圓錐曲線中定點分弦成定比問題的探究

廣東省廣州市番禺區(qū)實驗中學(xué)(511400) 潘神龍

設(shè)點P是平面上的一定點(非原點),給定一個實數(shù)λ,圓錐曲線C是否有弦MN被點P分成的長度之比恰為λ的兩條線段? 如果有,這樣的弦有幾條? 以往人們認為此類問題解法復(fù)雜,且難以用公式表示,較少去研究它.本文系統(tǒng)地研究并解決了此類問題,得到以下結(jié)果:弦MN的斜率k與定比λ、μ值之間的關(guān)系,定比λ的變化規(guī)律,定點P的存在區(qū)域……并提供了處理圓錐曲線問題的一種思路.

全文假設(shè):定點P在第一象限,直線MN與圓錐曲線C相交,|MP|≤|NP|,即?1＜λ≤1 且λ0;直線MN繞點P旋轉(zhuǎn)時沿逆時針方向.

1 圓

定理1設(shè)圓C:x2+y2=r2,定點P(x0,y0)分斜率為k的弦MN所成比為令μ=x20+y20(μ＞0,μr2),有

證明設(shè)弦MN的方程為(t為參數(shù)),將其代入圓的方程,整理得

設(shè)此方程的兩根為t1,t2,分別對應(yīng)M,N兩點,根據(jù)t的幾何意義,t1=?λt2,所以λ(t1+t2)2+(λ?1)2t1t2=0;由韋達定理,

整理得(Ⅰ).

1.1 定點P 在圓內(nèi),0＜μ＜r2

(1)λ=1,弦僅有一條,與OP垂直;(2)1,弦有兩條,關(guān)于直線OP對稱;(3)弦僅有一條,過圓心;(4)?1＜且0,弦不存在.當直線MN繞點P從過圓心旋轉(zhuǎn)至與OP垂直時,λ逐漸變大.

圖1

圖2

1.2 定點P 在圓外,μ＞r2

(1)?1＜λ弦有兩條,關(guān)于直線OP對稱;(2)弦僅有一條,過圓心;(3)且λ0,弦不存在.當直線MN繞點P從過圓心旋轉(zhuǎn)至趨于與圓相切時,λ逐漸變小.

圖3

圖4

1.3 推論

推論1當時,(Ⅰ)退化為一次方程,弦有兩條,其中一條弦的斜率不存在.

推論2當弦存在時,設(shè)若λ＞0,點P滿足若λ＜0,點P滿足r2＜μ≤由此得到點P的存在區(qū)域.

推論3存在以點P為中點的弦的充要條件是0＜μ＜r2.

推論4定比λ是方程1=0 的根.

推論5弦長

證明由t1=?λt2得

2 橢圓

定理2設(shè)橢圓定點P(x0,y0)分斜率為k的弦MN所成比為令有

2.1 定點P 在橢圓內(nèi),0＜μ＜1.

(1)λ=1,與OP共軛的弦僅有一條(即該弦的中點在線段OP上[1],下同);(2)弦有兩條;(3)弦僅有一條,過原點;(4)且0,弦不存在.當直線MN繞點P從過原點旋轉(zhuǎn)至與OP共軛時,λ逐漸變大.

圖5

圖6

2.2 定點P 在橢圓外,μ＞1.

(1)?1＜λ＜弦有兩條;(2)弦僅有一條,過原點;(3)且λ0,弦不存在.當直線MN繞點P從過原點旋轉(zhuǎn)至趨于與橢圓相切時,λ逐漸變小.

圖7

圖8

2.3 推論

推論1當時,(ⅠⅠ)退化為一次方程,弦有兩條,其中一條弦的斜率不存在.

推論2當弦存在時,設(shè)λ1,若λ＞0,點P滿足若λ＜0,點P滿足由此得到點P的存在區(qū)域.

推論3存在以點P為中點的弦的充要條件是0＜μ＜1.

推論4定比λ是方程1=0 的根.

推論5弦長

3 雙曲線

定理3設(shè)雙曲線=1(a＞0,b＞0),定點P(x0,y0)分斜率為k的弦MN所成比為令有

3.1 定點P 在雙曲線內(nèi),μ＞1.

(1)λ=1,弦僅有一條,與OP共軛;(2)且λ0,弦有兩條;(3)弦僅有一條,過原點;(4)?1＜λ＜弦不存在.若弦在雙曲線的右支之內(nèi),當直線MN從與OP共軛旋轉(zhuǎn)至趨于與漸近線平行時,λ逐漸變小;若弦在雙曲線的兩支之間,當直線MN從過原點旋轉(zhuǎn)至趨于與漸近線平行時,λ逐漸變大.

圖9

圖10

圖11

圖12

3.2 定點P 在雙曲線與漸近線之間,0＜μ＜1.

(1)?1＜ λ＜且0,弦有兩條;(2)弦僅有一條,過原點;(3)＜λ≤1,弦不存在.若弦在雙曲線的兩支之間,當直線MN從過原點旋轉(zhuǎn)至趨于與漸近線平行時,λ逐漸變大.

圖13

圖14

3.3 定點P 在漸近線上,μ=0

(1)1,弦僅有一條;(2)λ=1,弦不存在.若弦在雙曲線的兩支之間,當直線MN從趨于與漸近線平行旋轉(zhuǎn)至趨于與漸近線平行時,λ逐漸變大.

圖15

圖16

3.4 定點P 在漸近線與y 軸之間,μ＜0.

(1)λ=1,弦僅有一條,與OP共軛;(2)1,弦有兩條.若弦在雙曲線的右支之內(nèi),當直線MN從趨于與雙曲線相切旋轉(zhuǎn)至趨于與漸近線平行時,λ逐漸變大(當點P在雙曲線外時,本結(jié)論都成立);若弦在雙曲線的兩支之間,當弦從與OP共軛旋轉(zhuǎn)至趨于與漸近線平行時,λ逐漸變小.

圖17

圖18

圖19

3.5 推論

推論1當時,(ⅠⅠⅠ)退化為一次方程,弦有兩條,其中一條弦的斜率不存在.

推論2當弦存在時,設(shè)1,(1)若點P在雙曲線內(nèi),點P滿足若點P在雙曲線外,點P滿足(2)若λ＞0,點P滿足μ＞1 或若λ＜0,點P滿足μ＜1 或由此得到點P的存在區(qū)域.

推論3存在以點P為中點的弦的充要條件是μ＞1 或μ＜0.

推論4定比λ是方程

的根.

推論5弦長

4 拋物線

一般拋物線y2=2px(p＞0)在伸縮變換下變成特殊拋物線y′2=x′;我們通過研究后者得到前者的相關(guān)結(jié)論.

定理4設(shè)拋物線C:y2?2px=0(p＞0),定點P(x0,y0)分斜率為k(k≠ 0)的弦MN所成比為令μ=y20?2px0,有

4.1 定點P 在拋物線內(nèi),μ＜0.

(1)λ=1,弦僅有一條,與OP共軛;(2)0＜λ＜1,弦有兩條;(3)?1＜λ＜0,弦不存在.當直線MN從與OP共軛旋轉(zhuǎn)至趨于與主軸平行時,λ逐漸變小.

圖20

圖21

4.2 定點P 在拋物線外,μ＞0.

(1)?1＜λ＜0,弦有兩條;(2)0＜λ≤1,弦不存在.當直線MN從趨于與拋物線相切旋轉(zhuǎn)至趨于與主軸平行時,λ逐漸變小.

圖22

圖23

4.3 推論

推論1當時,(ⅠV)退化為一次方程,弦有兩條,其中一條弦的斜率不存在.

推論2存在以點P為中點的弦的充要條件是μ＜0.

推論3定比λ是方程的根.

推論4弦長

5 應(yīng)用舉例

例已知橢圓的方程為P(1,0)為橢圓內(nèi)一定點,問是否存在過點P的弦MN,使得P分MN所成比例為? 若存在,求出弦MN的長度;若不存在,請說明理由.

解因為所以由定理2,滿足條件的弦有兩條;計算得弦MN的斜率k是方程的根,所以k=弦長

評注從本例可以看出,定理2 對解決橢圓內(nèi)的定點分弦成定比問題是快速有效的,此時定點P在x軸上.本例也可采用一般的方法進行求解,但由于比例是個分數(shù),計算量偏大.