培養(yǎng)高中生數(shù)學(xué)運(yùn)算能力“三策略”

武小強(qiáng)

[摘 ?要] 數(shù)學(xué)運(yùn)算是數(shù)學(xué)思維與數(shù)學(xué)解題的基礎(chǔ)，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，培養(yǎng)高中生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力十分重要. 數(shù)學(xué)運(yùn)算具有枯燥性與繁雜性的特征，因此很多高中生都不喜歡數(shù)學(xué)運(yùn)算，如何對(duì)傳統(tǒng)的高中數(shù)學(xué)運(yùn)算教學(xué)進(jìn)行變革是十分值得研究的一個(gè)問題.藝術(shù)性，來消除高中生的學(xué)習(xí)障礙. 文章立足教學(xué)實(shí)踐，以“冪函數(shù)”一課為例，對(duì)此進(jìn)行了探討.

[關(guān)鍵詞] 高中數(shù)學(xué);運(yùn)算能力;培養(yǎng)策略

運(yùn)算能力是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要構(gòu)成，數(shù)學(xué)運(yùn)算是數(shù)學(xué)思維與數(shù)學(xué)解題的基礎(chǔ)，在核心素養(yǎng)理念下，培養(yǎng)高中生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力十分重要. 在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，不難發(fā)現(xiàn)很多學(xué)生在推理運(yùn)算方面能力較為薄弱，造成這一種現(xiàn)象的主要原因在于他們對(duì)運(yùn)算概念的記憶不清，并且不了解公式性質(zhì)等運(yùn)算內(nèi)容，在使用常規(guī)方法進(jìn)行解題的過程中也不夠熟練，不會(huì)展開對(duì)數(shù)學(xué)問題的自主反思和歸納. 在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師可以通過以下三大策略培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.

借助趣味故事，激發(fā)運(yùn)算興趣

在進(jìn)入高中階段之后，很多數(shù)學(xué)運(yùn)算題目既煩瑣又復(fù)雜，致使學(xué)生在解題時(shí)出現(xiàn)煩躁、畏難等情緒，長(zhǎng)此以往，自然會(huì)對(duì)高中數(shù)學(xué)的運(yùn)算練習(xí)產(chǎn)生較為顯著的抵觸心理. 為了全面提高學(xué)生的運(yùn)算興趣，教師應(yīng)立足于教學(xué)實(shí)踐，選擇多元的運(yùn)算方式，使每一個(gè)學(xué)生都能夠通過運(yùn)算體會(huì)到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的趣味. 如，針對(duì)某些運(yùn)算法則進(jìn)行講解的過程中，可以引入和數(shù)學(xué)家相關(guān)的小故事，或者是學(xué)生比較感興趣的話題，以此作為課堂導(dǎo)入幫助，快速聚焦學(xué)生注意，激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)運(yùn)算的積極情緒.

例如，在教學(xué)“等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式”時(shí)，很多學(xué)生一聽到這個(gè)名字時(shí)就會(huì)產(chǎn)生枯燥之感，可以在教學(xué)開始之前設(shè)置一個(gè)充滿趣味性的小練習(xí)：計(jì)算1+2+…+100，要求學(xué)生選擇多元的解題方法.此時(shí)，教師引入高斯小時(shí)候解這一道題的故事，學(xué)生在聽故事的過程中表現(xiàn)出高漲的學(xué)習(xí)情緒，由此找到引入等差數(shù)列這一知識(shí)點(diǎn)的最佳契機(jī). 為了使學(xué)生能夠在實(shí)際學(xué)習(xí)過程中始終維持積極的學(xué)習(xí)情緒，體會(huì)到運(yùn)算的趣味性，不產(chǎn)生抵觸情緒，可以再次回到引入的練習(xí)，借助等差數(shù)列的相關(guān)知識(shí)完成解題.

可見，在高中數(shù)學(xué)運(yùn)算教學(xué)中，借助一些趣味性故事引入相關(guān)的運(yùn)算教學(xué)內(nèi)容，能讓學(xué)生體驗(yàn)到運(yùn)算學(xué)習(xí)的樂趣，以此為他們后續(xù)的運(yùn)算學(xué)習(xí)奠定情感基礎(chǔ).

基于運(yùn)算本質(zhì)，促進(jìn)運(yùn)算理解

1. 掌握基本概念，理解運(yùn)算本質(zhì)

根據(jù)教育學(xué)的相關(guān)理念，學(xué)生在建構(gòu)知識(shí)體系的過程中，最初的知識(shí)生成時(shí)期非常關(guān)鍵. 落實(shí)于數(shù)學(xué)教學(xué)中，定理和公式的學(xué)習(xí)是保證數(shù)學(xué)運(yùn)算的關(guān)鍵前提. 與此同時(shí)，定理是已經(jīng)經(jīng)過嚴(yán)謹(jǐn)證明的真命題，而公式則是數(shù)學(xué)定理的另外一種呈現(xiàn)形式，其所具有的突出特點(diǎn)就是極強(qiáng)概括性與抽象性. 針對(duì)這部分內(nèi)容的學(xué)習(xí)，學(xué)生常常感到枯燥乏味，甚至晦澀難懂，而且教師也常常會(huì)在教學(xué)實(shí)踐中選擇一概而過的推導(dǎo)方式，將更多的時(shí)間用來講解例題，致使很多學(xué)生在學(xué)習(xí)完例題之后，仍然不了解定理或公式的證明過程. 這會(huì)造成學(xué)生在實(shí)際解題的過程中屢屢受挫，甚至還會(huì)出現(xiàn)混淆不清，不能準(zhǔn)確把握知識(shí)本質(zhì)等現(xiàn)象.

為了順利解決數(shù)學(xué)問題的運(yùn)算，需要學(xué)生牢記運(yùn)算法則、定理、概念等等，而這種牢記與死記硬背完全不同，是需要針對(duì)知識(shí)的本質(zhì)形成深入透徹的理解，不僅要了解適用條件，還要把握外延范疇以及相互之間的關(guān)聯(lián). 這也就意味著，在知識(shí)生成的過程中，只有緊抓以上關(guān)鍵點(diǎn)才能夠牢記概念，才能精準(zhǔn)辨析題型，以實(shí)現(xiàn)正確運(yùn)算.

2. 滲透數(shù)學(xué)思想，理解運(yùn)算本質(zhì)

在教學(xué)中人們不難發(fā)現(xiàn)即使針對(duì)同一題型展開反復(fù)講解，但學(xué)生的出錯(cuò)率仍未能有所降低，這是因?yàn)閷W(xué)生對(duì)題意的理解大都停留在淺顯的表層，一旦進(jìn)行變式處理，很多學(xué)生便手足無措. 導(dǎo)致這一現(xiàn)象的根本原因是課堂教學(xué)實(shí)踐中對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的滲透遠(yuǎn)遠(yuǎn)不足，多是就題論題，使學(xué)生陷入題海的困頓. 要想改變這種局面，只有在講解相同題型的過程中，有力點(diǎn)撥學(xué)生，才能使學(xué)生準(zhǔn)確把握其中潛藏的數(shù)學(xué)思想，進(jìn)而使學(xué)生理解運(yùn)算本質(zhì)，準(zhǔn)確而快速地解決問題.

例如：在直角坐標(biāo)系xOy中，存在以點(diǎn)A（1，0）為圓心，半徑不等的一系列圓與直線mx-y-2m-1=0（m∈R）相切，試求：一系列圓中半徑最大的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

在本案例中，要求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，由于圓心是已知的，故只需求出圓的半徑即可. 處理問題的思路有兩個(gè)，一是按照常規(guī)思路進(jìn)行，利用直線與圓之間的關(guān)系特征（直線與圓相切），圓心到直線的距離即為圓的半徑，其表達(dá)式r=，運(yùn)用函數(shù)法或基本不等式法求此式的最大值;二是采取數(shù)形結(jié)合的思想方法，觀察直線方程表達(dá)式的特點(diǎn)，我們發(fā)現(xiàn)直線過定點(diǎn)（2，-1），作出函數(shù)圖像，結(jié)合圖形分析判斷符合題設(shè)條件的圓半徑的最大值只能是定點(diǎn)（2，-1）與圓心（1，0）之間的距離. 在這里，我們充分利用數(shù)形結(jié)合思想，簡(jiǎn)化了運(yùn)算過程，減小了思維難度，認(rèn)識(shí)了問題本質(zhì). 這種思維創(chuàng)新的數(shù)學(xué)思想方法，有助于學(xué)生學(xué)習(xí)和研究數(shù)學(xué)，有利于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng). 作為高中數(shù)學(xué)教師，應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生樹立靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)基本思想方法處理問題的意識(shí)與思維習(xí)慣.

進(jìn)行有效指導(dǎo)，提升運(yùn)算技能

1. 訓(xùn)練運(yùn)算靈活性，提升運(yùn)算速度

在平時(shí)的教學(xué)中，我們應(yīng)有意識(shí)地訓(xùn)練學(xué)生的運(yùn)算靈活性，通過比較多種方法解題的優(yōu)劣使學(xué)生找到計(jì)算的感覺. 運(yùn)算的靈活性指的是在運(yùn)算的過程中，從不同的方位、角度出發(fā)思考問題的解決辦法及運(yùn)算技巧，比較一下采用哪一種方法解題既簡(jiǎn)單且準(zhǔn)確率又高. 一般而言，簡(jiǎn)單的問題解法相對(duì)單一. 難度稍大的問題所涉知識(shí)相對(duì)較多，具有一定的綜合性，與基礎(chǔ)知識(shí)間的聯(lián)系是不明顯的、間接的、復(fù)雜的. 教師可適當(dāng)選取這類問題，從多方位、多角度講解，以培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)算的靈活性. 一旦學(xué)生擁有了這種靈活性，也就說明他已經(jīng)具有對(duì)題目敏銳、深入、細(xì)致、透徹的觀察能力，能通過題目所給條件、式子結(jié)構(gòu)特征，做出相應(yīng)的聯(lián)想，建立已知與未知的聯(lián)系，從而將問題轉(zhuǎn)化為自己所熟悉的問題，實(shí)現(xiàn)問題的解決.

在高中階段，對(duì)運(yùn)算要求較高的知識(shí)主要涉及函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式、圓錐曲線等內(nèi)容.在這里，我們以一道圓錐曲線問題為例：自點(diǎn)A（-3，3）發(fā)出的光線l射到x軸上，經(jīng)x軸反射，其反射光線所在直線與圓x2+y2-4x-4y+7=0相切，求光線l所在直線方程.

方法1：設(shè)直線l：y=k（x+3）+3，反射光線的方程為：kx+y+3k+3=0.

根據(jù)已知條件反射光線所在方程與圓（x-2）2+（y-2）2=1相切，可得=1，即12k2+25k+12=0，解得k=-或-，所以直線l方程為：3x+4y-3=0或4x+3y+3=0.

在方法1中，我們首先根據(jù)光線反射的性質(zhì)“入射角=反射角”，得到入射光線與反射光線關(guān)于x軸對(duì)稱，從而得出反射光線的方程;再根據(jù)直線與圓相切的性質(zhì)，圓心到直線的距離等于半徑，建立關(guān)于斜率k的方程，進(jìn)而解決問題.但此法在求反射光線方程時(shí)，運(yùn)算量較大，且很容易出錯(cuò). 但此法給我們以啟示，它揭示圖形間的另一種聯(lián)系：入射光線與已知圓關(guān)于x軸的對(duì)稱圓相切.我們?cè)賮砜聪聫倪@個(gè)角度去求解問題，會(huì)不會(huì)更簡(jiǎn)單一些.

方法2：設(shè)入射光線l：y=k（x+3）+3.

圓x2+y2-4x-4y+7=0關(guān)于x軸的對(duì)稱圓方程為（x-2）2+（y+2）2=1，入射光線方程與此圓相切，所以=1. 后面的解法同方法1，不贅述.

2. 訓(xùn)練運(yùn)算簡(jiǎn)捷性，提升運(yùn)算速度

運(yùn)算的簡(jiǎn)捷性，就是要求學(xué)生的運(yùn)算過程既簡(jiǎn)捷又迅速，這同樣需要思維的靈活性. 上述例子已很好地說明了這一點(diǎn)，從運(yùn)算過程來看，顯然第二種方法使得運(yùn)算過程簡(jiǎn)單一些，它少了求反射光線方程的過程（解析幾何問題多是字母運(yùn)算，學(xué)生在求解時(shí)，容易出現(xiàn)錯(cuò)誤）;相對(duì)而言，求圓關(guān)于x軸對(duì)稱的圓的方程要簡(jiǎn)單得多（只需找到對(duì)稱圓的圓心即可，（2，2）關(guān)于x軸對(duì)稱后為（2，-2））. 同時(shí)，運(yùn)算的簡(jiǎn)捷性還要求學(xué)生對(duì)題目觀察細(xì)致和深刻. 只有做到這兩點(diǎn)，才能有的放矢，才能談簡(jiǎn)捷. 這是運(yùn)算合理的標(biāo)志，要求所選擇的運(yùn)算路徑短、運(yùn)算步驟少、節(jié)省運(yùn)算時(shí)間. 具體操作時(shí)，我們可采用訓(xùn)練學(xué)生靈活應(yīng)用概念，恰當(dāng)選擇公式，合理使用數(shù)學(xué)思想方法的方式.其中要注意數(shù)學(xué)思想在訓(xùn)練運(yùn)算簡(jiǎn)捷性方面的重要作用，數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想、等價(jià)轉(zhuǎn)化思想、分類討論思想這四大思想貫穿于整個(gè)高中數(shù)學(xué)教學(xué)之中.