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    由因得果 解得在手

    2019-02-15 08:38周明珠
    考試周刊 2019年14期
    關(guān)鍵詞:分析能力

    摘 要:對(duì)于考試中的壓軸題,學(xué)生總是很畏懼。初中的教學(xué)非常注重學(xué)生的邏輯思維能力和解決問題能力的培養(yǎng)。平時(shí)的考試試題也考查學(xué)生分析問題的能力。特別是壓軸題綜合性強(qiáng),需要學(xué)生去根據(jù)題干條件分析問題、解決問題。筆者所在年級(jí)段,有每周一次壓題訓(xùn)練,目的是提升學(xué)生的解題能力,培養(yǎng)學(xué)生的思維能力?,F(xiàn)以2018年福建省中考題最后一道壓軸題為例,探索解法自然生成過程,希望能給學(xué)生們有所啟示。

    關(guān)鍵詞:依存關(guān)系;分析能力;自然解法

    一、 題目呈現(xiàn)

    (2018·福建)已知拋物線y=ax2+bx+c過點(diǎn)A(0,2)。

    (1)若點(diǎn)(-2,0)也在該拋物線上,求a,b滿足的關(guān)系式;

    (2)若該拋物線上任意不同兩點(diǎn)M(x1,y1),N(x2,y2)都滿足:當(dāng)x10;當(dāng)0

    ①求拋物線解析式;

    ②若點(diǎn)P與點(diǎn)O關(guān)于點(diǎn)A對(duì)稱,且O、M、N三點(diǎn)共線,求證:PA平分∠MPN。

    此題看似很復(fù)雜,其實(shí)只要讀懂題干條件,順著題干條件的意思順藤摸瓜,思路就可以打開了。

    二、 解法探究

    (一) 靠攏高中 無獨(dú)有偶

    先對(duì)第(1)、(2)①這兩問進(jìn)行分析:(1)由拋物線經(jīng)過點(diǎn)A可求出c=2,再代入(-2,0)即可得出2a-2b+2=0(a≠0);

    (2)①根據(jù)x10,有x1-x2<0,y1-y2<0,當(dāng)x<0時(shí),y隨x的增大而增大;同理:當(dāng)x>0時(shí),y隨x的增大而減小,由二次函數(shù)的性質(zhì)可得出拋物線的對(duì)稱軸為y軸且開口向下,進(jìn)而可得出b=0,由拋物線的對(duì)稱性可得出△ABC為等腰三角形,結(jié)合其有一個(gè)60°的內(nèi)角可得出△ABC為等邊三角形,設(shè)線段BC與y軸交于點(diǎn)D,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得出點(diǎn)C的坐標(biāo),再利用待定系數(shù)法可求出a值,即c=2,b=0,a=-1,拋物線的解析式為y=-x2+2;

    (二) 過程繁瑣 體現(xiàn)能力

    ②由①的結(jié)論可得出點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x1,-x21+2),點(diǎn)N的坐標(biāo)為(x2,-x22+2),由O、M、N三點(diǎn)共線可得出

    x2=-2x1,進(jìn)而可得出點(diǎn)N及點(diǎn)N′的坐標(biāo),由點(diǎn)A、M的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法可求出直線AM的解析式,利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可得出點(diǎn)N′在直線PM上,進(jìn)而即可證出PA平分∠MPN。

    ②證明:由①可知,M的坐標(biāo)為(x1,-x21+2),點(diǎn)N的坐標(biāo)為(x2,-x22+2)。

    直線OM的解析式為y=k1x(k1≠0)。

    ∵O、M、N三點(diǎn)共線,

    ∴x1≠0,x2≠0,且-x21+2x1=-x22+2x2,

    ∴x1x2=-2,即x2=-2x1,

    ∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為-2x1,-4x21+2。

    設(shè)點(diǎn)N關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)N′,則點(diǎn)N′的坐標(biāo)為2x1,-4x21+2。

    ∵點(diǎn)P是點(diǎn)O關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn),

    ∴OP=2OA=4,即點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,4)。

    設(shè)直線PM的解析式為y=k2x+4,

    ∵點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x1,-x21+2),

    ∴-x21+2=k2x1+4,即有k2=-x21+2x1,

    ∴直線PM的解析式為y=-x21+2x1x+4。

    ∵-x21+2x1·2x1+4=-2(x21+2)+4x21x21=-4x21+2,

    ∴點(diǎn)N′在直線PM上,即PA平分∠MPN。

    (三) 借用三角函數(shù) 解決幾何問題

    ②設(shè)直線MN:y=kx,則kx=-x2+2,

    x1+x2=-k,x1x2=-2,x2=-k-x1

    ∵O、M、N三點(diǎn)共線,故不妨令M左,N右

    作ME⊥y軸于E,NF⊥y軸于F,則P(0,4)

    tan∠1=MEPE=-x14-y1=-x14-kx1=-x14-kx1·x2x2=x1x2kx1x2-4x2=1k+2x2

    tan∠2=NFPF=-x24-y2=-x24-kx2=-x24-kx2·x1x1=x1x24x1-kx1x2=12x2+2

    ∴∠1=∠2,即PA平分∠MPN。

    三、 解后反思

    《立足學(xué)科本質(zhì) 關(guān)注理性思維》提出數(shù)學(xué)學(xué)科的命題堅(jiān)持“立足本質(zhì)、著眼素養(yǎng)、合理綜合、關(guān)注應(yīng)用、適度創(chuàng)新”的原則,注重“四基”,突出能力,關(guān)注理性思維,明晰教學(xué)導(dǎo)向。

    命題立足初中數(shù)學(xué)各板塊知識(shí)所承載的教育價(jià)值,關(guān)注數(shù)學(xué)學(xué)科的育人功能,突出考查理性思維,“圖形與幾何”關(guān)注演繹推理,著重考查推理的邏輯性與條理性,關(guān)注論據(jù)的充分性,強(qiáng)調(diào)“言必有據(jù)”。

    任何一種自然解法都是基于學(xué)生已有基礎(chǔ)知識(shí)和解題經(jīng)驗(yàn),具有一定的思維含量。有的易想難算,有的易算難想。讀懂題目,順著題目的意思,根據(jù)自己所學(xué)知識(shí)摸出一條路線解決問題。改進(jìn)我們的教學(xué),引導(dǎo)學(xué)生分析挖掘好題中的奧妙,讓壓軸題回歸到雙基,這樣數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)才不再成為困難。

    參考文獻(xiàn):

    [1]葉先玖.順知順時(shí)自然解 回歸回味順勢(shì)得[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考,2017(4).

    作者簡(jiǎn)介:周明珠,福建省泉州市,福建省泉州第一中學(xué)。

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