基于APOS模型下的函數(shù)單調(diào)性的概念教學

宋纖纖

摘?要：函數(shù)的單調(diào)性是一節(jié)概念課，其教學設計遵于APOS理論的四個階段，設計6個環(huán)節(jié)。APOS理論是針對數(shù)學概念學習建立的，有利于突破函數(shù)單調(diào)性的抽象性，因此通過此教學設計對如何培養(yǎng)學生的數(shù)學抽象能力做了初步的探討。

關鍵詞：APOS;單調(diào)性;數(shù)學抽象

中圖分類號：G633.6文獻標識碼：A?文章編號：1992-7711（2020）13-091-1

本文基于APOS模型理論設計了“函數(shù)的單調(diào)性”，函數(shù)的單調(diào)性是一節(jié)概念課，抽象出函數(shù)單調(diào)性的定義是一難點。APOS理論是是美國的杜賓斯基等人針對學生數(shù)學概念學習建立的，他們認為學生學習數(shù)學概念是需要心理建構(gòu)的，這一建構(gòu)過程經(jīng)歷四個階段：Action（活動）——Process（過程）——Object（對象）——Scheme（概型）?；诖四Ｐ?，可突破數(shù)學概念的抽象性，因此本文從以下兩部分進行闡述。

一、基于APOS理論函數(shù)單調(diào)性的教學設計

第一階段：直觀感知（活動階段）——感性認知，直觀理解

環(huán)節(jié)1?創(chuàng)設情景

1.說出初中學過函數(shù)（一次函數(shù)，二次函數(shù)，反比例函數(shù)）圖象的變化情況

【設計意圖】?讓學生從圖象直接看出圖象上升或下降的變化趨勢，直觀感知函數(shù)單調(diào)性。

環(huán)節(jié)2?探索新知

第二階段：歸納概括（過程階段）——理性認知，歸納本質(zhì)

問題1：如何利用函數(shù)解析式來刻畫圖象的上升或下降趨勢呢？

以y=x2為例，通過五點作圖法，描點畫出其圖象

分析：通過圖象發(fā)現(xiàn)當x>0時，圖象是上升的，當x<0時，圖象是下降的。通過列表發(fā)現(xiàn)當x>0時，自變量變大，函數(shù)值變大，當x<0時，自變量變大，函數(shù)值變小。結(jié)合圖象和表格，發(fā)現(xiàn)當1<2時，f（1）

第三階段：綜合分析（對象階段）——理性分析，概念符號化

環(huán)節(jié)3?概念形成

問題2：只取自變量的某兩個值，比較它們函數(shù)值的大小關系能說明二次函數(shù)在[0，+∞）上是增函數(shù)嗎？如果不能，那應該怎么??？

分析：3個不行，100個不行，1000個不行，有限個也不行，無數(shù)個也不行，應該要取遍其每一個，也就是所有，所有在數(shù)學中用任意來表示，所以在定義中應該補上任意。并且通過幾何畫板的動態(tài)展示，直觀感受“任意”二字。因此，我們得到增函數(shù)的完整定義。這從形到數(shù)的過程，體現(xiàn)了數(shù)學抽象這一核心素養(yǎng)。

【設計意圖】?由直觀感受轉(zhuǎn)變?yōu)閿?shù)學抽象定義，培養(yǎng)學生數(shù)學抽象和直觀想象的能力，以及讓學生體會數(shù)形結(jié)合思想：數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微，經(jīng)歷從特殊到一般的研究方法。

第四階段：綜合運用（概型階段）——形成圖式，辨析概念

環(huán)節(jié)4?應用舉例

例1：下圖是定義在區(qū)間[-5，5]上的函數(shù)y=f（x），根據(jù)圖象說出函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間和單調(diào)減區(qū)間。

環(huán)節(jié)6?小結(jié)回顧

1.四個概念

2.證明單調(diào)性的五個步驟

3.涉及的核心素養(yǎng)：數(shù)學抽象、直觀想象、邏輯推理

二、教學反思

函數(shù)的單調(diào)性具有抽象性，教師通過已學過的函數(shù)圖象，直觀感受函數(shù)的單調(diào)性，建立新舊知識的聯(lián)系，并且通過熟悉的函數(shù)y=x2分析增函數(shù)的符號表示，從特殊到一般，從易到難，層層遞進，幫助學生理解其符號表示。

從本節(jié)教學設計出發(fā)，筆者對培養(yǎng)學生數(shù)學抽象能力提出以下建議：

1.注重知識過程形成，積累活動經(jīng)驗。

教師設計符合學生的認知水平的各類“活動”，引發(fā)學生思考，學生通過自主探究，從具體到抽象獲得概念形成，從特殊到一般，有助于學生揭示概念的本質(zhì)，提升數(shù)學抽象能力。

2.結(jié)合圖象或生活實例，多方面滲透數(shù)學抽象。

圖象具有直觀性，可以將抽象的事物具象化，因此數(shù)形結(jié)合可以減弱概念的數(shù)學抽象性。教學過程中，多提出與生活實際相關的問題，讓學生感受數(shù)學的應用性和數(shù)學知識形成的自然性，覺得數(shù)學概念的形成不突兀，并且是順理成章的。

3.重視一般性思考問題的習慣。

這種習慣需要潛移默化的培養(yǎng)，在平時的教學中，要注重知識之間的相互關聯(lián)性，培養(yǎng)學生的歸納概括、類比遷移等能力，以及讓學生能夠看到知識之間的聯(lián)系性，整體性及其本質(zhì)，這對于培養(yǎng)數(shù)學抽象起到關鍵的作用。

4.多總結(jié)研究方法。

數(shù)學概念的形成有其一般性的研究方法，擅于總結(jié)，可以讓學生形成模式化，培養(yǎng)解決問題的能力?？偨Y(jié)方法，總結(jié)步驟的過程中，即是一般性思維形成的過程，從而培養(yǎng)學生的數(shù)學抽象能力。

[參考文獻]

[1]袁柳芳等.基于APOS理論的高中生函數(shù)概念認知調(diào)查[J].中學數(shù)學教學參考，2015（03）.

[2]肖海燕.APOS理論指導下的等差數(shù)列概念教學[J].高中數(shù)學教與學，2014（02）.

（作者單位：福建省廈門市海滄中學，福建?廈門361000）