HPM視角下的“扇形的面積”同課異構(gòu)課例分析

王海雯 汪曉勤

【摘?要】扇形的面積直接應(yīng)用于圓錐的側(cè)面積和全面積的計算，為學(xué)生到高中進一步學(xué)習(xí)立體幾何打下基礎(chǔ)。研究者以HPM視角下的“扇形的面積”同課異構(gòu)為課例研究，從宏觀和微觀兩個層面，對教師A和教師B的教學(xué)進行比較和分析，關(guān)注知識的發(fā)展過程和學(xué)習(xí)的上升過程，希望學(xué)生經(jīng)歷概念的形成過程和公式的生成過程，自然地推導(dǎo)出扇形的面積公式，既符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，又能引導(dǎo)學(xué)生領(lǐng)會其中的數(shù)學(xué)思想和方法，從而使教師獲得有益的教學(xué)啟示，并為HPM課例研究提供參考。

【關(guān)鍵詞】HPM;扇形的面積;同課異構(gòu)

【作者簡介】王海雯，華東師范大學(xué)教師教育學(xué)院在讀碩士研究生，主要從事數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育研究;汪曉勤（本文通訊作者），華東師范大學(xué)教師教育學(xué)院副院長，教授，博士生導(dǎo)師，主要從事數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育研究。

【基金項目】上海高?！傲⒌聵淙恕比宋纳鐣茖W(xué)重點研究基地之?dāng)?shù)學(xué)教育教學(xué)研究基地項目“數(shù)學(xué)課程與教學(xué)中如何落實立德樹人研究”（A8）

一、引言

“扇形的面積”是滬教版數(shù)學(xué)六年級第一學(xué)期第四章“圓和扇形”第2節(jié)的內(nèi)容（[DK]“弧長和扇形面積”是人教版數(shù)學(xué)九年級上冊的內(nèi)容）。扇形的面積直接應(yīng)用于圓錐的側(cè)面積和全面積的計算，為學(xué)生到高中進一步學(xué)習(xí)立體幾何打下基礎(chǔ)。在學(xué)習(xí)本知識之前，學(xué)生已經(jīng)具備了弧長、圓心角、圓的周長、圓的面積等基本公式的幾何基礎(chǔ)知識，能計算一些與圓有關(guān)的簡單組合圖形的周長和面積。教科書首先以生活中學(xué)生熟悉的三色陀螺引入，通過觀察紅色、黃色、藍(lán)色部分的形狀，引出扇形的概念。接著，通過思考扇形面積與哪些量有關(guān)，教師引導(dǎo)學(xué)生推導(dǎo)出扇形面積公式。一般地，推導(dǎo)扇形面積公式主要有以下兩種方法：一種是通過探究弧長、圓心角、扇形占圓中相應(yīng)量的幾分之幾，由部分與整體的關(guān)系推導(dǎo)出扇形面積公式;另一種是通過求特殊角的扇形面積來探究扇形面積公式。[1-2]

HPM視角下的數(shù)學(xué)教學(xué)關(guān)注知識的發(fā)展過程和學(xué)習(xí)的上升過程，希望學(xué)生經(jīng)歷概念的形成過程和公式的生成過程，自然地推導(dǎo)出扇形面積公式，既符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，又能引導(dǎo)學(xué)生領(lǐng)會其中的數(shù)學(xué)思想和方法。目前的教科書以及已有的教學(xué)設(shè)計是從扇形和圓的面積比例關(guān)系得到扇形面積公式，但并未將推導(dǎo)圓面積公式的方法用于扇形，導(dǎo)致扇形面積公式S=1/2lr不易被學(xué)生理解。因此，筆者希望通過將數(shù)學(xué)史融入扇形面積的教學(xué)來解決以上問題。

為此，HPM工作室以“扇形的面積”為課題開展課例研究，來自上海市兩所不同學(xué)校的教師A和教師B各自實施了“扇形的面積”的教學(xué)。在課例研究的第一個環(huán)節(jié)，兩位教師首先搜集了19世紀(jì)西方早期教科書中關(guān)于“扇形的面積”的教學(xué)內(nèi)容，從扇形的定義和扇形面積公式的引入、推導(dǎo)和應(yīng)用等方面，挖掘有用的史料;其次，教師研讀這些史料并對其進行裁剪和加工，結(jié)合教材和學(xué)情，各自完成教學(xué)設(shè)計;再次，經(jīng)過HPM工作室的研討，兩位教師對教學(xué)設(shè)計進行修正;最后，根據(jù)兩位教師試講的效果，HPM工作室對教學(xué)設(shè)計再次做出修正和完善，并付諸實踐。

本文從宏觀和微觀兩個層面對教師A和教師B的教學(xué)進行比較和分析，揭示兩節(jié)課的特點，使廣大教師從中獲得有益的教學(xué)啟示，并為HPM課例研究提供參考。

二、扇形面積的歷史素材

（一）扇形的定義

扇形是初中平面幾何的重要概念之一，現(xiàn)行各版本的初中數(shù)學(xué)教科書所給出的扇形定義都不同。人教版和滬教版給出的扇形的定義是從圓心角出發(fā)，而北師大版、蘇教版和浙教版給出的定義則是從一條弧出發(fā)。歷史上，最早給出扇形定義的是古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得（Euclid）。他在《幾何原本》卷三命題10中給出了扇形的定義：由頂點在圓心角的兩邊和該兩邊所截一段圓弧所構(gòu)成的圖形，稱為扇形。滬教版和人教版的教科書對扇形的定義是由組成圓心角的兩條半徑和圓心角所對的弧圍成的圖形。而在西方早期的教科書中，扇形的定義卻不盡相同。除了與《幾何原本》相似的定義，大多數(shù)的美英早期教科書也傾向于把扇形定義為：一條弧和經(jīng)過這條弧兩端的兩條半徑所圍成的圖形。北師大版、蘇教版和浙教版教科書中的定義與此相同。

（二）扇形面積公式的推導(dǎo)

第一類是分割法，如美國數(shù)學(xué)家華爾克（T.Walker）在《幾何基礎(chǔ)》中即采用此法[3]。由于圓的周長可看作是邊數(shù)趨于無窮的正多邊形的周長，內(nèi)接圓的半徑就是它本身的半徑，而邊數(shù)趨于無窮的正多邊形可分割成無窮多個近似的小三角形，三角形的面積為底乘以高除以2，因而圓面積等于周長的一半乘以半徑。類似地，將扇形分割成無窮多個小三角形，那么扇形面積等于弧長的一半乘以半徑。如圖1，將扇形分成無限個小扇形，將每個小扇形看作近似三角形，于是扇形面積等于無限個三角形面積之和。

第三類是分割轉(zhuǎn)化法，該方法出自17世紀(jì)德國數(shù)學(xué)家開普勒的《測量酒桶體積的新方法》一書。如圖3，將扇形AOB的面積對應(yīng)到△OGH的面積上，雖較為直觀，但不夠嚴(yán)謹(jǐn)。有的教科書甚至以引理的形式，直接給出扇形面積公式，并沒有給出具體的推導(dǎo)過程。

（三）與扇形相關(guān)的問題

歷史上，與扇形面積相關(guān)的問題數(shù)不勝數(shù)。例如古巴比倫時期的泥版書上，記載著一些特殊圖形面積計算問題[5-6]，如圖4。古希臘數(shù)學(xué)家希波克拉底（Hippocrates）在研究化圓為方的問題時，發(fā)現(xiàn)了與扇形面積密切相關(guān)的弓月形。如圖5，等腰直角三角形斜邊上的半圓與以直角頂點為圓心、直角邊為半徑的四分之一圓弧所圍成的弓月形的面積恰好等于等腰直角三角形的面積。阿基米德（Archimedes）研究過若干半圓所圍成的鞋匠刀形和鹽窖形等有趣的圖形。如圖6，大半圓直徑上的一點將直徑分為兩段，而后在每一段上作同側(cè)半圓，那么由三個半圓所圍成的圖形稱為鞋匠刀形。如圖7，將大半圓直徑分為三段，其中左右兩段長度相等，在左右兩段分別作與大半圓同側(cè)的半圓，在中間作與大半圓異側(cè)的半圓，那么由這四個半圓所圍成的圖形稱為鹽窖形。

16世紀(jì)，意大利藝術(shù)大師達·芬奇（L.Da Vinci）在他的素描手稿中繪制了很多由圓弧圍成的圖形（如圖8）。其中，圖8-a形似銀杏葉，由一個半圓和兩個四分之一圓弧圍成;圖8-b形似貓眼，由兩個希波克拉底弓月形組成;圖8-c由四個蘑菇形組成。

三、兩節(jié)課的宏觀比較

兩節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)基本相同，分別是：（1）認(rèn)識扇形并理解扇形的概念;（2）掌握扇形面積公式的推導(dǎo)并運用公式進行相關(guān)的面積計算;（3）在公式推導(dǎo)過程中體會數(shù)形結(jié)合、化曲為直和無限逼近等數(shù)學(xué)思想方法。不同之處在于，教師A通過數(shù)學(xué)史上的圖形，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)文化的魅力;教師B則通過數(shù)學(xué)史上的圖形，讓學(xué)生欣賞幾何圖形之美。兩節(jié)課的教學(xué)重難點也相似：教學(xué)重點為扇形面積公式的應(yīng)用，教學(xué)難點為扇形面積公式的推導(dǎo)。

在教學(xué)過程中，教師A和教師B的教學(xué)過程均由情境引入、公式探究、公式應(yīng)用、課堂小結(jié)四個環(huán)節(jié)組成，具體見表1。

由表1可知，盡管教師A和教師B均從HPM的視角實施課堂教學(xué)，但兩者的教學(xué)設(shè)計卻迥然不同。教師A注重培養(yǎng)學(xué)生的探究能力，試圖讓學(xué)生像數(shù)學(xué)家一樣經(jīng)歷扇形面積公式的發(fā)現(xiàn)過程;教師B則注重向?qū)W生呈現(xiàn)數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)和推導(dǎo)扇形面積公式的過程，幾乎沒有給學(xué)生探究的機會;教師A聚焦分割轉(zhuǎn)化法，教師B向?qū)W生展示了阿基米德推導(dǎo)扇形面積的方法和分割轉(zhuǎn)化法?？偟恼f來，教師A的設(shè)計更符合HPM的教學(xué)理念。

四、兩節(jié)課的微觀比較

借鑒本刊往期發(fā)表的文章的分析框架[7-8]，我們從四個維度對這兩節(jié)課進行比較和分析。

（一）史料的適切性

作為HPM工作室的學(xué)員，兩位教師擁有同樣的歷史素材，這些素材均來自歷史研究，滿足科學(xué)性。教師A在情境引入環(huán)節(jié)，呈現(xiàn)了以下材料。

古巴比倫泥版上的特殊圖形;

希波克拉底弓月形;

阿基米德的鞋匠刀形和鹽窖形;

達·芬奇筆記本中的銀杏葉形和貓眼圖等。

教師B并未在情境引入環(huán)節(jié)使用數(shù)學(xué)史料，而是將上述材料呈現(xiàn)于課前印發(fā)的閱讀材料中。這些材料有效地激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和學(xué)習(xí)動機。

在公式探究環(huán)節(jié)，教師A借鑒分割轉(zhuǎn)化法設(shè)計折紙活動，并在活動之后播放HPM微視頻，展示分割轉(zhuǎn)化法;教師B通過幾何畫板，分別呈現(xiàn)了阿基米德和開普勒推導(dǎo)扇形面積的動態(tài)過程。教師A和教師B所用的史料兼具科學(xué)性、趣味性、可學(xué)性、有效性和人文性。雖然教師B將歷史素材呈現(xiàn)得更有趣（學(xué)生看到扇形轉(zhuǎn)化成三角形的動態(tài)過程，不約而同地發(fā)出驚呼），但教師A給學(xué)生提供了更多的探究機會。

（二）融入的自然性

要將數(shù)學(xué)史自然地融入數(shù)學(xué)教學(xué)，需要達成知識的邏輯序、歷史序和學(xué)生心理序的有機統(tǒng)一。

教師A在情境引入和公式探究環(huán)節(jié)運用了數(shù)學(xué)史料。在情境引入環(huán)節(jié)，教師A在對比學(xué)生的繪圖和歷史上數(shù)學(xué)家研究的圖形的基礎(chǔ)上，引入扇形概念;在公式探究環(huán)節(jié)，教師A借鑒歷史，引導(dǎo)學(xué)生采用分割轉(zhuǎn)化法發(fā)現(xiàn)和推導(dǎo)扇形面積公式。以下是教師A的教學(xué)片段。

【教學(xué)片段一】

師：歷史上一些偉大的數(shù)學(xué)家也非常喜歡研究用圓弧構(gòu)造的圖形。在大英博物館所收藏的古巴比倫數(shù)學(xué)泥版上就發(fā)現(xiàn)了由圓弧構(gòu)造的圖案。古希臘著名數(shù)學(xué)家希波克拉底在研究化圓為方問題時，構(gòu)造了著名的弓月形，并發(fā)現(xiàn)了“月牙定理”。阿基米德喜歡用半圓來研究一些面積問題。到了文藝復(fù)興時期，達·芬奇也喜歡用圓來研究面積問題，比如銀杏葉和貓眼圖。我發(fā)現(xiàn)同學(xué)們的作品（如圖9）與數(shù)學(xué)家研究的圖形也有異曲同工之妙。

生：是的，我們的作品在很多地方與這些圖形有相似之處。

師：老師相信同學(xué)們在未來也可以成為小小數(shù)學(xué)家。請大家觀察一下這些圖形都有什么共同特征。

生：都是由線段和圓弧所圍成的圖形。

師：我們把由組成圓心角的兩條半徑和圓心角所對的弧圍成的圖形叫做扇形。

【教學(xué)片段二】

師：扇形面積和組成它的弧長有什么關(guān)系呢？下面請同學(xué)們以小組為單位，通過動手折扇形來進行探究。

生：將扇形折成若干份，當(dāng)份數(shù)越多時，它會近似為一個三角形。三角形的面積公式為底乘以高除以2，那么扇形面積就是弧長乘以半徑除以2。

師：這位同學(xué)能想到這一點非常好。其實他的方法與德國數(shù)學(xué)家開普勒的推導(dǎo)方法是相似的，下面通過一段微視頻為同學(xué)們介紹他所采用的方法。

教師A展示學(xué)生課前完成的作品，并將其與歷史上數(shù)學(xué)家研究的與扇形相關(guān)的圖形進行對照，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)這些有趣的圖形與他們自己所繪制的圖形相似。教師A讓學(xué)生從這些圖形中找出規(guī)律，于是自然引出扇形定義。由此可見，教師A的引入方式雖未采用從圓到扇形的邏輯序和歷史序，但符合學(xué)生的心理序。而在探究扇形面積公式時，教師A引導(dǎo)學(xué)生采用開普勒的分割轉(zhuǎn)化法，與圓面積公式的推導(dǎo)一脈相承，因而以思想方法為主線，建立扇形和圓之間的聯(lián)系，基本上達成了邏輯序、歷史序、心理序的統(tǒng)一。

教師B在公式探究和公式應(yīng)用環(huán)節(jié)運用了數(shù)學(xué)史料。以下是教師B在公式探究環(huán)節(jié)的教學(xué)片段。

師：大家了解開普勒嗎？哪位同學(xué)可以說一說？

生：開普勒是德國杰出的天文學(xué)家、物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家，他發(fā)現(xiàn)了行星運動的三大定律，人類在2015年發(fā)現(xiàn)了首個圍繞著與太陽同類型恒星旋轉(zhuǎn)的且與地球大小相近的行星，其被命名為開普勒-452b。

師：非常好。在學(xué)習(xí)圓面積公式的時候，我們就采用了開普勒的推導(dǎo)方法，哪位同學(xué)能說一下，如何將圓轉(zhuǎn)換成我們熟悉的圖形呢？

生：將圓分成若干等份，隨著份數(shù)的增加，拼成的圖形越來越接近直角三角形，一條直角邊相當(dāng)于圓的半徑，另一條直角邊相當(dāng)于圓的周長。

師：說得非常好，下面我們一起借助幾何畫板，用開普勒的分割轉(zhuǎn)化法推導(dǎo)扇形面積公式。

（教師用幾何畫板展示開普勒推導(dǎo)扇形面積公式的方法，如圖10。）

生：將大扇形切分成若干個小扇形，在展開后，把小扇形拼成了一個近似的三角形。

師：最后拼成的近似三角形的底邊是什么呢？

生：扇形的弧長。

師：那么接下來我們一起來驗證這個公式。

教師B引導(dǎo)學(xué)生類比圓面積公式推導(dǎo)扇形面積公式，符合從圓到扇形的邏輯序和歷史序。然而，幾何畫板的動態(tài)展示雖然能提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，但在快速演示之下，他們可能并不理解從扇形到三角形的等積變換背后的原理。因此，教師B在兼顧學(xué)生心理序方面，還有改進的空間。

（三）方法的多元性

教師A在情境引入環(huán)節(jié)，呈現(xiàn)歷史上數(shù)學(xué)家研究過的圖形，屬于復(fù)制式。讓學(xué)生通過動手折紙自主探究，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，經(jīng)歷扇形面積的發(fā)現(xiàn)和推導(dǎo)過程，體會其中的極限思想，基本上屬于重構(gòu)式。利用微視頻介紹開普勒推導(dǎo)扇形面積公式的方法，屬于附加式。

教師B在公式應(yīng)用環(huán)節(jié)，展示了數(shù)學(xué)史上與扇形相關(guān)的圖形，屬于復(fù)制式。通過類比圓面積公式的推導(dǎo)過程，展示阿基米德和開普勒推導(dǎo)扇形面積公式的方法，屬于復(fù)制式。

由于教師A沒有設(shè)計問題串，因此他對扇形知識的重構(gòu)并不完善，而教師B完全沒有采用重構(gòu)式。教師A和教師B僅僅呈現(xiàn)古代數(shù)學(xué)家研究的圖形，而沒有將有關(guān)圖形設(shè)計成面積問題，因而順應(yīng)式是缺失的。

（四）價值的深刻性

悠久的歷史、美妙的圖形讓教師A和教師B的課堂教學(xué)散發(fā)著數(shù)學(xué)文化的芬芳。

在教師A的課堂教學(xué)中，數(shù)學(xué)史的教育價值主要體現(xiàn)在探究之樂和德育之效上。教師A借鑒歷史設(shè)計探究活動，引導(dǎo)學(xué)生像數(shù)學(xué)家一樣去研究數(shù)學(xué)，積累數(shù)學(xué)活動的經(jīng)驗;同時，通過古今聯(lián)系，讓學(xué)生穿越時空與古代數(shù)學(xué)家對話，從而親近數(shù)學(xué)，增強學(xué)習(xí)自信心。

在教師B的課堂教學(xué)中，數(shù)學(xué)史的教育價值主要體現(xiàn)在方法之美上。教師B利用現(xiàn)代教育技術(shù)，直觀地再現(xiàn)數(shù)學(xué)家的方法，讓學(xué)生看到數(shù)學(xué)方法的靈活、多元和神奇。

五、學(xué)生反饋

筆者在課前和課后分別對兩個班級的學(xué)生進行了問卷調(diào)查，并對部分學(xué)生進行了訪談。在課前的調(diào)查問卷中，針對問題“介紹圓面積公式的推導(dǎo)方法”，由于教師B在之前講圓面積公式時注重數(shù)學(xué)史的融入，因此她的學(xué)生能夠?qū)懗鲩_普勒推導(dǎo)圓面積公式的方法，這也為學(xué)生能夠比較自然地接受用開普勒的方法推導(dǎo)扇形面積公式奠定了基礎(chǔ)。在教師A所任教的班級中，學(xué)生雖然沒有明確提及開普勒的方法，但相較于教師B的學(xué)生，有更多的學(xué)生能夠?qū)懗鼍唧w的類似“化曲為直”的推導(dǎo)過程，這與教師A注重在課堂中滲透數(shù)學(xué)方法是分不開的。

在課后的調(diào)查問卷中，針對問題“在所給的圖形中選擇正確的扇形”，教師A的學(xué)生回答的正確率較高，大多數(shù)學(xué)生能夠選出正確的扇形。教師B的學(xué)生回答的正確率低于教師A的學(xué)生，錯誤主要集中在漏選了圓這個特殊的扇形，錯選了形如扇面的圖形，主要原因在于教師A在課堂練習(xí)中講解了與扇面有關(guān)的例題，強調(diào)了扇面是由兩個扇形面積相減得到的。針對問題“計算給定邊長的貓眼變式圖中兩個弓月形的陰影面積”[DK]（如圖11），教師A的學(xué)生只有少數(shù)人能夠正確作答，而在正確作答的學(xué)生中，大部分學(xué)生利用面積相減的計算方法進行解題，只有極少數(shù)學(xué)生能看出陰影部分的面積與正方形中兩個三角形的面積相等，而教師B的學(xué)生答題的正確率則更低一些。顯然，這道題目對于六年級的學(xué)生在理解和計算上是有一定難度的。

在對部分學(xué)生的訪談中，針對問題“對這節(jié)課印象最深的內(nèi)容”，教師A的學(xué)生的回答主要是：自己用圓等基本圖形畫出的作品;自主探究扇形面積公式的過程;開普勒推導(dǎo)扇形面積公式的方法。教師B的學(xué)生的回答主要是：用極限思想推導(dǎo)扇形面積公式;借助幾何畫板展示扇形面積公式的推導(dǎo)過程;古代數(shù)學(xué)家推導(dǎo)扇形面積公式的方法?？偟膩碚f，學(xué)生對于數(shù)學(xué)史是充滿好奇的，他們能夠接受甚至喜愛數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)課堂的教學(xué)方式。

學(xué)生對HPM視角下“扇形的面積”一課的教學(xué)評價大致可以分為以下四類。

課堂有意義，經(jīng)歷扇形面積公式的探究過程;

課堂有收獲，會利用扇形面積公式進行計算;

課堂有趣味，了解到古代數(shù)學(xué)家的經(jīng)歷和學(xué)術(shù)成果;

課堂有反思，感受到數(shù)學(xué)思想的重要性和奇妙作用。

六、結(jié)語

以上分析表明，兩節(jié)課各有其亮點和特色?？偟恼f來，教師A的教學(xué)更能體現(xiàn)HPM教學(xué)的特點，而教師B以技術(shù)見長，技術(shù)為HPM插上了翅膀。教師A和教師B所選擇的數(shù)學(xué)史料都兼具科學(xué)性、趣味性、可學(xué)性、有效性和人文性，但教師A采用了附加式、復(fù)制式和不完善的重構(gòu)式，而教師B只用了附加式和復(fù)制式。教師A在三種序的統(tǒng)一上略勝一籌。教師A借助數(shù)學(xué)史，在課堂上營造了探究之樂，展示了文化之魅，達成了德育之效;而教師B借助數(shù)學(xué)史，彰顯了方法之美和文化之魅。

通過兩節(jié)課的比較，我們得到以下啟示。

（1）關(guān)注基于數(shù)學(xué)史的問題設(shè)計

兩節(jié)課在數(shù)學(xué)史的運用方式上并不盡如人意，究其原因，教師根據(jù)歷史材料編制數(shù)學(xué)問題的意識還有待加強。沒有理想的問題串，就不會有理想的重構(gòu)。實際上，歷史上與扇形相關(guān)的圖形背后都是求面積問題。

（2）兼顧學(xué)生探究與技術(shù)運用

教師A的教學(xué)長于探究，但在古今聯(lián)系時，學(xué)生并不能直觀地看到數(shù)學(xué)家的方法;教師B的教學(xué)長于技術(shù)，但學(xué)生沒有機會親歷探究過程。如果兼顧學(xué)生探究與技術(shù)運用，那么，數(shù)學(xué)史的教育價值將得到更充分的體現(xiàn)。

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[8]趙麗紅，汪曉勤.HPM視角下的“基本不等式”同課異構(gòu)課例分析[J].中小學(xué)課堂教學(xué)研究，2020（1）：8-14.

（責(zé)任編輯：陸順演）