2020年廣東省一模不等式選講問題的解題研究

廣東省普寧市華僑中學(xué)(515300) 陳鑫城

從近五年不等式選講模塊的高考試題來看,考查的重點(diǎn)有:絕對(duì)值函數(shù)、絕對(duì)值不等式的求解、含絕對(duì)值不等式的參數(shù)范圍問題;不等式的證明與綜合應(yīng)用等.高考的熱點(diǎn)為絕對(duì)值不等式的求解.試題為中檔難度,一般有兩個(gè)設(shè)問,基本上都含有參數(shù),經(jīng)常以含絕對(duì)值的函數(shù)來表示不等關(guān)系,本文選擇的2020 廣東一模的不等式選講題目主要是考查絕對(duì)值不等式的解法和利用不等式恒成立求參數(shù)的范圍.

1 試題呈現(xiàn)

題目(2020年廣東省一模第23 題)已知函數(shù)f(x)=

(1)當(dāng)k=1 時(shí),解不等式f(x)≤1;

(2)若f(x)≥x對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x恒成立,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

2 難點(diǎn)解讀

第一問考查絕對(duì)值不等式的解法相對(duì)簡(jiǎn)單,在此不作研究.本文主要研究的是第二問利用不等式的恒成立求參數(shù)范圍的幾種常見的做法.

解法1(數(shù)形結(jié)合)f(x)≥x對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x恒成立,即在R 上恒成立,也即在R 上恒成立,令

作出y=g(x)的圖象如圖所示:要使|x?k|≥g(x)在R 上恒成立,則函數(shù)y=|x?k|的圖象應(yīng)恒在函數(shù)y=g(x)的圖象的上方,由數(shù)形結(jié)合可得k≤?1,所以k的取值范圍(?∞,?1].

點(diǎn)評(píng)數(shù)形結(jié)合思想是貫穿高中課程的主線,也是數(shù)學(xué)最本質(zhì)的思想方法之一,它的實(shí)質(zhì)是把抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言、數(shù)量關(guān)系和直觀的圖形結(jié)合起來,它包括“以形助數(shù)”和“以數(shù)輔形”兩個(gè)方面,本題應(yīng)用數(shù)形結(jié)合將在R 上的恒成立問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=|x?k|的圖象應(yīng)恒在函數(shù)y=g(x)的圖象的上方問題,有效的避免了繁瑣的分類討論.

解法2形如|f(x)|＜g(x),|f(x)|＞g(x)型不等式,可以把g(x)看成一個(gè)大于零的常數(shù)a進(jìn)行求解,即:|f(x)|＜g(x)??g(x)＜f(x)＜g(x),|f(x)|＞g(x)?f(x)＞g(x)或f(x)＜?g(x).

f(x)≥x對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x恒成立,即|x?k|≥在R 上恒成立,令

令g(x)≤0 解得x≤?1,也即當(dāng)x≤?1 時(shí),|x?k|≥0≥g(x)恒成立.

當(dāng)x＞?1 時(shí),|x?k|≥g(x)恒成立?x?k≥g(x)或x?k≤?g(x)恒成立.

①由x?k≥g(x)恒成立得,恒成立,即所以k≤?1.

②由x?k≤?g(x)恒成立得,恒成立,顯然這樣的k不存在.綜上所述,所以k≤?1.

點(diǎn)評(píng)|f(x)|＞g(x)?f(x)＞g(x)或f(x)＜?g(x),主要源自|x|＞a(a＞0)不等式的解法,所以在應(yīng)用時(shí)要特別注意g(x)＞0,也即首先需要對(duì)g(x)≤0 進(jìn)行討論,部分同學(xué)會(huì)因?yàn)楹雎粤诉@一點(diǎn),就容易在①那里求錯(cuò)k的范圍,由恒成立直接得k≤?2,導(dǎo)致錯(cuò)解.所以,教師在給學(xué)生講授解題方法時(shí),要特別注意強(qiáng)調(diào)方法的應(yīng)用條件.

解法3(通過構(gòu)造函數(shù),將恒成立問題轉(zhuǎn)化為最值問題,然后再結(jié)合零點(diǎn)分段法求最值)令g(x)=f(x)?x=恒成立?g(x)≥0 恒成立?g(x)min≥0

若k=?3,則由g(x)≥0 解得x ∈R,滿足條件.

若k＞?3,則所以g(x)在(?∞,k)單調(diào)遞減,(k,+∞)在單調(diào)遞增,所以所以?3＜k＜?1.

若k＜?3,則g(x)=所以g(x)在(?∞,?3)單調(diào)遞減,在(?3,+∞)單調(diào)遞增,所以g(x)min=g(?3)=?k?2≥0,所以k≤?2,又k＜?3,所以k＜?3.綜上所述,k≤?1.

點(diǎn)評(píng)通過構(gòu)造函數(shù),將恒成立問題轉(zhuǎn)化為最值問題是解決恒成立問題常用的方法,從解題過程我們可以看出分類討論的標(biāo)準(zhǔn)還是比較清晰的,主要就是對(duì)兩個(gè)零點(diǎn)的大小進(jìn)行討論,但因分類較多,也導(dǎo)致了計(jì)算比較繁瑣,無疑增加了解題的難度,那么什么情況更適合使用這種方法呢? 如果題目中的兩個(gè)零點(diǎn)的大小已知,可以嘗試使用這種方法.如以下題目:

例已知函數(shù)f(x)=|x|+2|x?a|(a＞0),若不等式f(x)≥4 對(duì)一切x ∈R 恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

題目中的含絕對(duì)值部分的零點(diǎn)分別是x1=0,x2=a,又因?yàn)閍＞0,所以這時(shí)候x1＜x2,這樣就極大的減少了分類討論的情況,這時(shí)使用這種方法就相對(duì)比較簡(jiǎn)單.

解法4(逐段分類討論法(參考答案))由f(x)≥x對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x恒成立,得對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x恒成立.

當(dāng)x≤?2 時(shí),恒成立;當(dāng)x＞?2 時(shí),恒成立恒成立,即恒成立,當(dāng)?2＜x≤?1 時(shí),顯然恒成立,當(dāng)x＞?1 時(shí),恒成立或恒成立,即x≥2k+1 或恒成立.所以2k+1≤?1,解得k≤?1,所以實(shí)數(shù)k的取值范圍為{k|k≤?1}.

點(diǎn)評(píng)解法4 主要是對(duì)x進(jìn)行逐段有序的分類討論,也充分應(yīng)用了方法二的思想在里面,需要學(xué)生具有扎實(shí)的分類討論功底,對(duì)學(xué)生的要求較高.在平時(shí)的學(xué)習(xí)過程中,教師可以多引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行這方面的訓(xùn)練,提高解題能力.

研題心得通過如上探討各種方法的優(yōu)劣,及其適用條件,不僅能有效的梳理自己的知識(shí)體系,也可以給學(xué)生的解題提供巨大幫助,一題多解,不僅能更牢固地掌握和運(yùn)用所學(xué)知識(shí),而且,通過分析比較,尋找解題的最佳途徑和方法,能夠培養(yǎng)創(chuàng)造性思維能力.