“縮放”視角下小數(shù)除法意義的教學(xué)探究

黃冰

摘?要?小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，小數(shù)除以小數(shù)，無法用“平均分”的意義來解釋時(shí)，用放縮變換的視角來理解，其實(shí)質(zhì)就是“比例思維”。數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)是培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)的重中之重，本文通過一道人教版五年級(jí)上冊“小數(shù)除以小數(shù)”的練習(xí)題，引入“比例思維”，拓展對(duì)除法意義的認(rèn)識(shí)和理解。

關(guān)鍵詞?“縮放”視角;小數(shù)除法意義

中圖分類號(hào)：G622 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1002-7661（2020）22-0118-02

日常課堂教學(xué)過程中，難免會(huì)碰到一些疑難問題，這些問題是因?yàn)榻處熢诮虒W(xué)設(shè)計(jì)時(shí)未能站在學(xué)生的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)上來考慮造成的，也就是對(duì)學(xué)情的把握不到位造成的。本文從郜舒竹老師的《“小數(shù)乘法”起點(diǎn)在哪兒》一文，聯(lián)系到小數(shù)除法意義的理解，用“縮放”視角即比例思維，解決了人教版五年級(jí)上冊數(shù)學(xué)教學(xué)中“小數(shù)除以小數(shù)”解決問題的疑難。為后續(xù)學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)除法的意義埋下伏筆，同時(shí)滲透“比例思維”。

一、尷尬問題引出的緣由

在學(xué)習(xí)小數(shù)除法這一單元時(shí)，作業(yè)本上有這么一道練習(xí)題：一輛小汽車每行駛4.5千米要排放7.83克污染物，一輛小汽車每行駛1千米要排放多少克污染物？

批改的過程中，教師驚訝地發(fā)現(xiàn)這道題有41%的學(xué)生列的算式是4.5÷7.83=1.73（km）。當(dāng)時(shí)很不解為什么學(xué)生們這種題都不會(huì)做。課堂上講解時(shí)，突然一個(gè)學(xué)生舉手提問：“老師，為什么除以4.5千米就是1千米的呢？除以4是1km排放的污染物，那還有0.5怎么辦？”頓時(shí)，課堂里一片附和聲。教師恍然大悟，原來學(xué)生根據(jù)以往整數(shù)除法的意義，運(yùn)用平均分來理解，可是除數(shù)是小數(shù)，如何建立平均分呢？這還真是個(gè)尷尬的問題，這個(gè)問題顯然是把教師給難倒了，于是開始了以下一些思考：

問題一：除法的意義是什么？

整理了所有有關(guān)除法的教材內(nèi)容，并做了相應(yīng)的分析。

二年級(jí)下冊《表內(nèi)除法（一）—除法的初步認(rèn)識(shí)》，學(xué)生們開始認(rèn)識(shí)除法，并且認(rèn)識(shí)除法的第一節(jié)課就是從“平均分”開始。學(xué)生明白一個(gè)數(shù)除以另一個(gè)數(shù)就是把一個(gè)數(shù)平均分成幾份，和一個(gè)數(shù)里面有幾個(gè)另一個(gè)數(shù)（包含關(guān)系）。三年級(jí)上冊《倍的認(rèn)識(shí)》，學(xué)生通過學(xué)習(xí)初步建立了“倍”的意義，能運(yùn)用倍的意義來敘述兩個(gè)數(shù)的倍數(shù)關(guān)系。倍數(shù)關(guān)系的本質(zhì)其實(shí)就是“比”，是一種數(shù)與數(shù)之間的關(guān)系。三年級(jí)下冊《除數(shù)是一位數(shù)的除法》、四年級(jí)上冊《除數(shù)是兩位數(shù)的除法》、五年級(jí)上冊《小數(shù)除法》中，所有例題情境的選擇都圍繞著“平均分”或“包含關(guān)系”來解決問題。

通過整理，除法的意義總結(jié)以下三點(diǎn)（以a÷b=c為例）：1、a是b的幾倍（“比”的關(guān)系）;2、把a(bǔ)平均分成b份，每份是多少（平均分）;3、a里面有幾個(gè)b（包含關(guān)系）。

問題二：對(duì)于這道題，如何用學(xué)生認(rèn)知的除法的意義來解釋？

似乎，用學(xué)生以往學(xué)習(xí)除法意義的經(jīng)驗(yàn)，還是很難解決學(xué)生提出的這個(gè)問題。到底該怎樣解釋這個(gè)問題，教師陷入了迷茫之中。

二、縮放視角的發(fā)現(xiàn)

正當(dāng)陷入迷茫之時(shí)，教師看到了郜舒竹老師的《“小數(shù)乘法”起點(diǎn)在哪兒》的文章。文章中，郜老師首先也提出了一個(gè)問題：例如，某商品每千克3.5元，如果買3千克，需要多少元？實(shí)際就是求“3個(gè)3.5等于多少”，這個(gè)過程其實(shí)就是把兩數(shù)相乘的過程看做相同加數(shù)求和或者簡稱為“重復(fù)加”，但是在兩個(gè)因數(shù)都是小數(shù)的情況下，就無法解釋它的含義了。比如，某商品每千克3.5元，如果買0.5千克，需要多少元？這里列出的算式“3.5×0.5”就沒有重復(fù)加的過程。因此，郜老師提出了觀點(diǎn)——“乘”的本質(zhì)是放縮，其實(shí)就是一種“比例思維”。

郜老師認(rèn)為，放縮的過程本質(zhì)上是基于“測量”的認(rèn)識(shí)活動(dòng)。測量過程一般是源于比較的需要，主要包含兩個(gè)基本要素，第一是確定標(biāo)準(zhǔn)（單位），第二是被測對(duì)象與標(biāo)準(zhǔn)的關(guān)系。前面題目中是將“3.5×1”視為標(biāo)準(zhǔn)，然后看3.5×3和3.5×0.5相對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)發(fā)生了怎樣的變化，前者是擴(kuò)大為原來的3倍，后者縮小為原來的一半或者二分之一。

依據(jù)這樣的認(rèn)識(shí)，那除法的本質(zhì)不也是縮放的過程嗎？

三、縮放視角下的合理解釋

運(yùn)用縮放原理，教師覺得可以很清晰說明本題的做法，并且對(duì)除法的意義也有更深的理解。

1、解釋：運(yùn)用縮放的原理，來理解作業(yè)本上出現(xiàn)的這個(gè)問題，首先整理題目中的信息：

1千米？克

分析：行駛的路程縮小4.5倍，那么排放的污染物也縮小4.5倍，所以列式應(yīng)該為：

4.5÷1=4.5，7.83÷4.5=1.74（克）。

2、變式：一輛汽車行駛4.5千米排放污染物7.83克，照這樣計(jì)算，平均每排放1克污染物行駛多少千米？

整理信息：

？千米1克

分析：排放的污染物縮小7.83倍，那么行駛的路程也縮小7.83倍，所以列式為7.83÷1=7.83，4.5÷7.83≈0.57（千米）。

3、延伸：一輛汽車行駛4.5千米排放污染物7.83克，照這樣計(jì)算，行駛3千米排放污染物多少克？

整理信息

3千米？克

分析：行駛的路程縮小1.5倍，那么排放的污染物也縮小1.5倍，所以列式為：

4.5÷3=1.5，7.83÷1.5=5.22（克）。

四、縮放視角下合理解釋的原理依據(jù)

乘法的縮放過程是建立在確定的標(biāo)準(zhǔn)上的。例如理解0.3×0.2，首先可以確定一條長度為1的線段，將其縮短為1的0.3倍得到長度為0.3的線段，再將其縮短0.2倍，這時(shí)線段長度就是0.3×0.2。而除法的縮放過程背后支撐的原理也是確定的標(biāo)準(zhǔn)。例如汽車在行駛的過程中，每千米排放污染物或者每排放1克污染物行駛的距離是一定的。延伸到比例的知識(shí)，就是排放污染物與路程成正比例關(guān)系。五年級(jí)學(xué)生雖然還沒有學(xué)習(xí)比例的知識(shí)，做完以上的練習(xí)可以引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)“行駛路程越遠(yuǎn)，排放污染物越多并且每千米排放污染物是一定的”這一關(guān)系，滲透比例的思維。

教學(xué)片斷：

師：請同學(xué)們對(duì)比一下這三道題，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生1：我發(fā)現(xiàn)他們的變化是一樣的。

師：你說的變化具體是指什么變化？

生1：就是行駛的距離和排放的污染物他們縮小的倍數(shù)是一樣的。

師：是的，那你知道為什么他們縮小的倍數(shù)是一樣的嗎？

生2：因?yàn)槊壳着欧诺奈廴疚锸且粯拥摹?/p>

師：是啊，每千米排放的污染物是一定的，在我們生活中，像這樣的現(xiàn)象還有哪些？

生3：汽車行駛每1km消耗的油是一樣的。

生4：每消耗1升油可以行駛的距離是一樣的。

生5：還有其實(shí)買東西也是這樣，物品的單價(jià)是固定的，買的東西越多，總價(jià)越高。

師：這位同學(xué)還提到了一個(gè)變化的關(guān)系，在我們前面的練習(xí)中有沒有這樣的變化關(guān)系？

生6：有，行駛的路程越遠(yuǎn)，排放的污染物就越多

教師進(jìn)行總結(jié)：是啊，通過這一組題的練習(xí)，我們不僅發(fā)現(xiàn)了變化的規(guī)律，還發(fā)現(xiàn)了變化過程中不變的事物。

五、結(jié)束語

隨著教育改革的不斷深入，培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)已成為全體教育工作者的共識(shí)，數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)則是核心素養(yǎng)的重中之重。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師們期望超越形式化的教學(xué)，不斷引導(dǎo)孩子尋求知識(shí)的本質(zhì)，讓孩子逐步養(yǎng)成數(shù)學(xué)思維習(xí)慣，具備數(shù)學(xué)的頭腦和眼光，促進(jìn)孩子數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的養(yǎng)成與提升。

參考文獻(xiàn)：

[1]郜舒竹.“小數(shù)乘法”起點(diǎn)在哪兒[J].教學(xué)月刊，2018（9）：4-7.