好題還須配好方法

湖北武漢經(jīng)濟(jì)技術(shù)開(kāi)發(fā)區(qū)教育局教學(xué)研究室(430056) 何文桂

筆者已年逾七旬,近期再次翻閱數(shù)學(xué)雜志時(shí),又發(fā)現(xiàn)了很多好文章好試題,它們都是作者辛勤勞動(dòng)的成果智慧的結(jié)晶,但美中不足的是有的題雖好,解法或較繁或“超綱”不利于教學(xué)中使用造成資源浪費(fèi),因此,為了讓好的結(jié)論能服務(wù)于教學(xué),優(yōu)化解法的環(huán)節(jié)頗為重要.

案例1(文[1]的變式題2)如圖1,橢圓b＞0)的長(zhǎng)軸為AB,L是過(guò)點(diǎn)B且垂直于x軸的直線,P是橢圓E上異于A,B的任意一點(diǎn),PH ⊥x軸,H為垂足,延長(zhǎng)HP到Q,連接AQ交橢圓E于點(diǎn)T,延長(zhǎng)AQ交直線L于點(diǎn)M,N為MB的中點(diǎn).若則直線TN與橢圓E相切于點(diǎn)T.

原文解法設(shè)點(diǎn)P(x0,y0),由得直線AQ的方程為聯(lián)立直線AQ與橢圓E的方程求得

再寫(xiě)出橢圓E在點(diǎn)T的切線方程

然后將點(diǎn)N的坐標(biāo)代入切線方程左邊證明其等于1 從而說(shuō)明點(diǎn)N在切線上.

點(diǎn)評(píng)(1)上述解題過(guò)程思路雖然清淅,但計(jì)算過(guò)繁,一般學(xué)生無(wú)法完成.

(3)點(diǎn)T并非一定要與點(diǎn)Q關(guān)聯(lián),只要T是橢圓上異于A,B的任意一點(diǎn),直線AT交直線L于點(diǎn)M,N為線段BM的中點(diǎn),則直線NT為橢圓的切線.

下面提供的解題方法似乎優(yōu)于原文解法.

試題1如圖1,橢圓的長(zhǎng)軸為AB,L是過(guò)點(diǎn)B且垂直于x軸的直線,P是橢圓E上異于A,B的任意一點(diǎn),PH ⊥x軸,H為垂足,延長(zhǎng)HP到Q,且連接AQ交橢圓E于點(diǎn)T,延長(zhǎng)AQ交直線L于點(diǎn)M,N為MB的中點(diǎn).

(1)求點(diǎn)Q的軌跡C的方程,并證明直線NQ為軌跡C的切線;

(2)證明直線NT與橢圓E相切于點(diǎn)T.

解(1)軌跡C的方程為x2+y2=a2.(過(guò)程略)

設(shè)Q(x1,y1),直線AQ的方程為則,因?yàn)?/p>

所以O(shè)Q ⊥QN,故NQ與大輔助圓C相切于點(diǎn)Q.

(2)設(shè)T(x0,y0),直線AT的方程為橢圓E在點(diǎn)T的切線方程為將點(diǎn)N的坐標(biāo)代入切線方程的左邊,得

所以點(diǎn)N在切線上,因?yàn)檫^(guò)T,N兩點(diǎn)的直線有且僅有一條,所以直線NT與橢圓E相切于點(diǎn)T.

該題可類(lèi)比到雙曲線.

試題2如圖2,雙曲線的實(shí)軸為AB,L是過(guò)點(diǎn)B且垂直于x軸的直線,T是雙曲線E上異于A,B的任意一點(diǎn),連接AT交雙曲線E的實(shí)輔助圓C:x2+y2=a2于點(diǎn)Q,交直線L于點(diǎn)M,N為BM的中點(diǎn).求證:直線NT與雙曲線E相切于點(diǎn)T,直線NQ與圓C相切于點(diǎn)Q.

案例2(文[2]的性質(zhì)2)已知定點(diǎn)F(m,0),A,B分別是橢圓的左、右頂點(diǎn),直線交x軸于點(diǎn)Q,過(guò)Q的直線與橢圓交于C,D兩點(diǎn),直線AC,BD交于點(diǎn)P,則PF ⊥x軸,且PF平分∠CFD.

原文解題思路原文為了找到性質(zhì)的簡(jiǎn)單證法,先介紹了一個(gè)與極點(diǎn)極線有關(guān)的引理,再連接AD,BC交于點(diǎn)E,由引理知直線PE是點(diǎn)Q關(guān)于橢圓的極線,所以PE的方程為x=m,顯然點(diǎn)F(m,0)在直線PE上,因而PF ⊥x軸.

設(shè)C(acosα,bsinα),D(acosβ,bsinβ),由Q,C,D三點(diǎn)共線,得即所以

所以PF平分∠CFD.

點(diǎn)評(píng)圓錐曲線中很多“一點(diǎn)一線”的結(jié)論,都是利用極點(diǎn)與極線的性質(zhì)而發(fā)現(xiàn)的,發(fā)現(xiàn)了好的結(jié)論還是利用極點(diǎn)與極線的性質(zhì)解題顯然已超出課程標(biāo)準(zhǔn)的范圍,因而難以在教學(xué)中實(shí)施.

原文在證PF平分∠CFD時(shí),利用了橢圓的參數(shù)方程,證明過(guò)程還用到了三角函數(shù)和(差)積互化公式.此法雖可行,但圓錐曲線的參數(shù)方程作為選修內(nèi)容,對(duì)用圓錐曲線參數(shù)方程解題要求并不高,自2007年開(kāi)始高考命題將這部分內(nèi)容基本定位在選考題,所以一般不會(huì)滲透到必考題中,教學(xué)中也很少涉及,更何況三角函數(shù)和(差)積互化公式在選修4 中僅作為例題或練習(xí)提出,顯然用三角函數(shù)和(差)積互化公式解題也超出了現(xiàn)行課程標(biāo)準(zhǔn)的范圍.

以下筆者給出另解或許更貼近教學(xué)實(shí)際.

另解依題意,直線QC的斜率不為0,設(shè)直線QC的方程為將代入橢圓方程消去x,整理得設(shè)直線AC的方程為直線BD的方程為聯(lián)立消去y,得整理得

所以PF⊥x軸.因?yàn)?/p>

所以kCF+kDF=0,即∠CFA=∠DFB.

又PF ⊥x軸,當(dāng)0＜|m|＜a(即點(diǎn)C,D在x軸同側(cè))時(shí),PF平分∠CFD,如圖3;當(dāng)|m|＞a(即點(diǎn)C,D在x軸異側(cè))時(shí),PF平分∠CFD的補(bǔ)角,如圖3-1.

注原文只是證明了0＜|m|＜a(即點(diǎn)C,D在x軸同側(cè))時(shí),PF平分∠CFD.如果視C,D為橢圓上異于A,B的兩點(diǎn),Q為直線CD與x軸的交點(diǎn),則有xP ·xQ=a2.

該題可類(lèi)比到雙曲線和拋物線.

案例3(文[3]的定理1)如圖4,過(guò)橢圓一個(gè)焦點(diǎn)F的直線與橢圓交于P,Q兩點(diǎn),點(diǎn)A,B為橢圓長(zhǎng)軸上的頂點(diǎn),AP和BQ交于點(diǎn)M,BP和AQ交于點(diǎn)N,點(diǎn)C為線段MN的中點(diǎn),則有以下一些優(yōu)美的性質(zhì).

(1)MF ⊥NF;

(2)MN的中點(diǎn)C為焦點(diǎn)弦PQ的極點(diǎn),即PC,QC與橢圓相切;

(3)FC ⊥PQ;

(4)MF平分∠PFB,NF平分∠QFB.

原文利用極點(diǎn)與極線的基本知識(shí)較簡(jiǎn)捷地證明了定理1中的性質(zhì)(1)至性質(zhì)(3),性質(zhì)(4)由上述性質(zhì)而得.該文將定理1 中的性質(zhì)進(jìn)行了一般化,即將AB改為過(guò)焦點(diǎn)F的任意弦時(shí)上述性質(zhì)也成立.

點(diǎn)評(píng)該文的確給出了很多優(yōu)美的結(jié)論,并且用極點(diǎn)與極線的基本知識(shí)證明也很簡(jiǎn)捷,但如何讓這些優(yōu)美的結(jié)論能在教學(xué)中用得上,用極點(diǎn)與極線的知識(shí)證明即使再簡(jiǎn)捷也不能服務(wù)于現(xiàn)行的教學(xué),只能停留在作者的研究成果層面.其實(shí),定理1 中的直線MN是焦點(diǎn)F對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)線,4 個(gè)性質(zhì)用常規(guī)方法證明并不難.

證法1如圖4-1,設(shè)橢圓方程為0),A(?a,0),B(a,0),F(c,0),直線PQ的方程為x=ky+c,P(x1,y1),Q(x2,y2),將方程x=ky+c代入橢圓方程消去x,整理得(a2+b2k2)y2+2kcb2y?b4=0,

設(shè)直線AP的方程為直線BQ的方程為聯(lián)立消去y得將x1=ky1+c,x2=ky2+c代入整理得

所以點(diǎn)M在準(zhǔn)線上,同理,點(diǎn)N也在準(zhǔn)線L上.

作PP1⊥L于點(diǎn)P1,由橢圓的定義知,所以FM為?AFP的外角∠PFB的平分線.同理可證FN為∠QFB的平分線.(性質(zhì)4)

因?yàn)椤螾FB+∠QFB=180?,∠PFM+∠QFN=∠MFB+∠NFB=∠MFN=90?,所以MF ⊥NF.(性質(zhì)1)

因?yàn)镃是MN的中點(diǎn),所以∠CFM=∠CMF,又BT ⊥MN,所以∠FMT+∠MFT=90?,又∠MFP=∠MFT,所以∠CFM+∠MFP=90?,所以FC ⊥PQ.(性質(zhì)3)

性質(zhì)(1),(3),(4),(2)還有以下更優(yōu)美的證法:

證法2由上述已證點(diǎn)M,N在準(zhǔn)線L上.設(shè)直線AP的方程為直線AQ的方程為y=令則

整理得

兩邊同時(shí)除以(x+a)2得

將④代入①得

所以FM ⊥FN.(性質(zhì)1)

因?yàn)镕M ⊥FN,FC ⊥PQ,FT ⊥MN,C為MN的中點(diǎn),所以∠CFM=∠CMF,又∠CFM+∠MFP=90?,∠CMF+∠MFB=90?,所以∠MFP=∠MFB,FM為∠PFB的平分線,同理,FN為∠QFB的平分線.(性質(zhì)4)

因?yàn)闄E圓在點(diǎn)P的切線方程為將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入方程左邊,得

所以點(diǎn)C在以點(diǎn)P為切點(diǎn)的切線上,因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)P,C的直線有且只有一條,所以直線PC與橢圓相切,同理,直線QC與橢圓相切.(性質(zhì)2)

注上述解法的優(yōu)美之處是橢圓方程的改寫(xiě)、直線方程的變形到構(gòu)造出方程②,并且在解題過(guò)程中由③,④又發(fā)現(xiàn)了新的結(jié)論:kP Q(kAP+kAQ)=2(e?1),kAP ·kAQ=?(e?1)2.

可見(jiàn)一道好題配上好的方法將使問(wèn)題變得更加優(yōu)美.

該題可類(lèi)比到雙曲線和拋物線.