細(xì)細(xì)感悟 殊途同歸
——雙變量不等式問(wèn)題的幾種解決方法

廣東省廣州市第十六中學(xué)(510080) 龍麗君

導(dǎo)數(shù)是高中教學(xué)的難點(diǎn)內(nèi)容,在高考中往往以壓軸題的形式出現(xiàn),對(duì)學(xué)生的思維要求很高.導(dǎo)數(shù)中的不等式問(wèn)題由于其靈活多變,而且可以由單變量問(wèn)題發(fā)展到雙變量,甚至是多變量問(wèn)題,往往成為學(xué)生在考場(chǎng)上難以逾越的障礙.本文結(jié)合實(shí)例,論述該類問(wèn)題的解決之道.

類型一 沒(méi)有制約關(guān)系的雙變量不等式問(wèn)題

策略1.分離變量,轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)的最值問(wèn)題

例1已知函數(shù)函數(shù)g(x)=x2?kx,若?x1∈(0,1),?x2∈[1,2],總有f(x1)≥g(x2)成立,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

分析先將x2看成常數(shù),得到[f(x1)]max≥g(x2),易求得然后再將x2看成變量,轉(zhuǎn)化為[f(x1)]max≥[g(x2)]max.函數(shù)g(x)=x2?mx是開(kāi)口向上的二次函數(shù),最大值為g(1)與g(2)中的較大者.所以解得實(shí)數(shù)k的取值范圍為[8?5 ln 2,+∞).

評(píng)注這是含有存在量詞與全稱量詞的雙變量問(wèn)題,其中兩個(gè)變量取值是自由的,并且兩者已經(jīng)是分離狀態(tài)(若不是分離狀態(tài),先分離變量).對(duì)于該類問(wèn)題,可以將其看成兩個(gè)獨(dú)立的函數(shù)來(lái)理解,最后轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)在各自的定義域內(nèi)求最值,再比較最值.

策略2.分離變量,統(tǒng)一外形,構(gòu)造新函數(shù)

例2(2010年高考遼寧卷理科第21 題)已知函數(shù)f(x)=(a+1)lnx+ax2+1.

(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;

(2)設(shè)a＜?1,如果對(duì)于任意x1、x2∈(0,+∞),恒有|f(x1)?f(x2)|≥4|x1?x2|,求a的取值范圍.

分析(1)略.(2)首先要去絕對(duì)值符號(hào),然后分離變量,將兩個(gè)變量x1,x2拆分到不等號(hào)兩端.不妨取x1≥x2,由(1)可知,當(dāng)a＜?1 時(shí),函數(shù)f(x)在(0,+∞)單調(diào)遞減,所以|f(x1)?f(x2)|≥4|x1?x2|可拆分為f(x1)+4x1≤f(x2)+4x2.觀察兩式結(jié)構(gòu),構(gòu)造新函數(shù)g(x)=f(x)+4x,從而將已知條件等價(jià)轉(zhuǎn)換為函數(shù)g(x)在(0,+∞)單調(diào)遞減,即g′(x)≤0 在(0,+∞)恒成立.故實(shí)數(shù)a的取值范圍為(?∞,?2].

評(píng)注本題所給不等式中的兩個(gè)變量沒(méi)有分離,糅合在一起.遇到這樣的問(wèn)題,首先研究是否可以分離變量.而后觀察不等式結(jié)構(gòu),轉(zhuǎn)換為單一函數(shù)的單調(diào)性或最值問(wèn)題.本題中變量分離后,兩邊結(jié)構(gòu)式一致,具有統(tǒng)一的外形,所以能構(gòu)造出新的函數(shù),化歸為已知函數(shù)單調(diào)性,求參數(shù)取值范圍的問(wèn)題.

策略3.主元法回歸單變量問(wèn)題

例3對(duì)任意x＞0,均存在a ∈R,使得成立,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是( ).

分析先將x看成常數(shù),以變量a為主元,令g(a)=題設(shè)“存在a ∈R,使得成立”,轉(zhuǎn)化為[g(a)]min≤m.由于令g′(a)＞0,得a＞?2 lnx,令g′(a)＜0,得a＜?2 lnx,所以g(a)在(?∞,?2 lnx)上單調(diào)遞減,在(?2 lnx,+∞)上單調(diào)遞增,所以[g(a)]min=g(?2 lnx)=?2xlnx+x.題設(shè)“對(duì)任意x＞0,使得成立”,轉(zhuǎn)化為?2xlnx+x≤m對(duì)任意x＞0 恒成立.利用導(dǎo)數(shù)求最值得到所以故選D.

評(píng)析該題中不等式含有兩個(gè)變量,但要想分離變量并不容易.此時(shí),應(yīng)打破定勢(shì)思維,將x與a都看成是同等地位的變量.利用主元思想,先將a看成主元,x看成參數(shù),轉(zhuǎn)化為關(guān)于變量a的函數(shù)的最值問(wèn)題.然后再看成關(guān)于x的函數(shù),繼續(xù)化歸為以x為自變量的最值問(wèn)題.兩個(gè)變量,先以誰(shuí)為主元,我們應(yīng)在尋求答題方向時(shí),進(jìn)行可行性的預(yù)判,判斷先將誰(shuí)看成主元會(huì)比較方便.

策略4.整體換元法,合二為一,構(gòu)造新函數(shù)

例4證明不等式

分析利用分析法,先對(duì)該不等式的結(jié)構(gòu)進(jìn)行等價(jià)變形.不妨取m＞n＞0,要證明只需證明即證令即證構(gòu)造函數(shù)f(t)=所以f(t)在t ∈(1,+∞)單調(diào)遞減,所以f(t)＜f(1)＜0,從而不等式得證.

評(píng)注本題的兩個(gè)變量m,n具有對(duì)稱結(jié)構(gòu),所以可以設(shè)為新元,利用整體換元的方法,二元轉(zhuǎn)化為一元,將雙變量的不等式問(wèn)題轉(zhuǎn)化為單變量的不等式問(wèn)題,在方法的使用中要注意新元的取值范圍.

類型二 有制約關(guān)系的雙變量不等式問(wèn)題

策略1.雙變量制約關(guān)系明確,代入消元法

例5已知函數(shù)f(x)=(x?1)2+alnx,x ∈(0,+∞)存在在兩個(gè)極值點(diǎn)x1,x2,證明

分析先求極值點(diǎn)或極值點(diǎn)所滿足的等式.求導(dǎo)因?yàn)楹瘮?shù)存在兩個(gè)極值點(diǎn),所以方程2x2?2x+a=0 中?=4?8a＞0,即由韋達(dá)定理可得x1+x2=1,所以則

由此消元成功,問(wèn)題等價(jià)轉(zhuǎn)換為證明不等式

令h(x)=1?x+2xlnx,利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)h(x)單調(diào)性與最值,易得不等式得證.

評(píng)注本題不等式中兩個(gè)變量x1,x2是函數(shù)f(x)的兩個(gè)極值點(diǎn),兩者存在確定的制約關(guān)系.在問(wèn)題的解決過(guò)程中,要充分利用這種制約關(guān)系,進(jìn)行減元.本題中兩者的制約關(guān)系比較簡(jiǎn)明,所以利用簡(jiǎn)單的代入法消參,首先消去參數(shù)a,然后x1,x2之間權(quán)衡對(duì)比后再利用等量關(guān)系x1+x2=1 消去一元x1,問(wèn)題得到順利解決.

策略2.極值偏移問(wèn)題,利用對(duì)稱構(gòu)造函數(shù)

例6已知函數(shù)f(x)=xe?x(x ∈R).

(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和最值;

(2)假設(shè)x12且f(x1)=f(x2),證明:x1+x2＞2.

分析(1)函數(shù)f(x)單調(diào)遞增區(qū)間為(?∞,1),單調(diào)遞減區(qū)間為(1,+∞),[f(x)]max=

(2)由(1)可知函數(shù)f(x)單調(diào)遞增區(qū)間為(?∞,1),單調(diào)遞減區(qū)間為(1,+∞)且x12,所以不妨取x1＜1＜ x2,令F(x)=f(x)?f(2?x),x＞1,則F′(x)=(x?1)(ex?2?e?x)＞0 在(1,+∞,)恒成立,函數(shù)F(x)在(1,+∞,)單調(diào)遞增.所以F(x)＞F(1)=0 即f(x)＞f(2?x).所以f(x1)=f(x2)＞f(2?x2),又因?yàn)閤1＜1,2?x2＜1,且函數(shù)f(x)在(?∞,1)單調(diào)遞增,所以x1＞2?x2,不等式得證.

評(píng)注該題屬于極值偏移問(wèn)題,有多種不同的解法.該方法利用數(shù)形結(jié)合尋找解決問(wèn)題的方向,步驟歸納如下:(1)根據(jù)f(x1)=f(x2)建立等量關(guān)系,確定x1與x2的取值范圍.(2)構(gòu)造關(guān)于x1(或x2)的一元函數(shù)F(x)=f(x1)?f(2a?x1),研究其單調(diào)性,并判斷f(x1)與f(2a?x1)兩式大小.(3)將待證明不等式進(jìn)行變形,進(jìn)而結(jié)合原函數(shù)或?qū)Ш瘮?shù)的單調(diào)性進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化,得到不等式的證明.這一類題型,構(gòu)造函數(shù)的過(guò)程中,本質(zhì)上依然是主元思想在發(fā)揮作用.

另解分析(2)由f(x1)=f(x2)得x1e?x1=x2e?x2且易證x1,x2為正數(shù).所以兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)得要證明不等式x1+x2＞2,只需證明即證明不妨取x1＜x2,令則t ∈(1,+∞),即證對(duì)t ∈(1,+∞)恒成立.令所以h(t)在t ∈(1,+∞)單調(diào)遞增,h(t)＞h(1)＞0,不等式得證.

評(píng)注與例5 相比,兩個(gè)變量所滿足的等式并不適合直接代入消元.通過(guò)觀察等式x1e?x1=x2e?x2,發(fā)現(xiàn)該式結(jié)構(gòu)具有對(duì)稱性.結(jié)合所需要證明的不等式x1+x2＞2,利用整體換元的思想,問(wèn)題轉(zhuǎn)換為證明不等式對(duì)t ∈(1,+∞)恒成立,此后解法同例4.

結(jié)束語(yǔ)

雙變量不等式的問(wèn)題形式多樣,但其基本思想都是將二元不等式問(wèn)題化歸一元不等式問(wèn)題,最后回歸到利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性或最值.在日常的教學(xué)中,教師要有意識(shí)地讓學(xué)生感悟問(wèn)題解決中的數(shù)學(xué)基本思想,并養(yǎng)成探究問(wèn)題本質(zhì),追根求源的思考習(xí)慣.