數(shù)學(xué)問題解決教學(xué)設(shè)計(jì)的創(chuàng)新示例

【摘?要】數(shù)學(xué)問題解決教學(xué)設(shè)計(jì)要求教師不能將自己的解題思維不加變動(dòng)地呈現(xiàn)給學(xué)生，而是必須促進(jìn)學(xué)生產(chǎn)生整理與組織信息的行為活動(dòng)，啟發(fā)學(xué)生通過對(duì)信息的處理過程，自行地萌生（數(shù)學(xué)）觀念，在觀念指導(dǎo)下發(fā)生有意識(shí)、有目的的行為。這樣的教學(xué)過程實(shí)現(xiàn)了理解數(shù)學(xué)知識(shí)，生成數(shù)學(xué)觀念，產(chǎn)生數(shù)學(xué)猜想，形成解題能力，落實(shí)核心素養(yǎng)，萌生數(shù)學(xué)情感等教育價(jià)值。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)問題解決;教學(xué)設(shè)計(jì);以行致知;由知導(dǎo)行

【作者簡(jiǎn)介】楊經(jīng)驗(yàn)，高級(jí)教師，淮北市濉溪縣教育科學(xué)研究室中學(xué)數(shù)學(xué)教研員，主要研究方向?yàn)閿?shù)學(xué)教育研究;張昆，高級(jí)教師，博士，主要研究方向?yàn)閿?shù)學(xué)教學(xué)論、數(shù)學(xué)課程論、數(shù)學(xué)教育哲學(xué)、數(shù)學(xué)史等。

美國(guó)數(shù)學(xué)家哈爾莫斯說(shuō)，問題是數(shù)學(xué)的心臟，是展開思維的動(dòng)力。數(shù)學(xué)問題解決是鞏固數(shù)學(xué)知識(shí)、發(fā)展數(shù)學(xué)能力、萌發(fā)數(shù)學(xué)觀念、產(chǎn)生數(shù)學(xué)猜想（想象）、養(yǎng)成核心素養(yǎng)的重要途徑;數(shù)學(xué)問題解決是體驗(yàn)創(chuàng)造精神、激發(fā)學(xué)習(xí)興趣的前提;數(shù)學(xué)問題解決是將形成的數(shù)學(xué)能力與經(jīng)驗(yàn)遷移到新情境（超過數(shù)學(xué)的范圍）的關(guān)鍵。本文通過探究“以行致知”與“由知導(dǎo)行”統(tǒng)一的數(shù)學(xué)問題解決的創(chuàng)新教學(xué)設(shè)計(jì)，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題解決的教育價(jià)值。

一、數(shù)學(xué)問題解決教學(xué)設(shè)計(jì)創(chuàng)新實(shí)踐示例

數(shù)學(xué)問題解決對(duì)促進(jìn)學(xué)生理解教材（特定數(shù)學(xué)知識(shí)）起到了重要的作用。那么，促進(jìn)學(xué)生理解數(shù)學(xué)知識(shí)的最有成效的數(shù)學(xué)問題是什么？教師應(yīng)通過何種途徑將教材所提供的練習(xí)題轉(zhuǎn)化為富有成效的數(shù)學(xué)問題？這些都是在數(shù)學(xué)問題解決教學(xué)設(shè)計(jì)中，教師必須要考慮的問題。因?yàn)閿?shù)學(xué)問題解決的教學(xué)價(jià)值具有等級(jí)層次性，除了取決于數(shù)學(xué)問題自身的性質(zhì)與特點(diǎn)，教師的教學(xué)設(shè)計(jì)及其課堂實(shí)施方式也起到重要作用。筆者在聽了一位教師的一節(jié)“三角形內(nèi)角和定理”公開課后，就數(shù)學(xué)問題解決的教學(xué)設(shè)計(jì)做一些探討。

例題?已知：如圖1，在△ABC中，∠ADC=∠BAC。求證：∠CAD=∠CBA。

師：記∠ADC=∠BAC ①，∠CAD=∠CBA ②。用不同標(biāo)識(shí)標(biāo)示圖1中①②這兩個(gè)對(duì)等角。

生1：線段AD分割條件①中的∠BAC，因?yàn)閳D形重疊會(huì)影響探索問題的思路，所以先解決重疊問題，使我們更容易看清圖形的本質(zhì)。

師：請(qǐng)你動(dòng)手試一試。

（學(xué)生活動(dòng)關(guān)鍵環(huán)節(jié)：把圖1中的△ADC平移出來(lái)，得到了圖2與圖4，根據(jù)已知條件①和要證明的結(jié)論②，把圖2變換成圖3的位置形態(tài)。教師相機(jī)板書作圖，學(xué)生用不同標(biāo)識(shí)標(biāo)示出圖1中①②兩個(gè)對(duì)等角。）

師：對(duì)比圖3與圖4，大家有什么新發(fā)現(xiàn)嗎？

生2：比較圖3與圖4中的兩個(gè)三角形的相關(guān)角得：

已知條件是∠ADC=∠BAC?①，所求結(jié)論是∠CAD=∠CBA?②，公共角是∠ACD=∠BCA?③。

生3：①和③成立，要求證的結(jié)論②應(yīng)該也成立。

師：還有其他想法嗎？

生4：應(yīng)用三角形的內(nèi)角和等于180°進(jìn)行解題。

師：如何應(yīng)用？

生5：①②③式左邊的三個(gè)角分別是△DAC三個(gè)內(nèi)角，①②③式右邊的三個(gè)角分別是△ABC三個(gè)內(nèi)角。把這三個(gè)等式左、右兩邊分別相加，得到這兩個(gè)三角形的內(nèi)角和等于180°，即∠DAC+∠ADC+∠DCA=180°，∠ABC+∠BAC+∠ACB=180°。

師：下一步該怎么辦呢？

生6：兩個(gè)等式右邊都是180°，知∠DAC+∠ADC+∠DCA=∠ABC+∠BAC+∠ACB ④。只要將④的左、右兩邊分別減去①③的左、右兩邊，得到結(jié)論②成立。[1]

師：下面請(qǐng)同學(xué)們寫出完整的證明過程。

（學(xué)生板書）

該課例無(wú)論是教學(xué)設(shè)計(jì)還是課堂實(shí)施，都有獨(dú)到之處，蘊(yùn)含了數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)及其課堂實(shí)施的創(chuàng)新思想。為了探尋課例的深層價(jià)值，為今后的教學(xué)提供借鑒，筆者從理論內(nèi)涵與實(shí)踐內(nèi)涵做進(jìn)一步分析。

二、課例的理論內(nèi)涵

課例展示的師生活動(dòng)過程所提供的信息，能夠抽象出某種程度上的理論意蘊(yùn)，這對(duì)于發(fā)展時(shí)代教學(xué)理念，指導(dǎo)教師的教學(xué)設(shè)計(jì)及其課堂實(shí)施的行為具有重要作用。下文以“以行致知”與“由知導(dǎo)行”辯證統(tǒng)一的關(guān)系，探索數(shù)學(xué)問題解決的一般思維活動(dòng)環(huán)節(jié)。

在真實(shí)的數(shù)學(xué)問題解決中，發(fā)現(xiàn)問題思路的關(guān)鍵性環(huán)節(jié)是理解與把握問題的條件信息。如果解題主體不知道條件信息所隱含的意義，那就不能解決問題（這是某種程度上的“以行致知”的活動(dòng)過程）。解題主體用自己的解題經(jīng)驗(yàn)，使條件信息進(jìn)行合適的關(guān)聯(lián)，組成正確率比較高的脈絡(luò)輪廓，由這個(gè)脈絡(luò)輪廓決定選擇利用某個(gè)與它相似的具體知識(shí)結(jié)構(gòu)（這是“由知導(dǎo)行”的活動(dòng)過程）。“以行致知”與“由知導(dǎo)行”統(tǒng)一其實(shí)就是解題主體從題設(shè)信息所得到的脈絡(luò)輪廓與他已經(jīng)掌握的數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)互相磨合、調(diào)適的過程;任何數(shù)學(xué)問題，只有經(jīng)由這兩者統(tǒng)一的過程，才能獲得解決問題的思路[2]。

“以行致知”與“由知導(dǎo)行”的統(tǒng)一過程可以簡(jiǎn)單地概述為解題主體辨別條件信息的具體特點(diǎn)，抽繹出支點(diǎn)信息，抽繹的心理活動(dòng)是由條件信息與學(xué)習(xí)掌握的數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)之間互相吸引、相互誘導(dǎo)、互相滲透、相互調(diào)整的產(chǎn)物;基于支點(diǎn)信息與外圍信息組織成具體數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)的信息脈絡(luò)輪廓;由脈絡(luò)輪廓提示解題者選擇具體的數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu);當(dāng)信息脈絡(luò)輪廓與數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)相統(tǒng)一時(shí)，問題便得以解決[3]（如圖5）。

關(guān)于“以行致知”與“由知導(dǎo)行”的統(tǒng)一過程，筆者將其稱為數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)封裝外在數(shù)學(xué)化信息的過程，簡(jiǎn)稱“信息封裝”的過程。因?yàn)榻忸}主體在對(duì)條件信息（經(jīng)由肢體或心智）的操作活動(dòng)中，形成解題主體起承轉(zhuǎn)合的心智活動(dòng)與肢體活動(dòng)相互配合、相互驗(yàn)證、相互促進(jìn)的作用，從而萌生出一系列數(shù)學(xué)觀念，這些數(shù)學(xué)觀念指導(dǎo)解題主體的解題活動(dòng)，這是“以行致知”與“由知導(dǎo)行”統(tǒng)一的重要標(biāo)識(shí)。它為教師在數(shù)學(xué)問題解決中提供啟發(fā)式教學(xué)設(shè)計(jì)的方向。

數(shù)學(xué)問題解決教學(xué)設(shè)計(jì)及其課堂實(shí)施創(chuàng)新的重要心理意向在于，當(dāng)學(xué)生面對(duì)外在條件信息時(shí)，教師不是將其獲得的解題思路的關(guān)鍵環(huán)節(jié)和盤托出呈現(xiàn)給學(xué)生，而是應(yīng)該啟發(fā)學(xué)生確定支點(diǎn)信息，并以其為“凝聚核”吸收外圍信息，形成信息脈絡(luò)輪廓，由信息輪廓的特點(diǎn)選擇封裝它的具體數(shù)學(xué)知識(shí)，最終以這個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)為藍(lán)本對(duì)信息脈絡(luò)輪廓加以檢驗(yàn)，實(shí)現(xiàn)“信息封裝”。在教學(xué)設(shè)計(jì)及其課堂實(shí)施中，教師要做足功課，重在啟發(fā)學(xué)生不斷地生成數(shù)學(xué)觀念，用以指導(dǎo)他們發(fā)現(xiàn)解題思路的一系列活動(dòng)，這正是數(shù)學(xué)問題解決教學(xué)設(shè)計(jì)及其課堂實(shí)施創(chuàng)新的主旨所在。

數(shù)學(xué)問題解決不是解題主體行為活動(dòng)的直接結(jié)果，因?yàn)橹挥挟?dāng)主體依據(jù)解題的目的產(chǎn)生有意識(shí)的行為時(shí)，才會(huì)對(duì)問題解決發(fā)生作用。而這種目的是由主體已經(jīng)掌握好的知識(shí)與觀念提供的。當(dāng)主體目前還不具備這樣的觀念時(shí)，教師要想方設(shè)法啟發(fā)學(xué)生萌生出數(shù)學(xué)觀念，而不是直接向?qū)W生發(fā)出具體行動(dòng)的觀念指令，這正是形成主體創(chuàng)造性思維的重要環(huán)節(jié)。當(dāng)主體將信息組織成脈絡(luò)輪廓時(shí)，如果發(fā)現(xiàn)與決定這一脈絡(luò)輪廓的知識(shí)結(jié)構(gòu)存在差異時(shí)，例如，脈絡(luò)輪廓中缺少知識(shí)結(jié)構(gòu)所要求的某些環(huán)節(jié)的信息元素，或者信息元素的位置難以調(diào)適成知識(shí)結(jié)構(gòu)所要求的形態(tài)時(shí)，這就為解題主體尋求隱含條件提供動(dòng)力。此時(shí)，猜想與想象的作用就應(yīng)運(yùn)而生了，由此可以提高解題主體洞幽察微的信息處理能力。

數(shù)學(xué)問題解決也不是主體已經(jīng)擁有的知識(shí)結(jié)構(gòu)的直接應(yīng)用（因?yàn)橹黧w所掌握的知識(shí)結(jié)構(gòu)不同于客觀知識(shí)），而是已經(jīng)由人的數(shù)學(xué)觀念系統(tǒng)賦予某種程度上的能動(dòng)性。因?yàn)殡m然主體意識(shí)結(jié)構(gòu)中的知識(shí)結(jié)構(gòu)本身具有客觀性，但不能自動(dòng)地適應(yīng)問題所提供的信息。數(shù)學(xué)問題解決的過程必須在知識(shí)結(jié)構(gòu)的引導(dǎo)下，主體通過活動(dòng)探究信息的可能組成脈絡(luò)輪廓，然后以知識(shí)結(jié)構(gòu)為范式對(duì)所形成的信息脈絡(luò)輪廓加以檢驗(yàn)。在此過程中，知識(shí)結(jié)構(gòu)首先轉(zhuǎn)化觀念形態(tài)，由觀念的攜載，調(diào)動(dòng)它作用于信息的脈絡(luò)輪廓。因此，這個(gè)課例的理論內(nèi)涵就是數(shù)學(xué)問題解決的教學(xué)設(shè)計(jì)必須幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)“以行致知”與“由知導(dǎo)行”相統(tǒng)一的過程。

三、課例的實(shí)踐內(nèi)涵

這一課例源于某位教師的一節(jié)數(shù)學(xué)公開課，這位教師選擇這道練習(xí)題作為“三角形內(nèi)角和定理”教學(xué)內(nèi)容的例題，目的是為了鞏固“三角形內(nèi)角和定理及其推論”這節(jié)新授課的知識(shí)。該教師利用多媒體呈現(xiàn)了問題，通過講授法，向?qū)W生闡釋分析過程。因?yàn)椤螧AC=∠CAD+∠BAD，∠ADC=∠CBA+∠BAD，∠BAD為公共角，于是，通過觀察發(fā)現(xiàn)，為了證明結(jié)論∠CAD=∠CBA成立，只要證明∠BAC=∠ADC就達(dá)到目的了，而∠BAC=∠ADC是已知條件，顯然成立。接著，該授課教師利用多媒體展示了證明過程，整個(gè)教學(xué)過程一氣呵成。

在聽課中，筆者觀察到有少數(shù)學(xué)生就是如此直接發(fā)現(xiàn)解題思路的，說(shuō)明這樣的課堂實(shí)施方式確實(shí)具有一定的適應(yīng)性基礎(chǔ)。同時(shí)筆者還發(fā)現(xiàn)，大多數(shù)學(xué)生雖然能聽得懂教師講授的結(jié)論，但是對(duì)如此迅捷地獲得解題思路感到非常突然。因?yàn)閳D形比較復(fù)雜，如果教師沒有對(duì)分析過程進(jìn)行提示，學(xué)生很難想到這樣的解題思路。由于整個(gè)教學(xué)過程都是通過多媒體呈現(xiàn)，學(xué)生沒有通過自行探究形成自己的解題思路，這種教學(xué)方式比較難以啟發(fā)學(xué)生萌生指令行為活動(dòng)的數(shù)學(xué)觀念，學(xué)生體悟不到“信息封裝”的過程。

從某種程度上說(shuō)，這樣的證明書寫過程只是對(duì)發(fā)現(xiàn)過程做比較精致的整理和記錄而已，如果將這種“記錄”直接地呈現(xiàn)給學(xué)生，那就削弱了數(shù)學(xué)解題的教學(xué)價(jià)值[4]。

因此，教師應(yīng)通過反思這種“記錄”的心理來(lái)源，認(rèn)識(shí)到獲得解題思路的諸多環(huán)節(jié)的思維活動(dòng)過程至關(guān)重要。教師在教學(xué)設(shè)計(jì)及其課堂實(shí)施中，應(yīng)力求將“記錄”的結(jié)果還原為這種結(jié)果的生成過程，即從分析信息要素，確定支點(diǎn)信息，萌生信息脈絡(luò)，選擇知識(shí)框架，實(shí)現(xiàn)“信息封裝”，從而啟發(fā)學(xué)生歷經(jīng)整個(gè)探究問題思路的心理過程，如此，才能發(fā)揮數(shù)學(xué)解題教學(xué)的價(jià)值，實(shí)現(xiàn)解題教學(xué)目標(biāo)。

在整個(gè)教學(xué)過程，筆者只用寥寥數(shù)語(yǔ)來(lái)啟發(fā)學(xué)生從操作外在數(shù)學(xué)化信息著手，引導(dǎo)學(xué)生從行動(dòng)出發(fā)，要求學(xué)生標(biāo)示出題設(shè)（圖形）中的相等的角，促進(jìn)學(xué)生感悟信息、組織信息，再將學(xué)生找到的條件經(jīng)由選擇合適的表征，使信息組織成信息輪廓，即板書①②③所產(chǎn)生的表征，由此表征啟發(fā)學(xué)生萌生選擇三角形內(nèi)角和定理來(lái)“封裝信息”的數(shù)學(xué)觀念，這是解決數(shù)學(xué)問題的“頓悟”的過程（“以行致知”），它是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造性思維的基石。

比較這位教師與筆者的教學(xué)設(shè)計(jì)及其課堂實(shí)施過程發(fā)現(xiàn)，授課教師采用的是講授法教學(xué)方式，而筆者采用的啟發(fā)式教學(xué)方式。顯然，這兩種教學(xué)方式所產(chǎn)生的教學(xué)價(jià)值不同，實(shí)現(xiàn)的教學(xué)目標(biāo)層次也不同。前者重在要求學(xué)生記住分析過程（其實(shí)只是“由知導(dǎo)行”，而沒有“以行致知”這個(gè)環(huán)節(jié)），而后者著重培養(yǎng)學(xué)生自己分析條件信息，并從中獲得信息脈絡(luò)輪廓（“以行致知”），然后選擇知識(shí)框架進(jìn)行信息封裝（“由知導(dǎo)行”）。筆者在教學(xué)設(shè)計(jì)及其課堂實(shí)施中實(shí)現(xiàn)了“以行致知”與“由知導(dǎo)行”的辯證統(tǒng)一，從而最大限度地發(fā)揮例題的教學(xué)價(jià)值。

四、結(jié)語(yǔ)

這是一個(gè)數(shù)學(xué)問題解決教學(xué)設(shè)計(jì)的創(chuàng)新實(shí)踐課例，它基于“以行致知”與“由知導(dǎo)行”統(tǒng)一的教學(xué)過程，說(shuō)明了為實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)解題教學(xué)的價(jià)值，教師不能將自己發(fā)現(xiàn)的解題思維不加變動(dòng)地呈現(xiàn)給學(xué)生，而是應(yīng)該促進(jìn)學(xué)生產(chǎn)生整理與組織信息的行為活動(dòng)，啟發(fā)學(xué)生通過對(duì)信息的操作過程，自行地萌生（數(shù)學(xué)）觀念，在觀念指導(dǎo)下發(fā)生有意識(shí)、有目的的行為，從而幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)理解數(shù)學(xué)知識(shí)，生成數(shù)學(xué)觀念，形成解題能力，產(chǎn)生數(shù)學(xué)想象，養(yǎng)成數(shù)學(xué)素養(yǎng)，萌生數(shù)學(xué)情感等教育價(jià)值。

參考文獻(xiàn)：

[1]張昆.整合數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)的取向：基于知識(shí)發(fā)生的邏輯取向與心理取向研究[J].中國(guó)教育學(xué)刊，2011（6）：52-55.

[2]鄭毓信.傳統(tǒng)應(yīng)用題教學(xué)之當(dāng)代重建（上）[J].中小學(xué)課堂教學(xué)研究，2020（1）：3-7.

[3]張昆，羅增儒.數(shù)學(xué)解題教學(xué)設(shè)計(jì)的實(shí)踐探索：透過將解題形態(tài)轉(zhuǎn)化為教學(xué)形態(tài)的視點(diǎn)[J].中小學(xué)課堂教學(xué)研究，2019（2）：16-19.

[4]張昆.潛心教學(xué)研究?實(shí)現(xiàn)專業(yè)成長(zhǎng)：例析提升數(shù)學(xué)教師教學(xué)水平的心路歷程[J].中學(xué)數(shù)學(xué)（高中版），2016（4）：48-52.

（責(zé)任編輯：陸順演）