淺議化歸思想在高中數(shù)學(xué)解題過程中的應(yīng)用

蔡娟蘭

[摘 要]化歸思想是一種解決問題的重要思想，在高中數(shù)學(xué)解題中的優(yōu)勢更為顯著，不僅能引導(dǎo)學(xué)生解決各類數(shù)學(xué)問題，還能提升學(xué)生數(shù)學(xué)解題能力。在高中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，教師應(yīng)該做好化歸思想知識的講解，為學(xué)生灌輸化歸思想常用的方法，使學(xué)生了解化歸方法的具體應(yīng)用過程，掌握應(yīng)用規(guī)律，總結(jié)在解題中的應(yīng)用技巧，從而，不斷提高化歸思想應(yīng)用水平，快速找到解題突破口，促進(jìn)高中數(shù)學(xué)解題能力的進(jìn)一步提升。

[關(guān)鍵詞]高中數(shù)學(xué);化歸思想;解題過程;應(yīng)用

所謂化歸思想是指將陌生、不易處理的問題，采用相關(guān)轉(zhuǎn)化方法，轉(zhuǎn)化為熟悉、易處理的問題。所以，采用合理方法進(jìn)行轉(zhuǎn)化是化歸思想的精髓，亦是化歸思想教學(xué)的重中之重。高中數(shù)學(xué)涉及的知識點較多，題型復(fù)雜多變，掌握化歸思想可使學(xué)生迅速找到解題突破口，實現(xiàn)快速、高效解題，因此，教學(xué)中數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識和化歸思想均應(yīng)納入教學(xué)的重要內(nèi)容，并積極實踐。

一、化歸思想之換元法的應(yīng)用

換元法是化歸思想中的一種常見方法，學(xué)生在初中階段已有所了解，因此，對換元法并不陌生。不同的是，高中階段的換元法更為靈活，而且解題步驟更為復(fù)雜，因此，在教學(xué)中，一方面，教師要為學(xué)生深入講解換元法，使學(xué)生牢固掌握換元法的技巧與方法，讓學(xué)生認(rèn)識到換元并不是隨便的換，換元后應(yīng)能簡化原有式子，使解題時更加容易找到解題思路。同時，還應(yīng)注意換元前后變量取值范圍的一致性。另一方面，教師要結(jié)合具體教學(xué)內(nèi)容，圍繞具體例題，為學(xué)生講解換元法的具體應(yīng)用，使學(xué)生深刻體會換元過程，認(rèn)識到換元法在解題中的妙用，啟發(fā)學(xué)生更好地解題。

例1，已知函數(shù)f（x）=xlnx- x2-x+a（a∈R）在其定義域內(nèi)有兩個不同的極值點。設(shè)兩個極值點分別為x1、x2，且滿足x10，若不等式 e1+λ

分析：該題目立足函數(shù)，考查了極值點、導(dǎo)數(shù)、恒成立等知識點，技巧性強，難度較大。解題的關(guān)鍵在于理解題意，而后對已知條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化，根據(jù)轉(zhuǎn)化后的結(jié)果，采用換元法解題。講解中為使學(xué)生能夠迅速找到解題思路，增強解題的自信心，教師應(yīng)及時做好解題引導(dǎo)。

教師引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真分析題干中給出的不等式，可考慮采用兩邊取對數(shù)的方法進(jìn)行轉(zhuǎn)化，即，由 e1+λ

由極值點和函數(shù)導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系可得x1、x2應(yīng)分別為f′（x）=lnx-ax=0的兩個根。將其分別代入可得lnx1=ax1，lnx2=ax2……（1）。

則1+λ

∵λ>0且0

同時，還應(yīng)通過將（1）中的兩個等式作差，得到ln=a（x1-x2），則a=

則原式等價為：>，∵0

令t=，t∈（0，1），則不等式lnt< 在t∈（0，1）上恒成立。

令h（t）=lnt-，求導(dǎo)得： h'（x）=

當(dāng)λ2∈ [1，+∞）時，00，表明函數(shù)h（x）為單調(diào)遞增函數(shù)，而當(dāng)t=1時，h（1）=0，可知h（t）恒小于0。

當(dāng)λ2<1時，可知在t∈（0， λ2）上 h'（x）>0，在t∈（ λ2，1）時h' （x）<0，即，當(dāng)其最大值為h（1）=0，表明在t∈（0，1）上h（t）小于0不恒成立，舍去。

由此可見，要想滿足題設(shè)要求，只需 λ2≥1，而 λ>0，即， λ≥1。

二、化歸思想之構(gòu)造法的應(yīng)用

構(gòu)造法指根據(jù)題干條件或進(jìn)行推導(dǎo)，將數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化為一個適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型，進(jìn)而實現(xiàn)求解的目的。構(gòu)造法對學(xué)生的數(shù)學(xué)能力要求較高，教學(xué)中為使學(xué)生掌握這一重要的轉(zhuǎn)化方法，一方面，教師要結(jié)合教學(xué)內(nèi)容為學(xué)生講解常見的構(gòu)造方法，包括構(gòu)造函數(shù)、構(gòu)造數(shù)列、構(gòu)造向量等。同時，為樹立學(xué)生學(xué)習(xí)的自信，可先創(chuàng)設(shè)簡單的問題，傳授各種構(gòu)造技巧，夯實學(xué)生基礎(chǔ)知識，提高運用構(gòu)造法轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的意識。另一方面，教師要優(yōu)選經(jīng)典例題，板書具體解題過程，鼓勵學(xué)生積極思考每一步的推導(dǎo)過程，以及推導(dǎo)過程中應(yīng)注意的問題，切實掌握構(gòu)造法精髓，使學(xué)生在解題中可以靈活應(yīng)用。

例2，已知a，b，c∈R+，abc=1，證明：a2+b2+c2+3≥2ab+2ac+2bc

分析：該題目為證明不等式類型的題目，題干較為簡單，但是很多學(xué)生不知如何下手，因此，在教學(xué)中，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生通過轉(zhuǎn)化，構(gòu)造出二次函數(shù)進(jìn)行證明。

要證a2+b2+c2+3≥2ab+2ac+2bc，即證：（a+b）2+c2+3≥4ab+2c（a+b）

∵abc=1，即，原不等式轉(zhuǎn)化為（a+b）2-2c（a+b）+c2+3-≥0

當(dāng)3-≥0，即，c≥ 時，顯然不等式成立。

當(dāng)3-<0，即，c<時，設(shè)x=a+b，由已知條件以及基本不等式知識可得a+b≥2=，即x=a+b∈[，+∞），對不等式（a+b）2-2c（a+b）+c2+3-≥0

認(rèn)真觀察不等式的形式，可通過二次函數(shù)f（x）=x2-2cx+c2+3-進(jìn)行證明。

要證明0

∴f（x）的對稱軸x=c在[，+∞）的左側(cè)，且f（x）的圖像開口向上，即，在[，+∞）上f（x）單調(diào)遞增。

又∵f（）= -4+c2+3- =c2-4 +3≥2c-4 +2=2（ -1）2≥0

∴當(dāng)x∈ [，+∞）時恒有f（x）≥0，即當(dāng)0

三、化歸思想之坐標(biāo)法的應(yīng)用

坐標(biāo)法是一種基于坐標(biāo)系將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，通過數(shù)學(xué)計算，實現(xiàn)解題的一種化歸思想。應(yīng)用坐標(biāo)法解答數(shù)學(xué)問題時應(yīng)注重構(gòu)建合理的坐標(biāo)系，準(zhǔn)確找到各點的坐標(biāo)，而后進(jìn)行計算。為使學(xué)生靈活地運用坐標(biāo)法這一重要的化歸思想，一方面，教師在教學(xué)中為學(xué)生講解坐標(biāo)法知識，注重培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力，如通過聯(lián)系生活中的事物，增強學(xué)生的空間立體感，從而能夠在空間直角坐標(biāo)系中準(zhǔn)確找到各點坐標(biāo)。另一方面，為使學(xué)生掌握坐標(biāo)法，教師在教學(xué)中應(yīng)注重對學(xué)生進(jìn)行訓(xùn)練，即選擇優(yōu)秀試題，對學(xué)生進(jìn)行專題訓(xùn)練，不斷提高學(xué)生的坐標(biāo)法應(yīng)用水平與運算能力。

例3，如圖一所示，一以ABCD為底面的四棱錐P-ABCD，已知底面為菱形，邊長為2。三角形PAB為等邊三角形，∠ABC=60°，且面PAB⊥面ABCD。E為AB的中點，在線段PD上有一點M。問：是否存在能夠使得二面角M-EC-D的大小為60°的點M？

分析：該題目為立體幾何題目，采用傳統(tǒng)方法雖然能夠得出結(jié)果，但難度較大，學(xué)生應(yīng)采用坐標(biāo)法，通過假設(shè)M點的坐標(biāo)，找到其與PD間的關(guān)系，便可得出是否存在點M。根據(jù)題意構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系時，應(yīng)以E為原點，以EB、EC、EP分別為x，y，z軸，構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系E-xyz，根據(jù)題意，不難得出以下各點的坐標(biāo)。

E（0，0，0），B（1，0，0），P（0，0， ），C（0， ，0），D（-2， ，0）

假設(shè)PD上存在一點M（x，y，z）， =λ （0≤λ≤1）

則（x，y，z- ）= λ（-2，，- ），即，M（-2λ， λ， （1-λ））

=（-2λ， λ， （1-λ））， =（0，，0）

可設(shè)平面CEM的法向量為n（x，y，z），根據(jù)法向量知識可得：

n·? =-2λx+ λy+ （1-λ）z=0，n· = y=0，解得y=0，2λx= （1-λ）z

令z=2 ，則x= （1-λ），得n=（（1-λ），0，2λ）

∵PE和平面ABCD相垂直，可求出平面ABCD的法向量為m=（0，0，1）

cos= =2 λ/=2 λ/

∵二面角M-EC-D的大小為60°

則2 λ/=1/2，即，3λ2+2λ-1=0，解得λ= 或 =λ-1（舍去）

綜上，存在滿足題意要求的M點，即PM/PD=時，題設(shè)成立。

四、化歸思想之直接轉(zhuǎn)化法的應(yīng)用

直接轉(zhuǎn)化法相對來說較為簡單，教學(xué)中為使學(xué)生掌握這一重要方法，一方面，由于直接轉(zhuǎn)化法基于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識，因此，在教學(xué)中做好數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識講解尤為重要。教學(xué)中，教師可以靈活運用多種教學(xué)手段，如運用多媒體技術(shù)為學(xué)生深入講解數(shù)學(xué)概念，尤其引導(dǎo)學(xué)生自己推導(dǎo)相關(guān)的數(shù)學(xué)定理，感受數(shù)學(xué)定理的推導(dǎo)過程，加深學(xué)生印象的同時，使學(xué)生更好地了解數(shù)學(xué)結(jié)論的來龍去脈，有助于其更好地應(yīng)用。另一方面，與其他轉(zhuǎn)化方法相比直接轉(zhuǎn)化法雖然難度不大，但要想牢固掌握并非易事，教師在教學(xué)中仍需依托具體例題進(jìn)行講解，使學(xué)生更好地掌握應(yīng)用直接轉(zhuǎn)化法應(yīng)注意的問題及相關(guān)的應(yīng)用技巧。

例4，已知函數(shù)f（x）= x3+（-）x2+（- a）x（0f（x3）恒成立，求實數(shù)a的取值范圍。

分析：該題目為三次函數(shù)類型的試題，在高中數(shù)學(xué)中較為常見，解題時需要應(yīng)用導(dǎo)數(shù)知識，確定函數(shù)的最值進(jìn)行求解。同時，該題目給出f（x1）+f（x2）>f（x3）恒成立這一條件，深入理解這一條件是解題的關(guān)鍵，解題時需要根據(jù)f（x1）+f（x2）>f（x3）恒成立找到潛在的隱含關(guān)系，通過分類討論找到最大值與最小值之間的關(guān)系，最終求解出a的取值范圍。

∵f（x）= x3+（-）x2+（- a）x（0

∴ f'（x）=x2+（a-）x+（- a）=（x-）（x+a-2），令f'（x）=0解得x1=，x2=2-a

∵00得到x<或x>2-a，令f'（x）<0，得

即，f（x）在[1，2]上的最小值為f（2-a）=（2-a）2，最大值為max{f（1），f（2）}=max{-， a}

∵0-

在解題過程中，巧妙轉(zhuǎn)化題設(shè)條件是關(guān)鍵，即，根據(jù)對于任意的三個實數(shù)x1，x2，x3∈[1，2]都有f（x1）+f（x2）>f（x3）恒成立，應(yīng)能推導(dǎo)出2f（x）min>f（x）max

顯然，當(dāng)a∈（0， ]，可得2×（2-a）2>-，求解得出1- a，可求解出a的取值范圍為：

綜上可知，a的取值范圍為1-

五、化歸思想之?dāng)?shù)形結(jié)合法的應(yīng)用

數(shù)形結(jié)合是化歸思想中應(yīng)用率較高的方法，可明顯提高解題效率。在教學(xué)中，為使學(xué)生熟練應(yīng)用數(shù)形結(jié)合法進(jìn)行巧妙解題，一方面，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生自主地學(xué)習(xí)數(shù)形結(jié)合知識，并在解題中嘗試著加以應(yīng)用，如要求學(xué)生回歸教材掌握教材中常見函數(shù)的圖像、總結(jié)函數(shù)圖像繪制技巧等，為數(shù)形結(jié)合法的靈活應(yīng)用奠定基礎(chǔ)。另一方面，數(shù)形結(jié)合法試題類型多種多樣，教學(xué)中應(yīng)為學(xué)生講解代表性例題，使學(xué)生掌握數(shù)形結(jié)合法解題的思路，靈活處理常規(guī)以及抽象函數(shù)圖像，從而順利解題。

例5，已知函數(shù)f（x）=，關(guān)于x的方程f2（x）-2af（x）+a-1=0（a∈R）有3個不同的實數(shù)根，則a的取值范圍是（）

A、（ ，+∞）? ? B、（-∞， ）? ? ?C、（0，）? ? ?D、{}

分析：該題目是抽象函數(shù)與復(fù)合函數(shù)相綜合的題目，較為抽象，難度較大。很多學(xué)生面對該題目不知如何下手，很難得出正確結(jié)果。事實上，針對抽象復(fù)雜的函數(shù)，可運用導(dǎo)數(shù)知識研究其單調(diào)性，大致畫出其圖像，借助圖像討論其根的情況，從而得出參數(shù)的取值范圍。

∵f（x）= ，x的正負(fù)未知，因此，需要進(jìn)行分類討論。

當(dāng)x>0時，f（x）= ， f'（x）==。當(dāng)01時 f'（x）>0，當(dāng)x=1時，滿足f（1）min=e。

當(dāng)x<0時，f（x）=-，則 f'（x）=-=，f'（x）>0恒成立，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增。為求a的取值范圍可大致作出f（x）的圖像，如圖二所示：

可知當(dāng)t∈（e，+∞），t=e，t∈（0，e）以及（-∞，0]對應(yīng)的t=f（x）根的個數(shù)分別為3個，2個，1個，0個。

題設(shè)中的問題，等價于t2-2at+a-1=0（m∈R）有2個不同的實數(shù)根，當(dāng)t=e時，e2-2ae+a-1=0，解得a=，正確答案為D。

為使學(xué)生切實掌握化歸思想，教學(xué)中應(yīng)做好教學(xué)經(jīng)驗總結(jié)，注重化歸思想的應(yīng)用研究。本文通過研究得出以下結(jié)論：

1.高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，不僅要為學(xué)生講解高中數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識，使學(xué)生掌握基本知識以及解題的基本能力，而且要為學(xué)生系統(tǒng)講解化歸方法以及化歸時應(yīng)遵守的原則，把握化歸思想應(yīng)用重點。

2.為學(xué)生講解化歸的具體實現(xiàn)方法，尤其為使學(xué)生熟練掌握各種化歸方法，應(yīng)結(jié)合例題講解，使學(xué)生掌握相關(guān)化歸方法的具體應(yīng)用。同時，鼓勵學(xué)生充分利用課下時間進(jìn)行及時鞏固訓(xùn)練，在訓(xùn)練中掌握不同數(shù)學(xué)試題的解題規(guī)律以及化歸技巧，進(jìn)一步提高學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力。

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（責(zé)任編輯 陳始雨）