基于問題式學(xué)習(xí)的《數(shù)值分析》微課設(shè)計

摘要：針對我國高?！稊?shù)值分析》課程特點及教學(xué)現(xiàn)狀，將基于問題式學(xué)習(xí)模式應(yīng)用于《數(shù)值分析》課程教學(xué)有助于提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣和教學(xué)質(zhì)量。本文針對基于問題式學(xué)習(xí)的《數(shù)值分析》微課設(shè)計方案進行了初步探討。

關(guān)鍵詞：基于問題式學(xué)習(xí)；數(shù)值分析；微課

中圖分類號：G642.0 文獻標(biāo)志碼：A 文章編號：1674-9324（2016）46-0176-02

一、《數(shù)值分析》課程特點及教學(xué)現(xiàn)狀[1]

《數(shù)值分析》課程是大、中專院校理、工、農(nóng)、醫(yī)等學(xué)科重要的專業(yè)基礎(chǔ)課程，主要研究運用計算機解決實際問題的方法。主要包含的章節(jié)有：緒論、插值法、數(shù)值逼近、數(shù)值積分與數(shù)值微分、非線性方程求根、線性方程組的直接解法、線性方程組的迭代解法、矩陣特征值的計算、常微分方程初值問題數(shù)值解法。學(xué)好本門課程即要求學(xué)生有較好的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，能夠構(gòu)造數(shù)值方法，并對它進行理論分析和評價，又要求學(xué)生能夠熟練運用計算機編寫程序、數(shù)值計算，最終得到近似解。通過本課程的學(xué)習(xí)，要求學(xué)生獨立思考、綜合分析、動手能力和解決問題的能力得到提高。

應(yīng)用性強是該課程的主要特點。課程每個章節(jié)的內(nèi)容分別是針對不同的具體問題設(shè)計的，有很強的應(yīng)用背景。例如：已知物體運動的速度和加速度函數(shù)，如何得到路程函數(shù)；或已知物體運動軌跡，如何得到某點處的切線方程；如何求解一元高次方程的解；如何得到含有多個未知數(shù)線性方程組的近似解等。針對同一類數(shù)學(xué)問題，課程要求掌握多種數(shù)值求解方法，方法應(yīng)用上有較強的靈活性。理論分析與動手能力并重是本門課程的另一特點。針對一個具體問題，求解的基本步驟是：首先針對具體的數(shù)學(xué)問題設(shè)計相應(yīng)的數(shù)值方法，理論分析該方法的精度、穩(wěn)定性、收斂性等；其次，設(shè)計出該方法對應(yīng)的計算機算法，編寫、調(diào)試程序；最后，將得到的數(shù)據(jù)進行分析，結(jié)合理論分析結(jié)果，對該方法做出正確評價。

理論知識與具體問題脫節(jié)是目前《數(shù)值分析》課程教學(xué)中存在的主要問題。大部分學(xué)?！稊?shù)值分析》教學(xué)仍以傳統(tǒng)教師講授為主，多在普通的沒有多媒體設(shè)備的教室進行。對新方法、新理論很少通過直觀的方法進行引入，如圖片、視頻等；教學(xué)過程中更多地注重計算公式的推導(dǎo)，精度分析，收斂性、穩(wěn)定性的證明，忽視了對應(yīng)用背景的合理引入，以及對具體問題的求解過程及數(shù)值實驗結(jié)果的正確分析。

課程結(jié)束后的預(yù)期效果是：要求學(xué)生在處理具體問題時，首先根據(jù)給定的條件對問題進行分析，找到最適合的數(shù)值方法，對數(shù)值方法進行恰當(dāng)?shù)睦碚摲治雠c證明，然后開展數(shù)值實驗，對數(shù)值實驗數(shù)據(jù)進行正確分析，最終得出結(jié)果。而目前傳統(tǒng)教學(xué)方法卻達不到預(yù)期效果。課程結(jié)束后，針對個人不同學(xué)習(xí)情況，許多學(xué)生只是片面地掌握了部分?jǐn)?shù)值方法和技術(shù)，如有的學(xué)生偏重理論證明，有的學(xué)會應(yīng)用公式計算，有的掌握了一些編程技術(shù)等，很少學(xué)生能夠完成一個具體問題的完整求解過程，達不到提高學(xué)生獨立思考、綜合分析、解決具體問題的能力的教學(xué)目的。

二、基于問題式學(xué)習(xí)[2]

基于問題式學(xué)習(xí)主要是通過引導(dǎo)學(xué)生合作解決教師設(shè)計的實際問題，在解決問題的過程中學(xué)習(xí)問題背后的科學(xué)知識，達到培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)、團體合作以及解決問題能力的目的。基于問題式學(xué)習(xí)強調(diào)以解決具體問題為中心，注重學(xué)生團體間的交流與合作，教師在其中的作用是對學(xué)生進行引導(dǎo)和外部支持。

通過上文對《數(shù)值分析》課程特點的分析，該課程每個章節(jié)對應(yīng)一類具體問題，每一類問題中根據(jù)不同的條件又有不同方法求解，且解決一個具體問題時需要進行初始數(shù)據(jù)調(diào)研、理論分析、數(shù)值實驗、數(shù)據(jù)分析這四個基本步驟，適合團體協(xié)作完成。

比對《數(shù)值分析》課程及基于問題式學(xué)習(xí)模式的特點，我們發(fā)現(xiàn)，基于問題式學(xué)習(xí)模式非常適合使用在《數(shù)值分析》課程的教學(xué)中。鑒于此，本文以第二章插值法為例，對將問題式學(xué)習(xí)模式應(yīng)用于《數(shù)值分析》課程教學(xué)進行了初步探索。[3-4]

三、基于問題式學(xué)習(xí)的《數(shù)值分析》微課方案設(shè)計

微課是教師錄制成的針對某個知識點短小而相對較完整可直接播放的教學(xué)活動視頻，其主要特點是“短小精悍”。在“微課”設(shè)計、制作過程中，教師要緊緊圍繞學(xué)科的某個知識點，比如：重點、難點等，依照教學(xué)目標(biāo)，利用多媒體及其他直觀教學(xué)工具，精心設(shè)計課程、制作視頻，從而達到與傳統(tǒng)長時間教學(xué)同樣甚至更好的教學(xué)效果。作為一種新型的教學(xué)資源，微課是傳統(tǒng)課堂的有益補充和資源拓展，便于學(xué)習(xí)者隨時隨地地進行線上或線下學(xué)習(xí)。將微課與傳統(tǒng)教學(xué)相結(jié)合的新型教學(xué)模式有利于提高教學(xué)質(zhì)量。

下面就以《數(shù)值分析》課程第二章插值法為例，初步探討基于問題式學(xué)習(xí)的微課設(shè)計方案。

插值法研究的是這樣一類問題，通過觀測、測量得到曲線上的一些離散點坐標(biāo)，通過插值法得到曲線方程的近似函數(shù)和未知點近似坐標(biāo)值。插值法的應(yīng)用在日常生活中較常見，如空投救援物資時，根據(jù)物資運動軌跡，預(yù)測物資落地點；計算不規(guī)則形狀湖泊面積；通過觀測得到的流星出現(xiàn)位置，判斷流星與其他物體相撞的可能性。[5-6]

基于問題式學(xué)習(xí)的微課設(shè)計方案：

1.分組。首先教師向?qū)W生解釋完成任務(wù)的四個基本步驟：初始數(shù)據(jù)調(diào)研、理論分析、數(shù)值實驗、數(shù)據(jù)分析。以30個學(xué)生的教學(xué)班為例，每5人分為一組，共6組，要求學(xué)生根據(jù)任務(wù)步驟及學(xué)生的特點進行自由組合，在教師協(xié)助下完成分組。

2.布置與分配任務(wù)。由教師設(shè)計6個具體任務(wù)，任務(wù)設(shè)置難易適當(dāng)，各個任務(wù)要求各有特點，解決這些問題應(yīng)盡量用到課程所介紹的各種不同方法。并由各小組抽簽分配任務(wù)。

插值法任務(wù)：（1）已知鉛球運動軌跡圖，預(yù)測鉛球落地點；（2）已知足球射門視頻片段，預(yù)測是否命中；（3）空投救援物資時，根據(jù)物資運動軌跡圖，預(yù)測物資落地點；（4）已知形狀不規(guī)則湖泊圖片，計算湖泊邊界曲線方程；（5）已知沙漠綠州圖片，計算綠州邊界曲線方程；（6）根據(jù)流星出現(xiàn)位置圖片，判斷流星與地球相撞的可能性。

3.制定、公布任務(wù)評價細(xì)則。在完成要求的四個基本步驟后，根據(jù)完成情況分成以下四個等級：不能完成、基本完成（一次性輸入3個固定點作插值）、較好完成（一次性輸入3個以上固定點作插值）、優(yōu)秀（可自由選擇和增加插值點個數(shù)）。

4.教師制作微課視頻，供學(xué)生自由在線或下載學(xué)習(xí)，視頻時長不超過二十分鐘。每節(jié)微課介紹一種插值方法，分別為：插值法基本原理、拉格朗日插值、牛頓插值、埃爾米特插值、分段低次插值。

5.活動匯報及答辯：學(xué)生利用PPT匯報小組解決具體問題過程及結(jié)論展示，并針對教師、其他組學(xué)生的提問進行答辯。

6.總結(jié)評價與查漏補缺：由教師完成總結(jié)與評價，并對學(xué)生掌握不好的問題，章節(jié)中沒有用到的方法和內(nèi)容進行講解和分析。

在以上六個任務(wù)中，首先要求學(xué)生將任務(wù)圖片或視頻定位在直角坐標(biāo)系下，測量出若干離散點坐標(biāo)，在測量的過程中，可采用等距測量的方法，也可采用不等距的方法，不同的測量方法所使用的插值法不同；第二步，要求學(xué)生學(xué)習(xí)微課內(nèi)容，選擇最適合的插值方法，如已知等距節(jié)點坐標(biāo)可選擇牛頓插值法；已知不等距節(jié)點坐標(biāo)可選擇拉格朗日插值法；已知不等距節(jié)點坐標(biāo)值及節(jié)點處的一階導(dǎo)數(shù)值（節(jié)點切線斜率）可選擇埃爾米特插值法；節(jié)點個數(shù)固定可選擇牛頓插值、分段低次插值、拉格朗日插值、埃爾米特插值法；能夠隨時增加節(jié)點可選擇牛頓插值法；節(jié)點個數(shù)超過8個選擇分段低次插值法。其中，各種插值方法的特點及構(gòu)造原理、使用方法等均可在微課中學(xué)習(xí)到，學(xué)生選擇的方法越靈活，精度越好，則得到的分值越高。第三步，編寫、調(diào)試程序。要求程序首先能完成所要求的基本任務(wù)，其次程序要與用戶有較好的交互性、可讀性；第四步，分析實驗數(shù)據(jù)，并與理論分析結(jié)果進行比較。通過理論分析，得到該插值方法的估計誤差；將數(shù)值實驗結(jié)果與實際問題結(jié)果比較，得到實驗誤差，將實驗誤差與理論估計誤差進行比較，從而驗證理論分析結(jié)果。

基于問題式學(xué)習(xí)的《數(shù)值分析》微課設(shè)計方案，通過組織學(xué)生合作解決教師設(shè)計的實際問題，在解決問題的過程中利用教師錄制的微課進行靈活、自主學(xué)習(xí)，從而達到培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)、團體合作、動力能力以及解決實際問題等綜合能力的目的。

參考文獻：

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