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    “數(shù)值分析”課程中稀疏矩陣?yán)碚摰慕虒W(xué)策略

    2020-07-17 08:33:04華,羅
    關(guān)鍵詞:運(yùn)算符數(shù)值分析迭代法

    鄭 華,羅 亮

    (韶關(guān)學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院, 廣東 韶關(guān) 512005)

    隨著信息技術(shù)的不斷革新和發(fā)展,大數(shù)據(jù)技術(shù)已經(jīng)逐步滲透到實(shí)際應(yīng)用的各個(gè)行業(yè)和業(yè)務(wù)職能領(lǐng)域,逐漸成為重要的生產(chǎn)要素,如何更好地運(yùn)用海量數(shù)據(jù),決定了新一輪生產(chǎn)率增長(zhǎng)和消費(fèi)者激增浪潮的到來(lái).大數(shù)據(jù)背景下的信息技術(shù)需要良好的科學(xué)計(jì)算能力作為基礎(chǔ),這對(duì)高校相關(guān)專(zhuān)業(yè)的人才培養(yǎng)提出了新的要求,特別是對(duì)與之關(guān)聯(lián)緊密的信息與計(jì)算科學(xué)專(zhuān)業(yè)核心課程進(jìn)行改革創(chuàng)新.“數(shù)值分析”是信息與計(jì)算科學(xué)專(zhuān)業(yè)最核心的專(zhuān)業(yè)必修課,該課程關(guān)注怎樣用計(jì)算機(jī)求解各類(lèi)數(shù)學(xué)模型轉(zhuǎn)換得到的數(shù)學(xué)問(wèn)題, 并作相關(guān)的算法分析.

    1 “數(shù)值分析”教學(xué)概況

    “數(shù)值分析”課程分為數(shù)值代數(shù)、數(shù)值逼近和微分方程數(shù)值解3 個(gè)模塊, 其中數(shù)值代數(shù)部分主要關(guān)注實(shí)際數(shù)學(xué)模型離散化得到的線性方程組和特征值計(jì)算的數(shù)值算法. 很多大數(shù)據(jù)應(yīng)用問(wèn)題,比如微分方程的有限差分離散化[1]、網(wǎng)頁(yè)排序問(wèn)題[2-3]、復(fù)雜關(guān)系網(wǎng)絡(luò)問(wèn)題[4]等,往往會(huì)轉(zhuǎn)化為大規(guī)模稀疏矩陣的處理,在目前的一些常見(jiàn)的《數(shù)值分析》教材[5-6]中,對(duì)稀疏矩陣?yán)碚摪ㄅc之匹配的上機(jī)實(shí)驗(yàn)的討論較少,如果在教學(xué)過(guò)程中能設(shè)計(jì)有針對(duì)性的教學(xué)環(huán)節(jié),就能更好地幫助學(xué)生理解和掌握相關(guān)的數(shù)值算法理論.

    針對(duì)“數(shù)值分析”課程中與大規(guī)模稀疏矩陣相關(guān)的線性方程組求解和特征值計(jì)算兩部分內(nèi)容,本文給出了稀疏矩陣?yán)碚摰慕虒W(xué)策略,完成相關(guān)章節(jié)教學(xué)目標(biāo)的同時(shí),使相關(guān)內(nèi)容的教學(xué)更具有針對(duì)性,以適應(yīng)大數(shù)據(jù)時(shí)代的需要.

    2 稀疏矩陣教學(xué)策略

    如果一個(gè)矩陣的非零元較少,并且排列沒(méi)有規(guī)律,則稱(chēng)它為稀疏矩陣.在各類(lèi)數(shù)值算法的計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)中,對(duì)于稀疏矩陣的存儲(chǔ),尤其是矩陣階數(shù)比較大的情形,如果采用常規(guī)矩陣的存儲(chǔ)方式,那將會(huì)占用大量的計(jì)算機(jī)內(nèi)存,導(dǎo)致上機(jī)實(shí)驗(yàn)的結(jié)果出現(xiàn)不準(zhǔn)確,甚至計(jì)算機(jī)的運(yùn)行出現(xiàn)內(nèi)存溢出.因此,對(duì)待稀疏矩陣一般采用的是三元數(shù)組存儲(chǔ)的方法,只存儲(chǔ)非零元及其位置信息.另一方面,為了使矩陣在運(yùn)算過(guò)程中保持其稀疏結(jié)構(gòu)不被破壞,還要盡量避免矩陣乘矩陣和矩陣求逆的運(yùn)算.這些算法實(shí)現(xiàn)的基本準(zhǔn)則,在“數(shù)值分析”的算法理論教學(xué)中一般較少涉及.接下來(lái)按數(shù)值代數(shù)中線性方程組求解和特征值計(jì)算兩部分內(nèi)容,分別給出針對(duì)性的稀疏矩陣教學(xué)策略.

    2.1 求解線性方程組的直接法

    對(duì)于求解線性方程組直接法部分的教學(xué)內(nèi)容,是基于Gauss 消去法展開(kāi)的,包括考慮減少小主元影響所得的主元素Gauss 消去法、對(duì)稱(chēng)正定矩陣情形的平方根法和三對(duì)角矩陣情形的追趕法.由于直接法的本質(zhì)是基于矩陣初等變換進(jìn)行的,理論上等價(jià)于相應(yīng)的矩陣分解(如LU 分解、Cholesky 分解等),因此,各類(lèi)直接法在計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)中不可避免地會(huì)出現(xiàn)矩陣乘矩陣的運(yùn)算,對(duì)于本科階段的數(shù)值分析學(xué)習(xí)要求來(lái)說(shuō),直接法破壞了矩陣的稀疏結(jié)構(gòu),是不適用于大規(guī)模稀疏矩陣的.因此,在教學(xué)過(guò)程中,先按照“數(shù)值分析”課程教學(xué)要求完成常規(guī)的教學(xué)內(nèi)容,上機(jī)實(shí)驗(yàn)所涉及的矩陣都采用小規(guī)模矩陣進(jìn)行,讓學(xué)生先掌握各類(lèi)直接法的算法思想和算法流程.在階段總結(jié)過(guò)后,再引入稀疏矩陣的概念,并以隨機(jī)生成的稀疏矩陣為例,向?qū)W生展示直接法應(yīng)用過(guò)程中遇到的內(nèi)存溢出、計(jì)算時(shí)間過(guò)長(zhǎng)等麻煩,展示直接法的缺點(diǎn),為后續(xù)求解線性方程組的迭代法的引入做好鋪墊.

    在線性方程組求解的實(shí)驗(yàn)教學(xué)過(guò)程中,如果采用MATLAB 進(jìn)行,學(xué)生可能會(huì)使用“”運(yùn)算符[7].由于MATLAB 的“”運(yùn)算符所調(diào)用的mldivide 函數(shù)的內(nèi)置算法涉及到了SuperLU 軟件包[8],對(duì)于大規(guī)模稀疏矩陣(尤其是具有一定結(jié)構(gòu)的稀疏矩陣)同樣適用,這容易讓學(xué)生對(duì)前期的理論講解感到困惑.

    表1 展示了用“”運(yùn)算符求解不同類(lèi)別系數(shù)矩陣?yán)拥男Ч麑?duì)比.對(duì)于矩陣A(稠密),隨著矩陣階數(shù)的提升,計(jì)算時(shí)間和內(nèi)存明顯增加;對(duì)于不具有任何結(jié)構(gòu)的矩陣B(稀疏),雖然存成稀疏方式后可以明顯節(jié)省內(nèi)存,但由于矩陣階數(shù)更大,所耗費(fèi)的計(jì)算時(shí)間比例1 更多;對(duì)于矩陣C(三對(duì)角),使用“”運(yùn)算符的效果就得到了明顯的提升,可求解的矩陣階數(shù)可達(dá)到千萬(wàn)級(jí).

    表1 “”運(yùn)算符的效果對(duì)比

    結(jié)合這樣計(jì)算實(shí)例,可結(jié)合本章主要知識(shí)點(diǎn)給學(xué)生進(jìn)行說(shuō)明.和矩陣A 相比較,對(duì)矩陣B 的計(jì)算時(shí)間沒(méi)有減少,說(shuō)明“”運(yùn)算符本質(zhì)上是直接法,而對(duì)矩陣C 的計(jì)算效率明顯,說(shuō)明了“”運(yùn)算符的內(nèi)置代碼有其特殊性,進(jìn)而對(duì)SuperLU 軟件包做個(gè)簡(jiǎn)單介紹,強(qiáng)調(diào)這是在后續(xù)數(shù)值代數(shù)研究中會(huì)遇到的問(wèn)題,本科教學(xué)階段暫時(shí)不去涉及,一方面可以打消學(xué)生可能產(chǎn)生的疑惑,另一方面也為部分學(xué)生今后可能從事的相關(guān)研究培養(yǎng)興趣.

    2.2 求解線性方程組的迭代法

    求解線性方程組的迭代法,是專(zhuān)門(mén)針對(duì)大規(guī)模稀疏矩陣設(shè)計(jì)的,這部分算法迭代格式的構(gòu)造主要包括兩類(lèi)方式:一類(lèi)是基于矩陣分裂進(jìn)行的,包括經(jīng)典的Jacobi 迭代、Gauss-Seidel 迭代和SOR 迭代;另一類(lèi)是基于子空間迭代理論進(jìn)行的,比如共軛梯度法.這類(lèi)算法的特點(diǎn)是每一步迭代只涉及矩陣乘向量的運(yùn)算,不會(huì)破壞矩陣的稀疏結(jié)構(gòu),適用于大規(guī)模稀疏矩陣.對(duì)于該部分內(nèi)容的教學(xué),在講解完各算法的基本思想和流程后,上機(jī)實(shí)驗(yàn)的實(shí)例都充分利用大型稀疏矩陣,具體的實(shí)例生成可以采用隨機(jī)生成和特殊生成的方式進(jìn)行.算法的實(shí)現(xiàn)過(guò)程不但關(guān)注各類(lèi)迭代法的實(shí)現(xiàn),同時(shí)注意跟直接法進(jìn)行對(duì)比,展示算法運(yùn)行的計(jì)算時(shí)間,使學(xué)生更好地理解迭代法的優(yōu)勢(shì)所在.

    在實(shí)驗(yàn)教學(xué)中,由于MATLAB 內(nèi)置了大量的稀疏矩陣操作函數(shù),這為迭代法的算法實(shí)現(xiàn)提供了極大便利.為了便于實(shí)驗(yàn)教學(xué)的展開(kāi),在迭代法實(shí)現(xiàn)的上機(jī)實(shí)驗(yàn)之前,需設(shè)置MATLAB 稀疏矩陣相關(guān)函數(shù)的調(diào)用任務(wù),主要包括sparse、full、nzz、spy、sprand、spdiags 等.同時(shí),考慮到教學(xué)課時(shí)的限制,這些函數(shù)的學(xué)習(xí)和使用只要求學(xué)生掌握最基本的調(diào)用方式,如表2 所示.

    表2 MATLAB 稀疏矩陣常見(jiàn)函數(shù)教學(xué)要點(diǎn)

    2.3 特征值計(jì)算

    特征值計(jì)算包含兩個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題:一是求大規(guī)模稀疏矩陣的某個(gè)特征值和對(duì)應(yīng)特征向量,二是求解小型稠密矩陣的全部特征值.

    對(duì)于第一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題,涉及冪法和反冪法.根據(jù)大規(guī)模稀疏矩陣運(yùn)算的需要,冪法格式的構(gòu)造需要避免矩陣乘冪,以矩陣乘向量的迭代格式進(jìn)行,《數(shù)值分析》教材對(duì)此的講解較少,如果學(xué)生直接認(rèn)同教材最終給出的冪法迭代格式,就容易忽略?xún)绶ㄖ芯仃嚦藘绲谋举|(zhì).因此,在冪法格式構(gòu)造的課堂教學(xué)中,務(wù)必向?qū)W生演示直接做矩陣乘冪和以迭代格式進(jìn)行的區(qū)別,加深學(xué)生對(duì)“理論上等價(jià),數(shù)值上未必等價(jià)”這個(gè)課程理念的理解.

    在實(shí)驗(yàn)教學(xué)過(guò)程中,借助來(lái)源于實(shí)際應(yīng)用的超大規(guī)模稀疏矩陣,比如從University of Florida Sparse Matrix Collection (https://sparse.tamu.edu/)中獲取的Web 矩陣,緊密結(jié)合實(shí)際應(yīng)用的實(shí)驗(yàn)教學(xué)任務(wù),能更好地讓學(xué)生明確所學(xué)知識(shí)的應(yīng)用價(jià)值.對(duì)于反冪法的教學(xué),由于該算法的本質(zhì)是對(duì)矩陣的逆應(yīng)用冪法,因此迭代格式的引入是簡(jiǎn)單并且自然的.到了反冪法的算法實(shí)現(xiàn)環(huán)節(jié),明顯出現(xiàn)了矩陣求逆運(yùn)算,此處正好符合針對(duì)稀疏矩陣應(yīng)盡量避免矩陣求逆的準(zhǔn)則應(yīng)用,所以在反冪法的最終格式構(gòu)造上,也是稀疏矩陣?yán)碚撘氲囊粋€(gè)切入點(diǎn).

    對(duì)于第二個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題,涉及的主要算法是QR 方法,算法細(xì)節(jié)包括利用Householder 變換對(duì)矩陣進(jìn)行QR 分解以及把矩陣通過(guò)正交相似變換化為Hessenberg 矩陣.由于教材上對(duì)QR 方法的介紹明確指出該方法只適用于小型稠密矩陣,容易讓學(xué)生認(rèn)為上述相關(guān)理論都不適用于大規(guī)模稀疏矩陣.由于細(xì)節(jié)操作中的Householder 變換是可以通過(guò)數(shù)學(xué)公式變形避免矩陣乘矩陣的運(yùn)算,因此在QR 方法準(zhǔn)備知識(shí)的講解中,要給學(xué)生做大規(guī)模稀疏矩陣的課堂實(shí)驗(yàn)演示,讓學(xué)生掌握這個(gè)經(jīng)典正交變換算法的優(yōu)勢(shì).例如,設(shè)H =I-2wwT是初等反射陣,在進(jìn)行Householder 變換時(shí),算法過(guò)程的基本操作是矩陣向量乘,即Hx.這種簡(jiǎn)單的表達(dá)式很容易讓學(xué)生在進(jìn)行算法實(shí)現(xiàn)時(shí)把MATLAB 代碼寫(xiě)成:

    上述代碼對(duì)于小規(guī)模矩陣并沒(méi)有很明顯的缺陷,但一旦涉及大規(guī)模矩陣的情形,w*w’的操作顯然形成了大規(guī)模的稠密矩陣,會(huì)造成內(nèi)存溢出.因此,需要根據(jù)稀疏矩陣的運(yùn)算規(guī)則,修改代碼來(lái)避免存儲(chǔ)初等反射陣,即:

    顯然,新的代碼避免了大規(guī)模稠密矩陣的生成.

    另一方面,對(duì)于最終的QR 方法迭代格式,由于其中的步驟涉及了把矩陣進(jìn)行QR 分解后再反轉(zhuǎn)相乘的操作,導(dǎo)致了該算法不適用于大規(guī)模稀疏矩陣,這是需要對(duì)學(xué)生強(qiáng)調(diào)的要點(diǎn).除了課程知識(shí)的講解,還可以結(jié)合實(shí)際應(yīng)用給學(xué)生做簡(jiǎn)單的介紹,對(duì)于大規(guī)模稀疏矩陣,一般在應(yīng)用中也不需要去求解全部特征值,從應(yīng)用的角度幫助學(xué)生肯定QR 方法的價(jià)值.

    3 小結(jié)

    基于“數(shù)值分析”的課程標(biāo)準(zhǔn),在不影響課程本身教學(xué)目標(biāo)的基礎(chǔ)上,給出了稀疏矩陣?yán)碚撛陉P(guān)聯(lián)知識(shí)中的教學(xué)策略.所提出的教學(xué)策略可以總結(jié)為:以鞏固算法理論為基礎(chǔ)、以應(yīng)用為導(dǎo)向和以實(shí)驗(yàn)教學(xué)為輔助.該教學(xué)策略可以推廣到其他應(yīng)用型數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)課的教學(xué)中.

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