基于直觀想象的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的解題策略*
——例談三棱錐外接球問題

廣東省廣州市第二中學(xué)(510040) 胡方杰

新一輪的數(shù)學(xué)課程改革提出六大核心素養(yǎng):數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象、數(shù)據(jù)分析.如何將提升學(xué)生的核心素養(yǎng)落實(shí)到位,是當(dāng)前中學(xué)教師亟需解決的問題.其中直觀想象是高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的六大組成部分之一,在提升學(xué)生自我學(xué)習(xí)能力方面具有很大的作用.本文通過三棱錐外接球問題解題策略:“一個(gè)技巧,兩大原則,三種模型”,闡述了直觀想象在立體幾何的應(yīng)用,從而提出一個(gè)可以在平時(shí)教學(xué)中操作的途徑,用以提高學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).高考中,三棱錐外接球問題是學(xué)生比較害怕碰到的題目.在很有限的時(shí)間里要確定解題思路,并且還要算出準(zhǔn)確答案,這很不容易.原因是其中不少同學(xué)只掌握了幾種特殊三棱錐外接球的題型,一碰到陌生的題就束手無(wú)策.也有一些同學(xué)知道確定球心的方法,但解題思路繁瑣計(jì)算量大,在規(guī)定時(shí)間內(nèi)也是基本上沒法做出準(zhǔn)確答案.作者根據(jù)多年教學(xué)經(jīng)驗(yàn),基于培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象的核心素養(yǎng),從學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律出發(fā)提出了“一個(gè)技巧,兩大原則,三種模型”的解題策略,在實(shí)際教學(xué)中取得了很好的效果.

下面我分三個(gè)段落分別介紹“一個(gè)技巧,兩大原則,三種模型”的解題策略.同時(shí)精選了一些習(xí)題,以輔助大家理解這些解題策略.希望能對(duì)大家有所幫助.

一個(gè)技巧,即為補(bǔ)形法:當(dāng)三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)同時(shí)也為長(zhǎng)方體的頂點(diǎn)時(shí),三棱錐與長(zhǎng)方體有相同的外接球.具體來(lái)看有以下四種三棱錐可以補(bǔ)形成長(zhǎng)方體來(lái)求外接球.

第一種:“墻角模型”,即三棱錐有三條共頂點(diǎn)的棱兩兩垂直,類似于教室墻角,如圖1;

第二種:三棱錐的底面為直角三角形,且頂點(diǎn)在底面的投影為直角三角斜邊任一端點(diǎn),如圖2;

圖1

圖2

圖3

圖4

第三種:三棱錐的底面為直角三角形,且頂點(diǎn)在底面的投影連同底面三角形的三個(gè)頂點(diǎn)恰好構(gòu)成一個(gè)長(zhǎng)方形,如圖3;

第四種:三棱錐三對(duì)對(duì)邊兩兩相等,如圖4.

這四種模型都是建立在學(xué)生能直觀感受到的,例如教室,墻角,長(zhǎng)方體等背景下的,這就給學(xué)生在思考問題時(shí)提供了一個(gè)思維的載體.下面通過兩個(gè)典型例題來(lái)感受一下.

典例1在三棱錐D?ABC中,AB⊥BC,AB=BC=且二面角D?AC?B的余弦值為則此三棱錐的外接球的表面積為( )

解析如圖5,設(shè)AC中點(diǎn)為E,連接BE,DE,易得∠DEB為二面角D?AC?B的平面角,由AB⊥BC,得AC=2,易知BE=1,由余弦定理可得故DB⊥BA,DB⊥BC,符合墻角模型,所以ABCD是棱長(zhǎng)為√的正方體的四個(gè)頂點(diǎn),其外接球就是正方體的外接球,半徑為所以外接球的面積為應(yīng)選C.

圖5

圖6

典例2在三棱錐D?ABC中,AB=BC=AD=DC=2,AC=BD=3,則此三棱錐的外接球的半徑為____.

解析依題意可知這是第四種可以補(bǔ)形成長(zhǎng)方體的三棱錐.設(shè)補(bǔ)形成的長(zhǎng)方體長(zhǎng)寬高分別為a,b,c,如圖6,則a2+b2=9,b2+c2=4,a2+c2=4,(2R)2=a2+b2+c2=則此三棱錐的外接球的半徑為

確定外接球球心的兩大基本原則

1.過三角形外接圓的圓心,且與三角形所在平面垂直的直線上所有點(diǎn)到三角形頂點(diǎn)距離相等;

2.線段垂直平分面上的任一點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等.

依據(jù)這兩大基本原則可以確定三棱錐外接球的球心位置,從而為得出外接球半徑提供有力依據(jù).而這種證明可以放在學(xué)生比較熟悉的能直觀感受的圓的類比推理上:1.線段垂直平分線上任一點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)距離相等;2.圓心在圓任一弦垂直平分線上.這可以讓我們的學(xué)生直觀感受到本不容易感知的空間幾何體.下面通過三個(gè)典型例題感受下,由兩大基本原則出發(fā)確定球心的過程:

典例3在三棱錐P?ABC中,AB⊥BC,AB=BC=AC中點(diǎn)為則此三棱錐的外接球的表面積為( )

解析經(jīng)過分析計(jì)算可以發(fā)現(xiàn),此題與典例1 其實(shí)就是一個(gè)題.下面我們?cè)俳o出一個(gè)不需要證明垂直關(guān)系,而是依托于兩大原則的解法.

如圖7,由AB⊥BC,可得AC=2,易得AC⊥平面PMB,因?yàn)?ABC外接圓的圓心為M,設(shè)?APC外接圓的圓心為E,過M,E分別作平面ABC,平面APC的垂線交于點(diǎn)O,則點(diǎn)O為此三棱錐的外接球的球心,且點(diǎn)O ∈平面PBM,故設(shè)此三棱錐的外接球的半徑為R,因?yàn)樗怨识驗(yàn)檎?APC邊長(zhǎng)為2,故則此三棱錐的外接球的表面積為4πR2=6π.故選C.

圖7

圖8

典例4四面體A?BCD中,∠ABC=∠ABD=∠CBD=60?,AB=3,CB=DB=2,則此四面體外接球的表面積為( ).

解析如圖8,由題意,?BCD中,BC=BD=2,∠CBD=60?,可知?BCD是等邊三角形,取CD中點(diǎn)F,BF⊥CD,且由?ABC∽=?ABD及余弦定理知所以AF⊥CD,故CD⊥平面ABF,由原則2 知三棱錐A?BCD的外接球球心在平面ABF內(nèi),設(shè)?BCD的外心為G,過G作平面BCD的垂線與線段AB的垂直平分線交于O,則點(diǎn)O到A,B,C,D四個(gè)點(diǎn)距離相等,也即點(diǎn)O為此四面體外接球球心,所以AB2=BF2+AF2,即BF⊥AF,過O作OH⊥AF于H,則OHFG為矩形,設(shè)OG=t,則所以故外接球面積為故選A.

注釋:此即為用基本原則來(lái)找球心,從而求得外接球半徑的解法.可以看出解答過程還是比較繁瑣的.但如果注意到本題條件可以推出平面BCD⊥平面ACD,那么也可以用后面介紹的模型3 快速得出答案.

典例5四面體ABCD中,AB=4,∠ACB=二面角D?AB?C為則此四面體外接球的半徑為_____.

解析如圖9,分別取?ABD,?ABC外心為O1,O2,過O1,O2分別作平面ABD與平面ABC的垂線交于點(diǎn)O,則點(diǎn)O到點(diǎn)A,B,C,D距離相等,點(diǎn)O即為四面體ABCD外接球球心,取AB中點(diǎn)E,連接O1E,O2E,則O1E,O2E都垂直于AB,∠O1EO2為二面角D?AB?C的平面角,故由故O,O2,E,O1四點(diǎn)共圓,且其外接圓直徑為OE,在?O1O2E中由余弦定理知所以此四面體外接球的半徑為

圖9

圖10

三種模型

利用兩大基本原則確實(shí)可以解決求外接球半徑問題,但可以看出過程普遍比較繁瑣,計(jì)算量也相對(duì)比較大.所以我們有必要就一些滿足特殊條件的三棱錐,提供一些比較簡(jiǎn)便的解題思路,并歸納為模型.這也就是另一種的直觀想象.筆者提供以下三種模型供大家思考,依據(jù)多年高三教學(xué)經(jīng)驗(yàn),掌握了以下三種模型后,可以極大提高學(xué)生核心素養(yǎng).也就可以基于直觀想象解決絕大部分的與三棱錐外接球相關(guān)題型.

模型1如圖10,三棱錐有一條棱所在的兩個(gè)三角形都為直角三角形,且這條棱為這兩個(gè)直角三角形的公共斜邊,則這條棱即為三棱錐外接球的直徑;

證明如下:取BC中點(diǎn)O,因?yàn)?ABC與?BCD都為直角三角形,故OA=OD=OB=OC,所以點(diǎn)O為此三棱錐外接球球心,外接球的直徑2R=BC.

模型2三棱錐有一條棱垂直底面,若底面外接圓半徑為r,垂直于底面的棱為h,則外接球的半徑R可以由公式求出;

證明如下:如圖11,設(shè)DA⊥平面ABC,點(diǎn)G為?ABC外心,AD中點(diǎn)為H,點(diǎn)O為四面體ABCD外接球心,則AGOH為矩形.令A(yù)D=h,底面外接圓半徑為r,則外接球的半徑R=OA,且

圖11

圖12

模型3三棱錐有兩個(gè)面垂直于公共邊AC,且這兩個(gè)面的外接圓半徑分別為r1和r2,則外接球的半徑外接球的半徑R=OA,可以由公式求出

證明如下:如圖12,設(shè)平面DAC⊥平面ABC交于AC,點(diǎn)O1為?ABC外心,點(diǎn)O2為?DAC外心,AC中點(diǎn)為G,點(diǎn)O為四面體ABCD外接球心,則OO1GO2為矩形.令?ABC外接圓半徑為r1,?DAC外接圓半徑為r2.則外接球的半徑R=OA,且R2=r12+OO12,OO12=O2G2=r22?AG2,故

這三種模型的證明過程也是建立學(xué)生核心素養(yǎng)中直觀想象的很好途徑.下面再用3 個(gè)典型例題來(lái)體會(huì)基于模型這種直觀想象下的解題感受.

典例6已知三棱錐P?ABC,在底面?ABC中,AB=1,∠A=60?,PA ⊥面ABC,則此三棱錐的外接球的表面積為( )

解法一如圖13,底面三角形內(nèi),根據(jù)正弦定理,可得AC=2,AB2+BC2=AC2,滿足勾股定理,∠ABC=90?,PA ⊥底面ABC,所以PA ⊥BC,那么BC ⊥平面PAB,所以BC ⊥PB,符合模型1,所以三棱錐的外接球的球心就是PC的中點(diǎn)O,PC是其外接球的直徑,PC=4,所以外接球的表面積S=4πR2=16π,故選D.

解法二因?yàn)镻A⊥平面ABC,所以滿足模型2,設(shè)?ABC外接圓半徑為r,則故r=1,設(shè)三棱錐外接球半徑為R,則有所以外接球的表面積S=4πR2=16π,故選D.

圖13

圖14

典例7如圖14 是某幾何體的三視圖,正視圖是等邊三角形,側(cè)視圖和俯視圖為直角三角形,則該幾何體外接球的表面積為( )

解析由三視圖可知,這個(gè)幾何體是三棱錐.如圖15所示,且平面BCD⊥平面ABD交 于BD,?BCD是邊長(zhǎng)為2 的正三角形,設(shè)其外接圓半徑為r1,則2r1=?ABD為直角三角形,設(shè)其外接圓半徑為r2,則故其外接圓半徑則R=故外接球面積為故選D.

圖15

典例8如圖16,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1,粗線畫出的是某四面體的三視圖,則該四面體的外接球半徑為( ).

解析從三視圖可以看出這是一個(gè)正方體上的一個(gè)四面體APC1D1如圖17,其中PQ//A1C,且易得A1C⊥平面AB1D1,所以PQ⊥平面AB1D1,PQ ?平面APD1,故平面APD1⊥平面AB1D1且與其交于AD1,符合兩平面垂直的模型,正?AB1D1的邊長(zhǎng)為其外接圓的半徑由設(shè)?APD1外接球的半徑r2,則所以故應(yīng)選C.

圖16

圖17

我們每個(gè)從事一線教學(xué)的數(shù)學(xué)教師,都希望培養(yǎng)出的學(xué)生具備很好的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng),這既是為學(xué)生的成績(jī)考慮,也是一種人民教師的教育情懷.本人也一直在思考,什么才是有效的途徑呢? 我個(gè)人相信,只有讓學(xué)生喜歡上數(shù)學(xué),喜歡上數(shù)學(xué)課,才能開始談素質(zhì)教育.而立體幾何的學(xué)習(xí)是一個(gè)契機(jī).通過本文提及的,基于直觀想象的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)下的,三棱錐外接球問題解題策略:“一個(gè)技巧,兩大原則,三種模型”,學(xué)生可以更為從容自信的學(xué)好立體幾何,構(gòu)建更好的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).期待有一天我們的學(xué)生都會(huì)喜歡上立體幾何,喜歡上數(shù)學(xué)!