平面圖形“高”的學(xué)習(xí)困難分析與教學(xué)嘗試

黃德發(fā)

摘要：在教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，許多學(xué)生對(duì)“高”的理解存在困難，主要源自生活經(jīng)驗(yàn)與數(shù)學(xué)內(nèi)涵之間的沖突。在三角形高的教學(xué)中，教師要注意建立數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系，找準(zhǔn)知識(shí)生長點(diǎn)，注意加強(qiáng)比較，觸及概念本質(zhì)，實(shí)現(xiàn)理解再提升，促進(jìn)深度學(xué)習(xí)。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué) ?教學(xué)嘗試 ?平面圖形 ?高

人教版四年級(jí)上冊(cè)平行四邊形和梯形單元，涉及平面圖形“高”的知識(shí)。許多學(xué)生對(duì)“高”的理解不夠透徹，在辨認(rèn)和作圖中會(huì)出現(xiàn)很多錯(cuò)誤。在與其他教師的交流中，筆者發(fā)現(xiàn)這不是偶然現(xiàn)象，必定有深層次的原因，有必要探根求源，找到破解方法，重塑學(xué)生對(duì)“高”的認(rèn)識(shí)。

一、探尋“高”的意義，尋求問題根源

（一）何為高？

在日常生活中，我們說這個(gè)物體有多高，一般都是指物體的高度，即頂部到地面的距離。這些生活經(jīng)驗(yàn)使學(xué)生很容易辨認(rèn)豎著的高，而對(duì)其他形式的高難以理解。顯然，學(xué)生把生活中的高與幾何圖形的高混為一談了。因此，學(xué)生對(duì)幾何圖形的高存在認(rèn)知困難，存在著深厚的生活根源。

（二）何為平面圖形的高？

在小學(xué)階段，我們學(xué)習(xí)的高主要指的是平行四邊形、梯形和三角形的高。人教版教材對(duì)平行四邊形的高是這樣說的：從平行四邊形一條邊上的一點(diǎn)向?qū)呉咕€，這點(diǎn)到垂足之間的線段就是平行四邊形的高。對(duì)于梯形的高教材上只給了一幅圖，讓學(xué)生直觀感知，其實(shí)與平行四邊形的高類似。

四年級(jí)下冊(cè)對(duì)三角形的高是這樣定義的：從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)到它的對(duì)邊作一條垂線，頂點(diǎn)到垂足之間的線段叫作三角形的高。

不難發(fā)現(xiàn)，兩條平行線之間的垂線段就是平行四邊形或梯形的高，頂點(diǎn)到對(duì)邊的垂線段就是三角形的高。高的本質(zhì)其實(shí)就是點(diǎn)到直線的垂線段。

教材中對(duì)“高”概念的描述，學(xué)生是不容易理解的。要想理解“高”的概念需要“頂點(diǎn)”“對(duì)邊”“垂線”“垂足”等眾多概念為支撐，而這些概念也是剛學(xué)習(xí)的，要理解“高”的概念實(shí)在是個(gè)挑戰(zhàn)。

（三）生活中的高與平面圖形的高有何聯(lián)系和區(qū)別？

1.聯(lián)系緊密。平面圖形的高是高的本義的延伸，生活中通常所說的“高”，一般是指與水平線垂直的線段的長度，這為學(xué)生理解平面圖形豎直方向的“高”提供了便利。

2.區(qū)別明顯。首先，平面圖形的“高”一般指的是垂線段，這一點(diǎn)和生活中所說的“高”有所區(qū)別，但并不明顯，因?yàn)槠矫鎴D形的“高”也會(huì)用來表示垂線段的長度。其次平面圖形的高，并不一定是豎直的，除非它的底是水平的。平面圖形的高是與底垂直的，而底可以與水平方向成任何角度。這就與學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)產(chǎn)生沖突，進(jìn)而產(chǎn)生學(xué)習(xí)困難。如圖1，右圖虛線是三角形的高，而左邊圖中的虛線則和金字塔的高并無關(guān)系。這就體現(xiàn)了數(shù)學(xué)源于生活卻高于生活。

圖1通過以上三個(gè)問題的分析，我們不難發(fā)現(xiàn)，除了概念表述本身難以理解，學(xué)生對(duì)高的認(rèn)識(shí)困難主要源自生活經(jīng)驗(yàn)與數(shù)學(xué)內(nèi)涵之間的沖突。

二、結(jié)合三角形高的認(rèn)識(shí)，重建“高”的概念。

基于以上的分析，筆者認(rèn)為，“高”的學(xué)習(xí)，既要扎根于現(xiàn)實(shí)生活，也要立足于數(shù)學(xué)內(nèi)涵。因此，在三角形高的教學(xué)中，我把它擺在了一個(gè)非常重要的位置。

三角形的高相對(duì)于平行四邊形和梯形的高，更具有復(fù)雜性，三角形有三條不同的高，鈍角三角形有形外高，直角三角形有兩條高與邊重合。如何突破這些難點(diǎn)，讓學(xué)生深刻理解？教學(xué)中可以從以下三個(gè)方面進(jìn)行了有效嘗試。

（一）建立聯(lián)系，找準(zhǔn)知識(shí)生長點(diǎn)

“高”的概念來源于生活，為了建立聯(lián)系，教學(xué)中從學(xué)生熟悉的“量身高”引入，有效地激活學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)。

課堂實(shí)錄：

師：三角形ABC與三角形DEF是好朋友，有一天他們要去量身高，同學(xué)們你們量過身高嗎？

生：量過。

師：你們是怎么量身高的呢？出示下圖

生：站直，上面的標(biāo)尺要放到頭頂上。

師：那么，這個(gè)同學(xué)的身高是從哪到哪呢？

生：從頭頂?shù)侥_底。

師板書：頭頂 腳底 站直了

在測(cè)量身高的情境中，學(xué)生感受到頭頂與腳底之間的垂直長度就是身高，為感知圖形的高初步建立與生活的聯(lián)系。

課堂實(shí)錄：

師：三角形ABC要去量身高，想一想，他的身高應(yīng)該是從哪兒到哪兒呢？

生：從點(diǎn)A到BC。

師：從點(diǎn)A到BC有很多種方法。（師用手勢(shì)比畫多條線路）到底是哪一條呢？

生1：豎直的那一條。

生2：與BC垂直的那一條。

師：你能畫出它嗎？應(yīng)該怎樣畫？

生：用三角尺直角去畫。（學(xué)生畫出這條線）

師：用自己的話說一說，這是怎樣的一條線？

生：從頂點(diǎn)A到對(duì)邊BC畫的一條垂線。

師板書：頂點(diǎn) 對(duì)邊作垂線

師生小結(jié)高的概念，并說明：這條對(duì)邊就像人的腳底一樣，我們稱之為“底”。

通過激發(fā)生活經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生建立了頭頂與頂點(diǎn)，腳底與對(duì)邊之間的關(guān)聯(lián)，建立了數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系，初步感受到高的一般形態(tài)。

（二）加強(qiáng)比較，豐富高的表象

平面圖形的高與生活中的高有顯著的區(qū)別，由于學(xué)生經(jīng)驗(yàn)的不足，對(duì)高的認(rèn)識(shí)很容易停留在“豎直”經(jīng)驗(yàn)上，為此，必須進(jìn)一步加強(qiáng)與生活中高的比較，豐富幾何圖形高的表象。

課堂實(shí)錄：

在比較三角形ABC與三角形DEF身高之后，創(chuàng)設(shè)如下情境：

師：三角形DEF比身高獲勝，高興得又蹦又跳，一不小心，腳下一滑，摔倒了（出示下圖），三角形ABC看見了，笑著說：哈哈，你的個(gè)子變矮了。

師：同學(xué)們，這時(shí)，三角形DEF的個(gè)子是多高，你能指出來嗎？

學(xué)生指出三角形的高，課件用虛線呈現(xiàn)。

師：為什么這也是三角形的高呢？

生：因?yàn)檫@是頂點(diǎn)E到對(duì)邊FD的距離。

師：那么，剛才我們從D點(diǎn)畫出的那條線還是三角形的高嗎？

生：不是

師：說出你的理由。

生：因?yàn)樗皇秦Q直的

師：“高”一定要豎直的？

生：不一定，它應(yīng)該還是三角形的高，因?yàn)閯偛爬蠋熣f了，從頂點(diǎn)到對(duì)邊作垂線，這條垂線段的長度就是他的高。D是三角形的頂點(diǎn)，EF是它的對(duì)邊，而且這條線垂直EF，所以它也是三角形的高。

師：你們認(rèn)為呢？（經(jīng)討論學(xué)生逐漸認(rèn)同）

師：當(dāng)自己不太確定的時(shí)候，我們可以根據(jù)它的定義來判斷。從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向它的對(duì)邊作垂線，頂點(diǎn)到垂足之間的線段就是它的高。符合這個(gè)定義它就是高。從這里我們也可以看出，高有時(shí)候不是豎直的，和我們身高不一樣，和我們生活中說的物體的高度也是有區(qū)別的。

師：想一想，一個(gè)三角形有幾條高呢？為什么？

對(duì)高的認(rèn)識(shí)，我們不能僅停留在生活經(jīng)驗(yàn)上，既要從生活中來，又要高于生活，通過這樣情境的創(chuàng)設(shè)，不斷豐富“高”的表象，學(xué)生對(duì)高的認(rèn)識(shí)達(dá)到了新的高度，有效地避免了“豎直”經(jīng)驗(yàn)的干擾，學(xué)會(huì)理性地從數(shù)學(xué)概念來進(jìn)行推理判斷，培養(yǎng)學(xué)生的理性精神。

（三）觸及本質(zhì)，實(shí)現(xiàn)再提升

畫“高”其實(shí)就是過直線外一點(diǎn)作已知直線的垂線，但由于受到三角形另外兩條邊的影響，學(xué)生容易出現(xiàn)這樣那樣的錯(cuò)誤，因此，我們把高的學(xué)習(xí)與舊知聯(lián)系起來，使學(xué)生進(jìn)一步感受到高的本質(zhì)，實(shí)現(xiàn)理解的再提升。

課堂實(shí)錄：

依次出現(xiàn)下面兩個(gè)問題，讓學(xué)生獨(dú)立解答。

問題1：小明家的旁邊有條河，小明爸爸想修一條路到河邊，怎樣修最近呢？你能畫出這條路嗎？

問題2：小紅家的旁邊也有一條河，小紅家到這條河有兩條路，不過，她爸爸覺得這兩條路都比較遠(yuǎn)，想修一條最近的路，她該怎么修呢？

完成后，引導(dǎo)學(xué)生討論。

師：在畫這兩條小路的過程中，你有什么發(fā)現(xiàn)嗎？

生1：都要畫垂線，與小河垂直。

生2：他們的畫法一樣。

生3：第二個(gè)圖中，原來的兩條路和小河構(gòu)成一個(gè)三角形，這條最近的路就是三角形的高。

生4：三角形的高和點(diǎn)到直線的距離是一樣的。

師：說得真好，通過剛才的討論，我們知道高其實(shí)并不神秘，他就是以前我們所認(rèn)識(shí)的點(diǎn)到直線的垂線段。因此，在畫三角形高的時(shí)候，有時(shí)可以忽略另外兩條邊。

師：通過學(xué)習(xí)，你認(rèn)為為什么要研究三角形的高呢？

生1：因?yàn)槲覀冎?，點(diǎn)到直線的所有連線中垂線段最短，因此三角形的高就是頂點(diǎn)到對(duì)邊最短的一條線。

生2：這條線最短，很特殊，值得研究。

師：“高”正因?yàn)樗奶厥庑?，在解決許多圖形問題中發(fā)揮著重要的作用。因此，我們大家一定要學(xué)好它，用好它。

建立新舊知識(shí)之間的聯(lián)系，能使學(xué)生建構(gòu)更加完整的知識(shí)體系，有利于學(xué)生站在新的高度重新審視所學(xué)知識(shí)。

總之，數(shù)學(xué)產(chǎn)生于生產(chǎn)實(shí)踐。在教學(xué)中，我們既要抓住它們之間的聯(lián)系，也要注意它們之間的區(qū)別，從更加理性的角度找到學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的生長點(diǎn)，把握數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵和本質(zhì)，讓學(xué)生在思辨的過程中得到思維的發(fā)展。