導數(shù)壓軸繁又難,研究真題尋妙招

廣東省廣州市廣州中學

導數(shù)壓軸題是高考的熱點.導數(shù)壓軸題在考查基礎知識的基礎上,注重數(shù)學能力的考查,融合多個知識點,綜合性強,技巧性強,方法多,題型復雜多樣.這些特點導致學生得分率極低.由于該類題能夠考查學生的知識、能力和數(shù)學素養(yǎng).因此教學中要讓各個層次的學生都學有所獲,夯實基礎,提高解題能力,培養(yǎng)數(shù)學素養(yǎng).

筆者從高考成績統(tǒng)計數(shù)據(jù)和市區(qū)統(tǒng)考成績分析中發(fā)現(xiàn),導數(shù)壓軸題的平均分往往都在2分左右.在對試題考點研究、學生答卷分析的基礎上,筆者又對部分學生進行訪談,發(fā)現(xiàn)得分低的主要原因為:1.沒有規(guī)劃好答題時間,在導數(shù)壓軸題上用時短.2.基礎知識不扎實,求導出錯.3.答題思路不清晰,沒有踩中得分點.4.表達不規(guī)范,該得的分沒得.

本文在研究近十年全國一卷高考真題的基礎上,結合筆者的教學實踐,為導數(shù)壓軸題復習提出一些想法,希望能為高考的教學備考起到一些拋磚引玉的作用.

1 真題分析

筆者著重統(tǒng)計研究了近十年全國理科數(shù)學一卷試題所考查的知識點,數(shù)據(jù)如下表:

201920182017 2016 2015 2014 2013 2012 2011 2010(1)求極大值討論單調性討論單調性求參數(shù)范圍函數(shù)的切線切線求參數(shù)切線求參數(shù)解析式單調性切線求參數(shù)求單調性(2)函數(shù)零點證明不等式求參數(shù)范圍證明不等式函數(shù)零點不等式求參數(shù)求極大值不等式求最值不等式恒成立不等式恒成立

從表格中筆者注意到,在導數(shù)壓軸題中主要考查的知識點有切線、極值、函數(shù)的單調性、函數(shù)的零點和不等式恒成立.此題綜合性很強,但是其中融合的知識點和方法卻比較基礎,是在平常的復習中必須要掌握的,因此這一題也沒那么可怕,教師要鼓勵學生堅定自信地做好導數(shù)壓軸題的復習.

筆者在知識點統(tǒng)計的基礎上對近幾年全國高考真題的解答思路以及涉及的?？贾R點進行了一些研究.

1.1 求導正負知單調,堪根顯威定個數(shù)

例1.(2019年新課標1 理科20)已知函數(shù)f(x)=sinx-ln(1+x),f′(x)為f(x)的導數(shù).證明:(1)f′(x)在區(qū)間存在唯一極大值點;(2)f(x)有且僅有2個零點.簡解:(1)構造函數(shù)g(x)=f′(x)=cosx求導得

評析:這一題主要考查求導、極大值、零點、零點存在性定理的知識點.在(1)解答過程中我們需要熟悉求導法則,過程中求導不出錯,用導數(shù)分析極大值的存在,第二次求導判斷單調性,證明零點的唯一性,使用零點存在性定理確認零點存在.在(2)解答中分段運用求導求單調性,使用零點存在性定理判斷零點個數(shù).在整個解答過程中求導判斷單調性和零點存在性定理是關鍵的兩步,缺一不可,相得益彰.在2017年、2016年、2015年也考查了零點的知識,解答的方法思路與此題也有相似之處.

1.2 切線斜率求導得,切點聯(lián)系曲與直

例2.(2015年新課標1 理科21)已知函數(shù)f(x)=當a為何值時,x軸為曲線y=f(x)的切線;(2)略.

簡解:(1)f′(x)=3x2+a,設曲線y=f(x)與x軸相切于點P(x0,0),則f(x0)=0,f′(x0)=0.∴解得因此當時,x軸為曲線y=f(x)的切線.

評析:本題主要考查切線知識點,解答本題有兩點關鍵點:1.函數(shù)某點的導數(shù)值等于切線的斜率.2.切點在切線上又在函數(shù)上.導數(shù)來源于切線,蘊含“以直代曲”的重要數(shù)學思想.部分學生沒得到分數(shù)的原因是沒有信心或者是時間不足.利用導數(shù)幾何意義求解切線問題是導數(shù)的一種基本應用.2015年、2014年、2013年、2011年也考查了切線的知識點.其解答方法也與此題相似.

1.3 導數(shù)工具定單調,參數(shù)討論是關鍵

例3.(2018年新課標1 理科21)已知函數(shù)f(x)=討論f(x)的單調性;(2)略.

簡解:f(x)的定義域為(0,+∞),.(i)若a≤2,則f′(x)≤0,當且僅當a=2,x=1時f′(x)=0,所以f(x)在(0,+∞)單調遞減.(ii)若a＞2,令f′(x)=0 得,或當x ∈(0,x1)∪(x2,+∞)時,f′(x)＜0;當x ∈(x1,x2)時,f′(x)＞0.綜上可得單調區(qū)間.

評析:本題主要考查單調性的知識點.解答本題關鍵點在于對方程x2-ax+1=0 有沒有根對參數(shù)進行討論.這類問題主要考查了導數(shù)判斷單調性的作用,融合了函數(shù)的含參問題,需要找準參數(shù)討論點進行討論,綜合性較強,難度較大.2017、2016 也考查了參數(shù)分類討論的知識點,求導是工具,找準討論點才是解決此類問題的關鍵,這類題做對難,但是可以通過討論簡單顯然的參數(shù)范圍得到分數(shù),比如此題這種情況是比較容易分析得到分數(shù)的.

1.4 逐段討論恒成立,參變分離求最值

例4.(2013年新課標1 理科21)已知函數(shù)f(x)=x2+ax+b,g(x)=ex(cx+d),若曲線y=f(x)和曲線y=g(x)都過點P(0,2),且在點P處有相同的切線y=4x+2.(I)求a,b,c,d的值.(Ⅱ)若x≥-2時,f(x)≤kg(x),求k的取值范圍.

簡解:(1)略.(2)易得a=4,b=c=d=2.令F(x)=kg(x)-f(x),得F′(x)=(kex-1)(2x+4),由F(0)≥0,得k≥1,令F′(x)=0,得x1=-lnk,x2=-2.1.若1≤k＜e2,則-2≤x1＜0,從而x ∈(-2,x1)時,F′(x)＜0,x ∈(x1,+∞)時,F′(x)＞0,即F(x)在x ∈(-2,+∞)上最小值為

F(x1)=2x1+2-x21-4x1-2=-x1(x1+2)≥0此時f(x)≤kg(x)恒成立..若k=e2,F′(x)=(ex+2-1)(2x+4)≥0,故F(x)在(-2,+∞)上單調遞增,因為F(-2)=0,所以f(x)≤kg(x)恒成立..若k＞e2,F(-2)=-2ke-2+2＜0,故f(x)≤kg(x)恒成立.綜上k的取值范圍為[1,e2].

評析:本題主要考查不等式恒成立知識點,解答的思路在于構造函數(shù),函數(shù)的最小值大于等于零.關鍵步驟在于逐段討論參數(shù),求出函數(shù)最小值.解決這類問題的難點在于討論參數(shù),先找到F(0)≥0 限定k的取值范圍再逐段討論分析,技巧性強,難度較大.但是解答這類問題的思路很清晰,解題模式較容易想到.得滿分很難,踩點得分易.不等式恒成立求參數(shù)范圍還有另一種方法,參變分離.此題可以轉化為比較和k的大小關系.2014、2012、2011、2010年也考查了不等式恒成立問題.

1.5 雙變量含參問題,消參減元定思路

例5.(2016年新課標1 理科21)已知函數(shù)f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有兩個零點.(I)求a的取值范圍;(Ⅱ)設x1,x2是f(x)的兩個零點,證明:x1+x2＜2.

簡解:(1)略.(2)由已知得f(x1)=f(x2)=0,不難發(fā)現(xiàn)x11,x21,故可整理得:則g(x1)=g(x2)求導得到當x＜1時,g′(x)＜0,g(x)單調遞減;當x＞1時,g′(x)＞0,g(x)單調遞增.設m＞0,構造代數(shù)式

而2-x1＞1,x2＞1,g(x)在(1,+∞)上單調遞增,因此g(2-x1)＞g(x2)?2-x1＞x2.整理得x1+x2＜2.

評析:本題主要考查函數(shù)極值點偏移問題,解答的思路在于消掉參數(shù),構造對稱函數(shù)減元,求導定單調性解決問題.這類問題融合了多個知識點,基本工具是求導判斷單調性,消參減元的技巧難度較大.極值點偏移問題有通性通法,總結歸納過此類問題,思路清晰,求導不出錯一般都可以解決問題.2018年也考過雙變量問題,解決的關鍵步驟也在于消參減元.

2 備考妙招

2.1 構建框架夯實基礎,練習通法分類總結

從近十年的真題來看,導數(shù)綜合題難度雖然很大,其中解決問題的知識點卻是比較基本的.我們在復習中可以從導數(shù)的起源、導數(shù)的幾何意義、求導法則和導數(shù)的作用構建框架,對知識點進行分類練習達到夯實基礎的作用.從真題的角度來看,我們應該熟悉求導法則,能夠準確熟練的求出較復雜函數(shù)的導數(shù).我們還必需熟悉切線問題的方法,理解熟練應用導數(shù)的工具判斷函數(shù)的單調性,使用導數(shù)工具求函數(shù)最值.

導數(shù)綜合題雖然技巧性較強,但其中考查了基本方法和基本解題模式.我們在平常的復習中要注意總結歸納,幫助學生熟悉基本思路.常見的題型有1.構造函數(shù)證明不等式.2.構造函數(shù)逐段討論解不等式恒成立問題.3.參變分離解不等式恒成立問題.4.導數(shù)解決含有ex與lnx的綜合題,熟悉函數(shù)的圖像.5.證明雙變量不等式.6.極值點偏移問題.7.隱零點問題.8.導數(shù)中的函數(shù)不等式放縮.比較經(jīng)典的問題有它們常常成為解題的基礎.

2.2 滲透數(shù)學思想方法,積累提升數(shù)學素養(yǎng)

從前面的解題分析中我們很容易發(fā)現(xiàn)轉化化歸思想、數(shù)型結合思想、函數(shù)與方程思想、分類討論思想是解導數(shù)綜合題時常用的數(shù)學思想方法.例如2016年新課標1 理科21,我們通過消參才看到這個題目是想考查函數(shù)的極值點偏移問題,可見轉化化歸思想為解題找到了切入點.在解決極值點偏移問題時,我們常常畫出圖象,以便觀察圖象是如何偏移的,有助于理解題意.在考查切線知識點時,需要學生懂得函數(shù)與方程思想.構造函數(shù)逐段討論解不等式恒成立問題包含了分類討論思想.一個導數(shù)綜合題往往融合了多種數(shù)學思想方法,我們應該在平常的教學中滲透數(shù)學思想方法,潛移默化.

數(shù)學核心素養(yǎng)起源于思維品質、立足于基礎知識、依附于關鍵能力.要解決導數(shù)綜合題往往需要轉化問題、構造函數(shù)、求導、判斷導數(shù)正負、解方程、結合圖形進行輔助判斷、求出最值,這是多種能力和素養(yǎng)的體現(xiàn).因此我們在導數(shù)教學中要落實好數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、直觀想象、數(shù)學運算、數(shù)據(jù)分析六大核心素養(yǎng).

2.3 借得高等解初等,直使無路為有路

很多導數(shù)壓軸題具有高等數(shù)學背景,了解背景,使用高等數(shù)學的工具解決導數(shù)綜合題將化難為易,化繁為簡.例如2010年理科一卷21題:設函數(shù)f(x)=ex-1-x-ax2(1)略.(2)若當x≥0時,f(x)≥0,求a的取值范圍.本題可以使用逐段討論分析法,也可以使用參變分離求解.在逐段討論分析法中,如果我們了解此題來源于泰勒展開便可猜測到題目可化難為易.使用參變分離法求解問題將轉化為恒成立,構造求g(x)的最小值.通過求導得到gmin(x)=g(0),在高中的知識中g(0)沒有意義.此時如果我們懂得洛必達法則便可以求出g(0),直使無路為有路.2011年的壓軸題也可以使用洛必達法則求解.

了解一些高等數(shù)學知識有助于解題,有助于優(yōu)化解題過程,找到題目的關鍵點.高等數(shù)學知識超出了考試大綱,在高考解答中有些定理也不能直接使用.對于優(yōu)秀的學生來說,我們在平常的練習中可以適當?shù)慕探o他們一些常用的高等數(shù)學知識,幫助解題.

2.4 分步得分因人而異,塞翁失馬焉知非福

高考考試時間是一樣的,在相同時間里比的是誰得分高,因此考試策略非常重要.如果為了做出導數(shù)題花了大量的時間導致前面基礎題出錯將會得不償失,如果完全放棄導數(shù)綜合題也是不可取的,因為導數(shù)得高分難,得分卻不難.我們在教學中要教會學生根據(jù)自己的情況總結出得分的套路,踩點得分,避開失分點,在相同時間內盡量得分.下面我以2017年理科一卷21題為例說明.

題目:已知函數(shù)f(x)=ae2x+(a-2)ex-x.(1)討論f(x)的單調性;(2)若f(x)有兩個零點,求a的取值范圍.

簡解:(1)f(x)=ae2x+(a-2)ex-x,當a≤0時,aex-1＜0,2ex+1＞0.從而f′(x)＜0恒成立.f(x)在R上單調遞減;當a＞0時,令f′(x)=0,從而aex- 1=0,得x=-lna.從而x ∈(-∞,-lna)時,f′(x)＜0,f(x)單調遞減.從而x ∈(-lna,+∞)時,f′(x)＞0,f(x)單調遞增.綜上可得答案.(2)令f(x)=0得再令而f(x)有兩個零點,則有兩解,問題等價于直線y=a與曲線有兩個交點;令求導分析得到a的取值范圍為(0,1).

學生得分分析:在(1)中求導因式分解,對參數(shù)進行逐段討論分析,難度中等.考查的知識點、方法都是比較基本的,中等以上的學生都能作答.成績稍弱的同學也能求導得分,如果學生做不到因式分解,也能比較容易的分析出a≤0,f′(x)＜0,得到一定的分數(shù).在(2)中參變分離是通法,求導正負定單調是基本方法,這部分中等的同學就可以做到了.最后對函數(shù)g(t)的求導分析難度較大,對成績優(yōu)秀的同學來說除了具備較強能力外,還要有充足的時間才能解決問題.

每一道導數(shù)壓軸題在解答中都會為基礎較弱的學生發(fā)一點福利,我們只需要在復習中夯實基礎熟悉通法就可以拿到基礎分了;中等的學生需要細心保證求導不出錯,利用導數(shù)工具分析得當就能得6分左右了;優(yōu)秀的同學狀態(tài)穩(wěn)定的情況下,熟練解答方法,細致求解,可以得到10分左右.學生不同,要求不同,期望不同.在復習中我們要根據(jù)學生的情況制定不同的復習策略讓基礎較弱的同學也能得分,中等的同學踩到得分點,優(yōu)秀的同學少失分.

導數(shù)壓軸繁又難,道是無路也有路.研究真題尋妙招,也有風雨也有晴.