由因得果 解得在手

摘 要：對(duì)于考試中的壓軸題，學(xué)生總是很畏懼。初中的教學(xué)非常注重學(xué)生的邏輯思維能力和解決問題能力的培養(yǎng)。平時(shí)的考試試題也考查學(xué)生分析問題的能力。特別是壓軸題綜合性強(qiáng)，需要學(xué)生去根據(jù)題干條件分析問題、解決問題。筆者所在年級(jí)段，有每周一次壓題訓(xùn)練，目的是提升學(xué)生的解題能力，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力?，F(xiàn)以2018年福建省中考題最后一道壓軸題為例，探索解法自然生成過程，希望能給學(xué)生們有所啟示。

關(guān)鍵詞：依存關(guān)系；分析能力；自然解法

一、 題目呈現(xiàn)

（2018·福建）已知拋物線y=ax2+bx+c過點(diǎn)A（0，2）。

（1）若點(diǎn)（-2，0）也在該拋物線上，求a，b滿足的關(guān)系式；

（2）若該拋物線上任意不同兩點(diǎn)M（x1，y1），N（x2，y2）都滿足：當(dāng)x10；當(dāng)0

①求拋物線解析式；

②若點(diǎn)P與點(diǎn)O關(guān)于點(diǎn)A對(duì)稱，且O、M、N三點(diǎn)共線，求證：PA平分∠MPN。

此題看似很復(fù)雜，其實(shí)只要讀懂題干條件，順著題干條件的意思順藤摸瓜，思路就可以打開了。

二、 解法探究

（一） 靠攏高中 無獨(dú)有偶

先對(duì)第（1）、（2）①這兩問進(jìn)行分析：（1）由拋物線經(jīng)過點(diǎn)A可求出c=2，再代入（-2，0）即可得出2a-2b+2=0（a≠0）；

（2）①根據(jù)x10，有x1-x2<0，y1-y2<0，當(dāng)x<0時(shí)，y隨x的增大而增大；同理：當(dāng)x>0時(shí)，y隨x的增大而減小，由二次函數(shù)的性質(zhì)可得出拋物線的對(duì)稱軸為y軸且開口向下，進(jìn)而可得出b=0，由拋物線的對(duì)稱性可得出△ABC為等腰三角形，結(jié)合其有一個(gè)60°的內(nèi)角可得出△ABC為等邊三角形，設(shè)線段BC與y軸交于點(diǎn)D，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得出點(diǎn)C的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法可求出a值，即c=2，b=0，a=-1，拋物線的解析式為y=-x2+2；

（二） 過程繁瑣 體現(xiàn)能力

②由①的結(jié)論可得出點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x1，-x21+2），點(diǎn)N的坐標(biāo)為（x2，-x22+2），由O、M、N三點(diǎn)共線可得出

x2=-2x1，進(jìn)而可得出點(diǎn)N及點(diǎn)N′的坐標(biāo)，由點(diǎn)A、M的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法可求出直線AM的解析式，利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可得出點(diǎn)N′在直線PM上，進(jìn)而即可證出PA平分∠MPN。

②證明：由①可知，M的坐標(biāo)為（x1，-x21+2），點(diǎn)N的坐標(biāo)為（x2，-x22+2）。

直線OM的解析式為y=k1x（k1≠0）。

∵O、M、N三點(diǎn)共線，

∴x1≠0，x2≠0，且-x21+2x1=-x22+2x2，

∴x1x2=-2，即x2=-2x1，

∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為-2x1，-4x21+2。

設(shè)點(diǎn)N關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)N′，則點(diǎn)N′的坐標(biāo)為2x1，-4x21+2。

∵點(diǎn)P是點(diǎn)O關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)，

∴OP=2OA=4，即點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，4）。

設(shè)直線PM的解析式為y=k2x+4，

∵點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x1，-x21+2），

∴-x21+2=k2x1+4，即有k2=-x21+2x1，

∴直線PM的解析式為y=-x21+2x1x+4。

∵-x21+2x1·2x1+4=-2（x21+2）+4x21x21=-4x21+2，

∴點(diǎn)N′在直線PM上，即PA平分∠MPN。

（三） 借用三角函數(shù) 解決幾何問題

②設(shè)直線MN：y=kx，則kx=-x2+2，

x1+x2=-k，x1x2=-2，x2=-k-x1

∵O、M、N三點(diǎn)共線，故不妨令M左，N右

作ME⊥y軸于E，NF⊥y軸于F，則P（0，4）

tan∠1=MEPE=-x14-y1=-x14-kx1=-x14-kx1·x2x2=x1x2kx1x2-4x2=1k+2x2

tan∠2=NFPF=-x24-y2=-x24-kx2=-x24-kx2·x1x1=x1x24x1-kx1x2=12x2+2

∴∠1=∠2，即PA平分∠MPN。

三、 解后反思

《立足學(xué)科本質(zhì) 關(guān)注理性思維》提出數(shù)學(xué)學(xué)科的命題堅(jiān)持“立足本質(zhì)、著眼素養(yǎng)、合理綜合、關(guān)注應(yīng)用、適度創(chuàng)新”的原則，注重“四基”，突出能力，關(guān)注理性思維，明晰教學(xué)導(dǎo)向。

命題立足初中數(shù)學(xué)各板塊知識(shí)所承載的教育價(jià)值，關(guān)注數(shù)學(xué)學(xué)科的育人功能，突出考查理性思維，“圖形與幾何”關(guān)注演繹推理，著重考查推理的邏輯性與條理性，關(guān)注論據(jù)的充分性，強(qiáng)調(diào)“言必有據(jù)”。

任何一種自然解法都是基于學(xué)生已有基礎(chǔ)知識(shí)和解題經(jīng)驗(yàn)，具有一定的思維含量。有的易想難算，有的易算難想。讀懂題目，順著題目的意思，根據(jù)自己所學(xué)知識(shí)摸出一條路線解決問題。改進(jìn)我們的教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生分析挖掘好題中的奧妙，讓壓軸題回歸到雙基，這樣數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)才不再成為困難。

參考文獻(xiàn)：

[1]葉先玖.順知順時(shí)自然解 回歸回味順勢(shì)得[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2017（4）.

作者簡(jiǎn)介：周明珠，福建省泉州市，福建省泉州第一中學(xué)。