考，2015（19）：4-10.

[4]曹廣福，張蜀青.問題驅(qū)動的中學數(shù)學課堂教學（理論與實踐卷）[M].北京：清華大學出版社，2018.

[5]任念兵，汪健.芻議在高三復習課上“玩概念”：以“距離”概念為例[J].數(shù)學通報，2015（7）：27-29.

（責任編輯：陸順演）