一類考慮潛伏期和隔離機(jī)制的傳染病模型的動(dòng)力學(xué)分析

郭樹敏

（韶關(guān)學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，廣東 韶關(guān) 512005）

近年來不斷有新型傳染病出現(xiàn)，例如重癥急性呼吸綜合征、埃博拉病毒病、人感染高致病性禽流感、朊毒體病、中東呼吸綜合征等［1-2］.一旦有新的疫情發(fā)生，就有學(xué)者根據(jù)新型傳染病傳播的機(jī)理建立模型并進(jìn)行理論分析［3-4］.有很多呼吸類傳染病病毒的潛伏期較長(zhǎng)，防控手段主要就是隔離，因此，本文建立了考慮潛伏期和隔離機(jī)制的傳染病模型.

1 模型的建立

本文的建立的模型為：

其中，S 是易感者，Q1是未被隔離的潛伏者，Q2是被隔離的潛伏者，I 是已發(fā)病的染病者，R 是康復(fù)者.Λ是外地遷入的以及本地新生的人口數(shù)，ε 是感染病毒者在新增人口所占比例，β1是未被隔離的潛伏者與易感者接觸的感染率，β2是被隔離的潛伏者與易感者接觸的感染率，d 是自然死亡率，δ 是未被隔離的潛伏者在新增感染者中所占的比例，k1是未被隔離的潛伏者被發(fā)現(xiàn)并隔離的比例，k2是未被隔離的潛伏者自愈的比例，k3是被隔離的潛伏者自愈的比例，μ1是被隔離的潛伏者發(fā)病的比例，μ2是發(fā)病的染病者中被治愈的比例，σ 是因病死亡率.建立模型時(shí)做了如下假設(shè)：

（1）新增人口中有部分是已感染病毒的潛伏者，其中部分被發(fā)現(xiàn)繼而被隔離，還有一部分未被發(fā)現(xiàn)從而未被隔離；

（2）感染病毒的潛伏者中有部分免疫力較強(qiáng)，沒有明顯的嚴(yán)重癥狀，不需要治療就會(huì)自愈；

（3）易感者接觸潛伏者會(huì)有一定幾率感染，已發(fā)病的感染者通常都會(huì)就醫(yī)，接觸易感者并傳播病毒的可能性很小，故不考慮其傳染性.

2 模型分析

假設(shè)當(dāng)t ≥ 0 時(shí)，系統(tǒng)（1）中的變量和參數(shù)始終為正.由系統(tǒng)（1）的生物學(xué)意義得：

其中Ω 為系統(tǒng)（1）的正向不變集.容易看出系統(tǒng)（1）的前3 個(gè)方程與變量I，R 無關(guān)，其穩(wěn)定性可由以下系統(tǒng)分析：

系統(tǒng)（3）滿足初始條件為：S（0）＞0，Q1（0）＞0，Q2（0）＞0，其中m=k1+k2+d，n=k3+μ1+d.系統(tǒng)（3）有正平衡點(diǎn)E*（S*，Q1*，Q2*），由方程a1Q1*2+a2Q1*+a3=0確定，其中a1=m（β1n+β2k1）＞0，a2=mβ2（1-δ）εΛ+mnd-Λ（δε+1-ε）（β1n+β2k1），a3=-β2（1-δ）εΛ＜0.因此方程始終有唯一的正根，系統(tǒng)（3）有唯一的正平衡點(diǎn)E*.下面討論當(dāng)ε=0，即無輸入感染者時(shí)，系統(tǒng)（3）的基本再生數(shù).

此時(shí)系統(tǒng)有無病平衡點(diǎn)E0（Λ/d，0，0）.設(shè)x=（Q1，Q2，S）T，系統(tǒng)（3）可以寫為：

F（x）和V（x）在無病平衡點(diǎn)E0的Jacobian 矩陣為：

3 平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性

下面討論正平衡點(diǎn)E*（S*，Q1*，Q2*）的全局漸近穩(wěn)定性.系統(tǒng)（3）的Jacobian 矩陣為：

于是可得J 的第二加性復(fù)合矩陣為［2］：

令：

則：

從而：

設(shè)│·│是R3中的范數(shù)，定義為│ω1，ω2，ω3│=max{│ω1│，│ω2+ω3│}，其中（ω1，ω2，ω3）表示R3中的 向 量，L 表 示 范 數(shù) 的Lozinskii?測(cè) 度，L（B）≤ sup{g1，g2}=sup{L1（B11）+│B12│，L1（B22）+│B21│}. 其 中│B12│，│B21│是對(duì)應(yīng)于向量范數(shù)l1的矩陣范數(shù)，L1是對(duì)應(yīng)于范數(shù)l1的Lozinskii?測(cè)度，因此：

于是：

由系統(tǒng)（3）的第二式可得：

把（13）和（2）代入（11）式，可化為：

由系統(tǒng)（3）的第三式可得：

把（15）和（2）代入（12）式，可化為：

則：

情況1：如果δ＜1-δ，即時(shí)，有那么：

則：

情況2：如果δ＞1-δ，即時(shí)，有那么：

則：

如上面所說，由文獻(xiàn)［6］中Muldowney 給出的準(zhǔn)則有如下定理.

定理當(dāng)R1＞1 時(shí)，正平衡點(diǎn)E*（S*，Q1*，Q2*）全局漸近穩(wěn)定，其中：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，

4 結(jié)語

本文建立了一類考慮潛伏期和隔離機(jī)制的傳染病模型，通過分析其參數(shù)可知，無輸入感染者時(shí)，減少潛伏期感染者與易感者的接觸幾率能有效控制疾病傳播，特別是減少未隔離的潛伏期染病者與易感者的接觸能更加有效降低疾病傳染效率.當(dāng)輸入的未隔離潛伏者不過半時(shí)，減少未隔離的潛伏者的數(shù)量可以有效控制疾病傳播；當(dāng)輸入的未隔離潛伏者過半時(shí)，減少未隔離潛伏者的數(shù)量已無效果.因此封閉疫情嚴(yán)重地區(qū)，全員居家隔離，減少人員流動(dòng)，并對(duì)外來者普及疫病篩查，染病者及時(shí)進(jìn)行隔離，是控制此類傳染病傳播最有效的手段.