對2019年北京理科導(dǎo)數(shù)題的一種解法探究與推廣

湖北省恩施州教育科學(xué)研究院

高考題的設(shè)問和解法往往具有基礎(chǔ)性，思維的啟迪性!因此研究高考題肯定避免不了研究其解法，把高考題作為例題進(jìn)行選講，要充分發(fā)揮它解法的基礎(chǔ)性、示范性、典型性[1].因此復(fù)習(xí)備考中很有必要提煉高考題中解法的典型性和通性，甚至有時候一道試題的命制就是基于這種解法的通性.

一、問題的提出與思考

例1(2019年高考北京卷理科第19題)已知f(x)=

(1)求曲線y=f(x)的斜率為1的切線方程；

(2)當(dāng)x ∈[-2,4]時，求證：x-6≤f(x)≤x；

(3)設(shè)F(x)=|f(x)-(x+a)|(a ∈R)，記F(x)在區(qū)間[-2,4]上的最大值為M(a)，當(dāng)M(a)最小時，求a的值.

解(1)由題意得解得因為所以對應(yīng)的切點分別為(0,0)或所以切線方程為y=x或

(2)設(shè)g(x)=f(x)-x，則所以g(x)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.因為g(-2)=-6,g(0)= 0,所以當(dāng)x ∈[-2,4]時，-6≤g(x)≤0，即x-6≤f(x)≤x.

(3)由(2)知x-6≤f(x)≤x，又F(x)=|f(x)-(x+a)|≤M(a)恒成立，所以有x+a-M(a)≤f(x)≤x+a+M(a)，所以所以M(a)≥3，當(dāng)取最小值時可得a=-3.

從例1的解答來看，步步為營，思維和設(shè)問十分具有層次性.那么：

問題1為什么例1 第(1)問要求y=f(x)的斜率為1的切線方程?

問題2為什么例1 第(2)問要選取區(qū)間[-2,4]?

問題3第(3)問中若令h(x)=x+a，h(x)的斜率也是1，是巧合嗎?

問題4若h(x)=kx+a，此時F(x)=|f(x)-(kx+a)|(k,a ∈R)在區(qū)間[-2,4]上的最大值的最小值又當(dāng)如何?

圖1

對于前面兩個問題不難回答，我們只要利用數(shù)形結(jié)合思想，畫出函數(shù)圖像就能很快得到答案，如圖1，y=f(x)在x ∈[-2,4]時圖像恰好被y=x-6與y=x兩條斜率為1的平行線“夾逼”.不難看出，這兩條“夾逼”平行線的位置主要是由圖像上三個關(guān)鍵點(兩端點和切點)確定! 因此第(1)問就是為后面第(2)問作鋪墊!至于此題中區(qū)間[-2,4]選取最關(guān)鍵的還是右端點，因為點A坐標(biāo)為(4，8)，AO恰好是曲線的一條切線!而區(qū)間左端點卻是可以變化的，只是會影響第(3)問的結(jié)果.問題3中第(3)問中h(x)的斜率也是1，這其實是命題者設(shè)置的“巧合”，因為若h(x)=kx+a，此時F(x)=|f(x)-(kx+a)|(k,a ∈R)在區(qū)間[-2,4]上的最大值取最小時恰好k=1.下面我們主要探討問題4中這種最大值的最小值情形!

二、含雙參數(shù)時最大值取最小問題的解法

設(shè)F(x)=|f(x)-(kx+a)|(k,a ∈R)，記F(x)在區(qū)間[m,n]上的最大值為M(k,a)，此時M(k,a)含有雙參數(shù)，那么M(k,a)最小值如何取得呢?事實上，這類問題的解答完全可以根據(jù)例1 高考題的設(shè)問層次與思維方式，找出三個關(guān)鍵點，利用平行線“夾逼”的方式解決.因為基于函數(shù)視角，若定義為函數(shù)y=f(x)與函數(shù)y=kx+m在區(qū)間[m,n]上的偏差，那么偏差的幾何意義就是兩函數(shù)圖像上縱坐標(biāo)之差絕對值的最大值.用兩平行線“夾逼”函數(shù)y=f(x)圖像會使得偏差最小.

例2已知函數(shù)f(x)=x3+ax+b定義域為[-1,2]，記|f(x)|的最大值為M，則M的最小值為

A.4 B.3 C.2 D.1

解析由題意，|f(x)| =|x3-(-ax-b)|≤M在區(qū)間[-1,2]恒成立.令g(x)=x3，先找出g(x)圖像上的三個關(guān)鍵點.畫出g(x)圖像(如圖2)，A(2,8),B(-1,-1)，連接AB兩點，可求出直線AB的斜率kAB=3，直線AB的方程為y=3x+2，與AB平行直線l與g(x)圖像相切于點C，則令g′(x)= 3x2=3，可解得x=±1.所以C(1,1)，直線l的方程為y=3x-2，所以3x-2≤x3≤3x+2.又由于-ax-b-M≤x3≤-ax-b+M，所以當(dāng)a=-3,b=0時Mmin=2，答案選C.

圖2

圖3

圖4

變式已知函數(shù)f(x)=x3+ax+b定義域為[-1,1]，記|f(x)|的最大值為M，則M的最小值為___.

解析此時只有定義域的范圍發(fā)生了變化，在找關(guān)鍵點構(gòu)造平行線“夾逼”時不能再繼續(xù)選取AB連線，這時要先求過點A(或B)作g(x)=x3圖像的切線，如圖3，設(shè)切點為(t,t3)(t1)，那么解得或t=1(舍去)，所以那么直線AC的方程為由對稱性可得過點的切線BD與AC平行，兩平行線“夾逼”g(x)=x3圖像，所以又由于-ax-b-M≤x3≤-ax-b+M，所以當(dāng)時

例1′(例1的變式)已知設(shè)F(x)=|f(x)-(kx+a)|(k,a ∈R)在區(qū)間[-2,4]上的最大值為M(k,a)，求M(k,a)的最小值.

解析如圖1，x-6≤f(x)≤x，又kx+a-M(k,a)≤f(x)≤kx+a+M(k,a)，所以 當(dāng)k=1,a=-3時M(k,a)min=3.這就體現(xiàn)了前文說到的例1“第(3)問中h(x)的斜率也是1”是命題者設(shè)置的“巧合”.

例3已知函數(shù)令g(x)=|f(x)-ax-b|(a,b ∈R)，設(shè)g(x)的最大值為M(a,b)，求M(a,b)的最小值.

解析f(x)的圖像如圖4，點為f(x)圖像兩端點，直線AB的方程為與AB平行且與f(x)圖像相切的直線必過最低點C(1,2)，方程為y=2，所以又由于ax+b-M(a,b)≤f(x)≤ax+b+M(a,b)，所以當(dāng)a=0,時

三、解法推廣

類似以上題型還有很多，都可采取這種通過關(guān)鍵的三點(端點、切點)的兩條平行線“夾逼”來解決.若設(shè)這兩組平行線為h1(x)=k0x+b1,h2(x)=k0x+b2，且滿足關(guān)系式h1(x)≤f(x)≤h2(x)，記不難發(fā)現(xiàn)，例1中有h1(x)=x-6,h2(x)=x，Mmin=例2中有h1(x)= 3x-2，h2(x)= 3x+2，等等，因此可以作以下總結(jié)：

結(jié)論已知連續(xù)函數(shù)y=f(x),x ∈[m,n]，若經(jīng)過其圖像上三點的兩條平行直線h1(x)=k0x+b1,h2(x)=k0x+b2滿足關(guān)系式h1(x)≤f(x)≤h2(x)，記則當(dāng)且僅當(dāng)時取最小.

證明設(shè)f(x)圖像上滿足條件的三個點的坐標(biāo)為A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)，且m≤x1＜x2＜x3≤n，不妨設(shè)h1(x)經(jīng)過A,C兩點，h2(x)經(jīng)過B點，那么

所以

令α+β+γ=0,αx1+βx2+γx3=0,γ=-1，則那么α(k0x1+b1)+β(k0x2+從而即當(dāng)且僅當(dāng)k0x1+b1-kx1-a=k0x3+b1-kx3-a=-(k0x2+b2-kx2-a)時取“=”號，即k=k0并且時，

事實上，這類解法都是建立在切比雪夫逼近理論的基礎(chǔ)上，由篇幅及高中教學(xué)要求所限，不再描述相關(guān)理論，有興趣的讀者可從文[2]中基于高觀點的視角來透視這類題型的解法.