四點共圓在中考壓軸題中的應(yīng)用
——以廣東省近五年的中考題為例

廣東省珠海市文園中學

四點共圓在中考的直接考察意圖不明顯,但通過四點共圓將各類問題轉(zhuǎn)化為圓的常見問題,再用圓的基本性質(zhì)將問題解決,達到事半功倍的效果,有助于學生形成新的數(shù)學模型.本文通過反證法證明四點共圓的兩個判定定理,并將它們應(yīng)用在近五年廣東中考題中,再將常規(guī)方法和四點共圓的方法進行對比,總結(jié)出四點共圓的優(yōu)點,培養(yǎng)學生的綜合解題能力和嚴謹?shù)膶W習態(tài)度.

1 四點共圓的兩個判定方法

定理1四邊形的一組對角互補,那么這個四邊形的四個頂點共圓.

將定理1 轉(zhuǎn)化為符號語言和圖形語言.

如題圖1,在四邊形ABCD中,∠B+∠ADC=180°.

求證:點A,B,C,D四點共圓.

證明:(反證法)因為不在同一直線的三個點確定一個圓,所以設(shè)過點A,B,C三點的圓為⊙O,假設(shè)D不在⊙O上,所以D就在⊙O外部或內(nèi)部.

題圖1

圖1

(1)當點D在⊙O外部,如圖1,設(shè)CD與⊙O交于點E,連接AE,

∴四邊形ABCE是⊙O的內(nèi)接四邊形,

∴∠B+∠AEC=180°,

∵∠B+∠D=180°,

∴∠D=∠AEC,

∵三角形的外角大于任意一個和他不相鄰的內(nèi)角,

∴∠AEC＞∠D,與∠D=∠AEC矛盾,假設(shè)不成立,

∴點D在⊙O上.

(2)當點D在⊙O內(nèi)部,如圖2,延長CD交⊙O于點F,連接AF,

∴四邊形ABCF是⊙O的內(nèi)接四邊形,

∴∠B+∠AFC=180°,

∵∠B+∠ADC=180°,

∴∠ADC=∠AFC,

∵三角形的外角大于任意一個和他不相鄰的內(nèi)角,

∴∠ADC＞∠AFC,這與∠ADC=∠AFC矛盾,假設(shè)不成立,

∴點D在⊙O上.綜合(1)和(2)得點A,B,C,D共圓.

圖2

題圖2

定理2若兩個點在一條線段所在直線的的兩旁,并且和這條線段的兩個端點連線所夾的角相等,那么這兩個點和這條線段的兩個端點共圓.

將定理2 轉(zhuǎn)化為符號語言和圖形語言.

如題圖2,點A和點D在直線BC的兩旁,連接AB、AC、DB、DC和AD,∠BAC=∠BDC(從圖形上看也可以看成是在四邊形ABCD中,AC和BD是對角線,∠BAC=∠BDC).

求證:點A,B,C,D四點共圓.

證明:(反證法)因為不在同一直線上的三個點確定一個圓,設(shè)過點A,B,C的圓為⊙O,假設(shè)D不在⊙O上,所以D就在⊙O外部或內(nèi)部.

圖3

圖4

(1)當點D在⊙O外部,如圖3,設(shè)BD與⊙O交于點E,連接CE,在同圓中,同弧所對的圓周角相等,

∴∠BAC=∠BEC,

∵∠BAC=∠BDC,

∴∠BEC=∠BDC,

∵三角形的外角大于任意一個和他不相鄰的內(nèi)角,

∴∠BEC＞∠BDC,這與∠BEC=∠BDC矛盾,假設(shè)不成立,

∴點D在⊙O上.

(2)當點D在⊙O內(nèi)部,如圖4,延長BD交⊙O于點F,連接CF,

∵在同圓中,同弧所對的圓周角相等,

∴∠BAC=∠BFC,

∵∠BAC=∠BDC,

∴∠BFC=∠BDC,

∵三角形的外角大于任意一個和他不相鄰的內(nèi)角,

∴∠BDC＞∠BFC,這與∠BFC=∠BDC矛盾,假設(shè)不成立,

∴點D在⊙O上.綜合(1)和(2)得點A,B,C,D四點共圓.

2 四點共圓在近五年廣東中考壓軸題中的應(yīng)用

以上兩個定理在各省市的中考題中應(yīng)用廣泛,接下來我將以廣東省近五年的中考壓軸題為例.

2015年廣東省中考題第24題⊙O是ΔABC的外接圓,AB是直徑,過弧BC的中點P作⊙O的直徑PG交弦BC于點D,連接AG,CP,PB.

(1)如題圖3,若D是線段OP的中點,求∠BAC的度數(shù);

(2)如題圖4,在DG上取一點K,使DK=DP,連接CK,求證:四邊形AGKC是平行四邊形;

(3)如題圖5,取CP的中點E,連接ED并延長ED交AB于點H,連接PH,求證:PH⊥AB.

題圖3

題圖4

題圖5

圖5

此題在第(3)中應(yīng)用定理1

證明(3)∵P是弧BC的中點且PG是直徑,

∴∠PDB=90°,BD=CD.

∵E為PC的中點,

∴ED是ΔPBC的中位線,

∴DH//PB,

∴∠ODH=∠OPB,∠ODH=∠OBP,

∵OP=OB,∴∠OPB=∠OBP,

∴∠ODH=∠OBP,

∴∠HDP+∠PBO=∠HDP+∠ODH=180°,

∴點P、D、H、B四點共圓,如圖5.

∴∠PHB=∠PDB=90°,

∴PH⊥AB.

此問也可以證明ΔOBD∽= ΔOPH得∠PHO=∠BDO=90°,進而得到PH⊥AB,但是這種方法相比四點共圓稍顯復雜,學生需要從復雜的圖形先找到全等三角形,綜合性很強.

題圖6

2018廣東省中考題第24題如題圖6,四邊形ABCD中,AB=AD,以AB為直徑的⊙O經(jīng)過點C,連接AC和OD交于點E.

(1)證明:OD//BC;

(2)若tan ∠ABC=2,證明:DA與⊙O相切;

(3)在(2)條件下,連接BD交于⊙O于點F,連接EF,若BC=1,求EF的長.

圖6

此題在第(3)中應(yīng)用定理2.

證明(3)連接AF和CF,

∵AB為直徑,

∴∠ACB=∠AFB=90°,

∴∠AFD=180°-90°=90°,

∴AF⊥BD,由(1)得OD//BC,

∴∠ACB=∠CED=90°,

∴∠AED=180°-∠CED=180°-90°=90°,

∴∠AFD=∠AED=90°,

∴點A、E、F、D四點共圓,如圖6,

∴∠FED=∠FAD,

∵由(2)得∠BAD=90°且AB=AD,

∴ΔABD為等腰直角三角形,

∴∠ABF=45°,

∵ΔABD為等腰直角三角形且AF⊥BD,∠FAD=∠BAD÷2=90°÷2=45°,

∴∠FED=∠FAD=45°,

∴∠CEF=90°-45°=45°,

∵∠ABF與∠ACF是弧AF所對的圓周角,

∴∠ABF=∠ACF=45°,

∴∠CFE=90°,

∴ΔCEF為等腰直角三角形,由(2)可知CE=BC=1,

∴EF=

圖7

此問也可以通過相似三角形的判定得ΔEFD∽ΔBOD,再通過相似三角形的對應(yīng)邊成比例得出EF的長,但是這種方法的計算量相對較大.

2017廣東省中考題第25題如圖7,在平面直角坐標系中,O為原點,四邊形ABCO是矩形,點A,C的坐標分別是A(0,2)和C(0),點D是對角線AC上一動點(不與A,C重合),連結(jié)BD,作DE⊥BD,交x軸于點E,以線段DE,BD為鄰邊作矩形BDEF.

(1)填空:點B的坐標為____;

(2)是否存在這樣的點D,使得ΔDEC是等腰三角形?若存在,請求出AD的長度;若不存在,請說明理由;

圖7-1

證明(3)第一種情況,當點E在點C的左側(cè),連接BE,

∵四邊形ABCO和四邊形BDEF是矩形,

∴∠BDE=∠BCE=90°,

∴∠BDE+∠BCE=180°,

∴點B、D、E、C共圓,如圖7-1,

∵∠DBE與∠ACO是弧DE所對的圓周角,

∴∠DBE=∠ACO,

∵tan ∠ACO=

∴∠DBE=∠ACO=30°,

∴在RtΔDBE中,

第二種情況,當點E在點C的左側(cè),連接BE,

∵∠ACB=90°- 30°=60°,∠BDE=90°,在RtΔDBC中,

圖8

∵∠DEC=30-∠CDE,

∴∠DEC=∠CBD,

∴點B、D、E、C四點共圓,如圖8,∴∠DBE+∠DCE=180°,

∴∠DBE=180°-∠DCE=180°-(180°-30°)=30°,

∴在RtΔDBE中,

此問也可以過D作DH⊥AB于點H,并延長HD交OE于G(即利用直角構(gòu)造相似三角形),可得ΔDHB∽ΔDEG,進而得出但是利用直角構(gòu)造相似三角形的是中考的難點,學生不容易想到.

波利亞曾經(jīng)說過:解題是一種實際性的技能,就好像游泳一樣,必須模仿和觀察別人在解題時的方法,就能獨具慧眼.用敏銳的視角發(fā)現(xiàn)四點共圓,從而讓你感覺到原來圓如此的簡單.