一道解析幾何試題的研究與推廣

貴州省貴州師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院(550025) 姜 文

貴州省貴陽(yáng)為明國(guó)際學(xué)校(550018) 駱萬(wàn)麗

貴州省2020年普通高等學(xué)校招生適應(yīng)性考試文科數(shù)學(xué)第11 題是一道解析幾何試題,命題者以直線與拋物線的位置關(guān)系為背景,考查了學(xué)生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力.題目立足基礎(chǔ)知識(shí)和基本思想方法,是一道質(zhì)量較高的試題,主要涉及數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理和直觀想象等核心素養(yǎng).下面對(duì)它做進(jìn)一步研究.

試題已知拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)為F,其準(zhǔn)線l與x軸相交于點(diǎn)M,過(guò)點(diǎn)M作斜率為k的直線與拋物線C相交于A,B兩點(diǎn),若∠AFB=60?,則k=( ).

1 試題解答

解設(shè)直線AB的方程為y=k(x+1),由消去y得k2x2+(2k2?4)x+k2=0,因?yàn)橹本€與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn),所以上述方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根,所以?=(2k2?4)2?4k4≥0,解得k2≤1,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1x2=1,由拋物線的定義可知

由cos ∠AFB=得

將x1+x2和x1x2的值帶入化簡(jiǎn)得解得符合條件,故答案選D.

2 問(wèn)題提出

該題是一個(gè)直線與圓錐曲線相交的典型問(wèn)題,它集中體現(xiàn)了解析幾何中用代數(shù)來(lái)研究幾何圖形的“解析法”的基本思想,以上的解答是直線與圓錐曲線相交問(wèn)題的常規(guī)解決方法.從解答過(guò)程可以看出,向量和拋物線的定義在解決問(wèn)題的過(guò)程中起到了關(guān)鍵作用.

從上述解法可以看到,直線AB的斜率k與∠AFB的大小有著密切關(guān)系,它們是相互制約的,反而拋物線的方程似乎并不是關(guān)鍵的條件.由此我們可以猜測(cè),如果改變∠AFB的大小,那么直線AB的斜率k就會(huì)發(fā)生變化,此時(shí)關(guān)系式是否依然成立呢? 筆者對(duì)此做了研究.下面我們以性質(zhì)的形式給出它們的一般聯(lián)系.

3 推廣

為了表述的方便,我們僅以焦點(diǎn)在x軸上的曲線為例,當(dāng)曲線的焦點(diǎn)在y軸上時(shí)有相同的結(jié)論.

性質(zhì)1設(shè)M是拋物線E:y2=2px(p＞0)的準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn),F是拋物線E的焦點(diǎn),過(guò)點(diǎn)M且斜率為k的直線與E交于A,B兩點(diǎn),若∠AFB=φ,則

證明設(shè)直線AB的方程為其中m0.

設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則y1+y2=2pm,y1·y2=p2,

當(dāng)拋物線的開(kāi)口方向?yàn)橥髸r(shí),有類似的結(jié)論.

圓錐曲線的性質(zhì)往往是對(duì)偶地存在著的,既然拋物線有這樣的性質(zhì),那么橢圓和雙曲線會(huì)不會(huì)有類似的性質(zhì)呢? 如果有,形式會(huì)是什么樣呢? 進(jìn)一步探究,得到如下的兩條性質(zhì).

性質(zhì)2設(shè)M是橢圓C:=1(a＞b＞0)的左(右)準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn),F是C的左(右)焦點(diǎn).過(guò)點(diǎn)M且斜率為k的直線與橢圓C相交于A,B兩點(diǎn),若∠AFB=φ,則其中e是C的離心率.

證明設(shè)F(?c,0),其中則直線AB的方程為由消去y得:

因?yàn)橹本€與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn),所以上述方程的判別式

解得

設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則

將①中兩式帶入并化簡(jiǎn)得

當(dāng)M是右準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)、F為右焦點(diǎn)的情形類似可以證明.

性質(zhì)3設(shè)M是雙曲線=1(a＞0,b＞0)的左(右)準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn),F是Γ 的左(右)焦點(diǎn).過(guò)點(diǎn)M且斜率為k的直線與雙曲線Γ 相交于A,B兩點(diǎn),若∠AFB=φ,則其中e是雙曲線Γ 的離心率.

證明以M是右準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)、F為右焦點(diǎn)的情況加以證明.設(shè)其中則直線AB的方程為消去y得:

因?yàn)橹本€與雙曲線由兩個(gè)交點(diǎn),所以b2?a2k20,且

解得

設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則

當(dāng)M是左準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)、F為左焦點(diǎn)的情形類似可以證明.

到此我們可以看到,如果把拋物線的離心率看作是1,那么三種圓錐曲線將有著統(tǒng)一的性質(zhì),即其中e是對(duì)應(yīng)的圓錐曲線的離心率.這是一條多么簡(jiǎn)潔的性質(zhì)!我們將它一般地表述如下:

設(shè)F是圓錐曲線的焦點(diǎn),M是與F對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn),過(guò)M的直線與圓錐曲線相交于A,B兩點(diǎn).若直線AB的斜率為k,∠AFB=φ,則其中e是對(duì)應(yīng)的圓錐曲線的離心率.

事實(shí)上,對(duì)于性質(zhì)1,我們有如下的與之等價(jià)的關(guān)系,不妨將其記為性質(zhì)1′.

性質(zhì)1′設(shè)M是拋物線E:y2=2px(p＞0)的準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn),F是拋物線E的焦點(diǎn),過(guò)點(diǎn)M且斜率為k的直線與E交于A,B兩點(diǎn),若直線AF的傾斜角為θ,則k=±sinθ.

如果我們從原“試題”的另一種解法來(lái)看的話,性質(zhì)1′的結(jié)果是顯然的.將其簡(jiǎn)述如下.

“試題”解法2如圖1,分別過(guò)點(diǎn)A,B作x軸和拋物線的準(zhǔn)線的垂線,交點(diǎn)分別為E、C和G、D,并設(shè)直線AB的傾斜角為α,∠BFG=θ,∠AFE=β.

從而k=tanα=sinθ=sin 60?=,由對(duì)稱性可知,k也可以取綜上,

由該解法可以直接看出,直線AB的斜率k=±sinθ.進(jìn)一步地可得tan2θ=若直線BF的斜率k1,則直線AB的斜率和直線BF的斜率由k1=聯(lián)系著.

圖1

上述解法實(shí)際上直接給出了性質(zhì)1′的證明,因?yàn)橹灰?,θ與β就不可能互補(bǔ),也就是說(shuō)θ=β就一定成立.

由性質(zhì)1′的結(jié)果,如下的結(jié)論是成立的,我們不妨把它記為性質(zhì)1′′.

圖2

圖3

性質(zhì)1′′設(shè)M是拋物線E:y2=2px(p＞0)的準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn),F是拋物線E的焦點(diǎn),過(guò)點(diǎn)M的直線與E交于A,B兩點(diǎn).若點(diǎn)B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為D,則A、F、D三點(diǎn)共線.

下面從另一角度來(lái)證明性質(zhì)1′′.如圖2,由性質(zhì)1的證明可知D(x2,?y2),所以又從而

如圖3,由性質(zhì)1′′可知,如果拋物線y2=2px(p＞0)的焦點(diǎn)為F,其準(zhǔn)線與x軸相交于點(diǎn)M,過(guò)點(diǎn)F的直線l與拋物線相交于A,B兩點(diǎn),則kMA=?kMB.其中kMA和kMB分別是直線MA和MB的斜率.該結(jié)果的另外一種證明詳見(jiàn)文獻(xiàn)[1].

上述結(jié)果是很重要的,它告訴我們:x軸是∠AMB的平分線.更一般地,可以得到如下的兩個(gè)結(jié)論:

結(jié)論1:已知點(diǎn)P(?m,0)(m＞0),過(guò)點(diǎn)Q(m,0)的直線l與拋物線y2=2px(p＞0)相交于點(diǎn)A,B兩點(diǎn),則x軸是∠APB的平分線.

結(jié)論2:已知點(diǎn)P(?m,0)(m＞0),不垂直于x軸的直線l與拋物線y2=2px(p＞0)相交于點(diǎn)A,B兩點(diǎn),若x軸是∠APB的平分線,則直線l恒過(guò)Q(m,0).

以上兩個(gè)結(jié)論的證明可參見(jiàn)文獻(xiàn)[2]和[3].

對(duì)于性質(zhì)2 和性質(zhì)3,有興趣的讀者可以類似地討論,方法是完全類似的,限于篇幅,在此不對(duì)它們展開(kāi)研究.

4 應(yīng)用

值得關(guān)注的是,在歷年的高考中,常常見(jiàn)到以此為背景命制的試題,列舉如下:

真題1(2010年高考全國(guó)卷Ⅰ)已知拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)為F,過(guò)點(diǎn)K(?1,0)的直線l與C相交于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為D.

(1)證明:點(diǎn)F在直線BD上;

試題評(píng)析該題第(1)小題就是性質(zhì)1′′的情形;第(2)小題可以先由求直線AB的斜率,再由得到直線BD的斜率,從而可得直線AB和直線BD的方程,再結(jié)合圓心M在x軸上,由M到直線AB和直線BD的距離相等即可解得圓心和半徑.如果考生熟悉以上討論的幾種模型及其結(jié)果,那么解決該題就很容易了.

真題2(2013年高考陜西卷理科)已知?jiǎng)訄A過(guò)定點(diǎn)A(4,0),且在y軸上截得弦MN的長(zhǎng)為8.

(1)求動(dòng)圓圓心的軌跡C的方程;

(2)已知點(diǎn)B(?1,0),設(shè)不垂直于x軸的直線l與軌跡C交于不同的兩點(diǎn)P,Q,若x軸是∠PBQ的角平分線,證明直線l過(guò)定點(diǎn).

試題評(píng)析該題第(2)小題就是以上兩個(gè)結(jié)論的直接運(yùn)用.

真題3(2015年高考福建卷文科)已知點(diǎn)F為拋物線E:y2=2px(p＞0)的焦點(diǎn),點(diǎn)A(2,m)在拋物線E上,且|AF|=3.

(1)求拋物線E的方程;

(2)已知點(diǎn)G(?1,0),延長(zhǎng)AF交拋物線E于點(diǎn)B,證明:以F為圓心且與直線GA相切的圓,必與直線GB相切.

試題評(píng)析該題第(2)問(wèn)即證x軸是∠AGB的角平分線,是性質(zhì)1′′及其結(jié)果的直接應(yīng)用.

真題4(2015年高考全國(guó)卷Ⅰ理科)在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線與直線y=kx+a(a＞0)交于M,N兩點(diǎn).

(1)當(dāng)k=0 時(shí),分別求C在點(diǎn)M和N處的切線方程;

(2)y軸上是否存在點(diǎn)P,使得當(dāng)k變動(dòng)時(shí),總有∠OPM=∠OPN? 說(shuō)明理由.

試題評(píng)析該題第(2)小題就是上述的兩個(gè)結(jié)論的情形.

真題5(2018年高考全國(guó)卷Ⅰ理科)設(shè)橢圓C:的右焦點(diǎn)為F,過(guò)F的直線l與C交于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2,0).

(1)當(dāng)l與x軸垂直時(shí),求直線AM的方程;

(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),證明:∠OMA=∠OMB.

試題評(píng)析該題第(2)小題與第4 題的第(2)小題是一脈相承的,它們的背景都是圓錐曲線的同一種性質(zhì).事實(shí)上,對(duì)于橢圓點(diǎn)M(m,0)(|m|＞a),如果過(guò)點(diǎn)直線l與橢圓G相交于A,B兩點(diǎn),則x軸是∠AMB的角平分線.該題正是這樣的一個(gè)背景,它與上述的“結(jié)論1”是對(duì)應(yīng)的.

由此可以看出,許多高考數(shù)學(xué)試題都有著相應(yīng)的背景.深入研究試題,挖掘試題的命制背景和意圖,做到舉一反三是必要的,它應(yīng)該成為解題教學(xué)或習(xí)題課的一種常態(tài).