幾何證明中的一點(diǎn)策略
——“點(diǎn)的生成”

重慶市萬州高級中學(xué)

例1如圖,在ΔABC中,AB=AC,∠BAC=90°,AH⊥BC于點(diǎn)H,過點(diǎn)C作CD⊥AC,連接AD,點(diǎn)M為AC上一點(diǎn),且AM=CD,連接BM交AH于點(diǎn)N,交AD于點(diǎn)E.

(1)若AB=3,AD=求ΔBMC的面積;

(2)點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)時(shí),求證:AD=

解(1)“點(diǎn)的生成”作用一:簡化圖形

幾何證明往往是兩問,第一問是借助解三角形的知識(shí)求線段的長度或圖形的面積,第二問才是幾何證明,但是整個(gè)題目中可能只有一個(gè)圖形,這個(gè)圖形就承載著兩個(gè)問題的點(diǎn)和線.那么,也就是說如果我們單獨(dú)解決某一個(gè)問題時(shí)可能并不需要某些點(diǎn)和線,我們可以將它們?nèi)サ粢院喕瘓D形,減少題目的難度.

在這一問中,我們只需要保證條件中涉及的線段AB,AD和問題中涉及的ΔBMC的生成就可以了,所以可以去掉點(diǎn)N,H,E.將問題簡化為:在ΔABC中,AB=AC,∠BAC=90°,點(diǎn)M為AC上一點(diǎn),過點(diǎn)C作CD⊥AC,且CD=AM.當(dāng)AB=3,AD=時(shí),求ΔBMC的面積,簡化后的圖形如下:

解∵AB=3∴AC=3,且AM=1∴CM=AC-AM=2,∴SΔBMC=

(2)“點(diǎn)的生成”作用二:抓出題目中的隱含條件

在這一問中,我們增加了一個(gè)點(diǎn)E為中點(diǎn)的常見條件,但蘊(yùn)含了一個(gè)大條件,我們來看看:點(diǎn)M看似是一個(gè)動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)M決定了點(diǎn)D的位置,從而決定了線段AD,最終決定了點(diǎn)E;還有直線BM與定直線決定了點(diǎn)N,可見M決定了后面所有點(diǎn)的位置,是一個(gè)母動(dòng)點(diǎn).我們再來看,點(diǎn)M決定了點(diǎn)E的位置,現(xiàn)在點(diǎn)E是AD的中點(diǎn),那么點(diǎn)M是否也在一個(gè)特殊位置呢?同學(xué)們大膽猜測M是AC的中點(diǎn)或∠ABC的角平分線與AC的交點(diǎn),最后同學(xué)們達(dá)成一致意見:應(yīng)該是角平分線的交點(diǎn).

在BM是角平分線的猜想下,中點(diǎn)E也在BM上,讓人想到什么?對:等腰三角形三線合一.所以我們構(gòu)造輔助線:連接CE并延長交BA于點(diǎn)F.

證明∵AB⊥AC,CD⊥AC∴AB//CD,且點(diǎn)E為AD中點(diǎn),∴∴EF=CE,又∵在RTΔABM和R TΔACD中,AB=AC,∠BAM=∠ACD=90°,AM=CD,∴ΔABM∽= ΔDAC(SAS)∴∠DAC=∠ABM=α.

在RTΔACD中,E是中點(diǎn),∴AE=CE,∴∠ECA=∠DAC=α.故在ΔABM和ΔMEC中,∠ABM=∠ECM=α,∠AMB=∠EMC,∴∠MEC=∠BAM=90°∴BE⊥CF,且點(diǎn)E是中點(diǎn),∴ΔFBE∽= ΔCBE(SAS),∴∠EBC=∠EBF=α=22.5°

看來我們的猜想是正確的,由這個(gè)猜想構(gòu)造的輔助線也確實(shí)得到了一些東西,下面我們來證明看到我們需要去構(gòu)造等腰直角三角形了,而等腰直角三角形可能需要90°或者45°的角,那么在AD和BN的周圍有沒有呢?沒有,但是在AN的周圍有22.5°,22.5°×2=45°.所以思路就有了:連接CN.

證明∵AB=AC,AH⊥BC∴H為BC的中點(diǎn),AH為BC的中垂線,∴BN=NC,∠NCB=∠NBC=22.5°∴∠ENC=45°,ΔNEC為等腰直角三角形,故

練習(xí)如圖,在菱形ABCD中,AC是對角線,CD=CE,連接DE

(1)若AC=16,CD=10,求DE的長.

(2)G是BC上一點(diǎn),若GC=GF=CH且GH⊥GF,垂足為P,求證

解(1)由“點(diǎn)的生成”,我們可以去掉后于點(diǎn)E生成的點(diǎn),即去掉點(diǎn)G,P,H,然后簡化圖形如下:

輔助線:過點(diǎn)D作DM⊥AC交AC于點(diǎn)M.

∵AD=AC,DM⊥AC∴CM=AM=8又∵CE=CD=10∴EM=2,在RTΔDCM中,CD=10,MC=8∴DM=6.在RTΔDEM中,

(2)首先根據(jù)第二問的條件和要證的結(jié)論,我們可以將一些無關(guān)的點(diǎn)和線去掉,例如:點(diǎn)E和線段AC和DE.

其次我們再來看下點(diǎn)的生成,我把它改造成:點(diǎn)G是BC上一點(diǎn),在CD上取一點(diǎn)F使得FG=CG,過點(diǎn)C作FG的垂線交FG于點(diǎn)P,交DG于點(diǎn)H,也就是說點(diǎn)G是母動(dòng)點(diǎn),它確定了也就確定了點(diǎn)F,P,H.但是我們發(fā)現(xiàn)H還有個(gè)條件CH=CG或CH=FG,而H又是點(diǎn)G確定的,因此我們大膽猜測點(diǎn)G可能是個(gè)定點(diǎn).那么點(diǎn)G在BC邊上的什么位置呢?好像不好猜,我們來看看ΔDCG就可以了(因?yàn)槠渌狞c(diǎn)都后于點(diǎn)G生成),再結(jié)合我們要證的結(jié)論,我們大膽猜測:∠CDG為45°.證明如下:

證明設(shè)∠D=α,∠CFG=β,則∠DGF=β-α∵FG=CG,∠CFG=β∴∠CGF=180°- 2β,∴∠HGC=(180°-2β)+(β-α)=180°-α-β.又∵CH=CG∴∠CHG=∠HGC=180°-α-β∴在RTΔAPH中,(180°-α-β)+(β-α)=90°∴α=45°.

可見我們的分析和猜測是完全合理和正確的.在有了這個(gè)結(jié)論的前提下再來證明我們的結(jié)論就好辦了.為了產(chǎn)生我們需要在DH或CF的周圍產(chǎn)生等腰直角三角形,而∠D=45°的結(jié)論則為我們完全打開了思路.證明如下:

輔助線:過點(diǎn)H作SH⊥CD,過點(diǎn)G作GT⊥CD

∵∠D=45°∴ΔDSH為等腰直角三角形,DH=又∵FG=CG,TG⊥CF,∴TC=TF∴FT=在ΔPQG和ΔCTQ中,∠GPQ=∠CTQ=90°,∠PQG=∠CQT,∴∠1=∠2.

故在:ΔGTF和ΔCSH中,∠1=∠2,∠GTF=∠CSH=90°,FG=CH,∴ΔGTF∽= ΔCSH(AAS)∴FT=SH

∴DH=

例2(2016·重慶中考B卷25題)已知ΔABC是等腰直角三角形,∠BAC=90°,CD=BC,DE⊥CE,DE=CE,連接AE,點(diǎn)M是AE的中點(diǎn).

(1)如圖1,若點(diǎn)D在BC邊上,連接CM,當(dāng)AB=4時(shí),求CM的長;

(2)如圖2,若點(diǎn)D在ΔABC的內(nèi)部,連接BD,點(diǎn)N是BD中點(diǎn),連接MN,NE,求證:MN⊥AE;

(3)如圖3,將圖2中的ΔCDE繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),使∠BCD=30°,連接BD,點(diǎn)N是BD中點(diǎn),連接MN,探索的值并直接寫出結(jié)果.

解(1)略(3)略

(2)分析:已知M是AE的中點(diǎn),且要證NM⊥AE,讓我們想到了等腰三角形三線合一,因此可以考慮連接AN.又因?yàn)镹是BD中點(diǎn),可以考慮中點(diǎn)的常見輔助線:倍長中線法,過點(diǎn)B作DE的平行線交EN的延長線于點(diǎn)F.這時(shí)我們發(fā)現(xiàn),要證AN=NE,就相當(dāng)于要證AN=NE=FN,讓我們想到直角ΔAFE,而且好像還是一個(gè)等腰直角三角形,所以我們現(xiàn)在就先來證明ΔAFE是等腰直角三角形.

證明∵DE//FB∴ΔDNE∽ΔBNF.FB=DE,且DE=EC.∴FB=CE,又∵AB=AC···.

大家想證明ΔAEC和ΔAFB全等,但是遇到了要證明夾角∠ACE和∠ABF相等,這成為了一個(gè)很大的難點(diǎn).當(dāng)年某些權(quán)威機(jī)構(gòu)給出的證明過程用的是角度的計(jì)算和轉(zhuǎn)化,經(jīng)歷了一個(gè)漫長的過程才證到而且不易想到,那么有沒有更好更簡單更容易想到的方法呢?這又讓我想到了“點(diǎn)的生成”.

“點(diǎn)的生成”作用三:解決證明過程中的艱難問題

我們來看看這兩個(gè)角,其中∠ACE是先于∠ABF而存在的,也就是說我們在添加輔助線時(shí)無意構(gòu)造了一個(gè)和∠ACE相等的角∠ABF,那么它們?yōu)槭裁磿?huì)相等呢,怎么證明呢?我再次根據(jù)點(diǎn)的生成過程將圖形進(jìn)行簡化如下:

由于∠ABF后生成,那么它又是怎樣生成的呢?原來是因?yàn)槲覀冞^點(diǎn)B作了DE的平行線而得到了射線BF,從而確定了∠ABF.這樣一分析,BF//DE這個(gè)條件就非常重要了!而平行本身就是轉(zhuǎn)化和證明角相等的重要手段和條件,但是前提是要被第三條直線所截.由于直線BC截BF和DE得到的角度不夠理想,也和我們要證得角度∠ACE和∠ABF關(guān)系不大,因此我們可以重新構(gòu)造截線:延長ED交AB于點(diǎn)Q.

證明在四邊形ACEQ中,∠A=∠E=90°.∴∠3+∠4=180°且∠3+∠2=180°,∴∠2=∠4.又∵FB//DE∴∠2=∠1∴∠1=∠4.

本題的后續(xù)證明過程讀者可以自己去體會(huì)一下,這里就不在贅述.

解題啟示通過上面三個(gè)題目,我們見識(shí)了“點(diǎn)的生成”的力量:當(dāng)圖形很復(fù)雜的時(shí)候我們可以考慮用“點(diǎn)的生成”,簡化圖形;當(dāng)輔助線添對了,但是在證明過程中遇到難點(diǎn)時(shí),我們可以考慮用“點(diǎn)的生成”突破它;當(dāng)我們甚至沒有思路,添不出理想的輔助線時(shí),也可以考慮用“點(diǎn)的生成”,看是否又隱含條件沒有分析出來.總之,“點(diǎn)的生成”在幾何證明中有它獨(dú)特的作用,讀者可以在更多的額幾何證明中繼續(xù)去慢慢體會(huì).