情景設(shè)計(jì)抽象概念，類比概括構(gòu)建方程

張之斌

[摘 ?要] 《橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程》是研究橢圓幾何性質(zhì)的基礎(chǔ)，其理論和模型對于后續(xù)曲線的探究有著一定的借鑒價值，在實(shí)際教學(xué)中需要立足知識核心，合理設(shè)計(jì)教學(xué)環(huán)節(jié)，促進(jìn)學(xué)生知識與能力的雙重提升.文章充分考慮學(xué)情，基于知識探究反思教學(xué)環(huán)節(jié).

[關(guān)鍵詞] 橢圓;標(biāo)準(zhǔn)方程;概念;情景;探究

《橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程》是選修2的重要內(nèi)容，也是高考的重點(diǎn)考查章節(jié)，是在學(xué)習(xí)了直線與圓方程的基礎(chǔ)上利用坐標(biāo)法對曲線的進(jìn)一步研究，同時該章節(jié)的研究方法和思路也可為后續(xù)雙曲線、拋物線的研究提供理論參考. 本節(jié)內(nèi)容的教學(xué)重點(diǎn)是橢圓的定義、方程，及其坐標(biāo)法的基礎(chǔ)思想，考慮到學(xué)生的認(rèn)知能力有效，需要合理設(shè)置教學(xué)內(nèi)容，采用合理教學(xué)方式，使學(xué)生體會知識生成，感悟方程建立，下面基于核心素養(yǎng)培養(yǎng)提出幾點(diǎn)教學(xué)建議.

情景設(shè)計(jì)，認(rèn)識橢圓

橢圓的定義是章節(jié)內(nèi)容的基礎(chǔ)知識，也是橢圓的本質(zhì)屬性，屬于全新的內(nèi)容. 學(xué)生對橢圓的定義和形成并沒有深刻的認(rèn)識，因此在教學(xué)中需要首先完成橢圓認(rèn)知，應(yīng)合理設(shè)計(jì)教學(xué)引入，幫助學(xué)生完成課堂過渡.橢圓在生活實(shí)際中有著廣泛的存在，教學(xué)中可以采用情景教學(xué)的方式，利用直觀圖影來感知橢圓.

教學(xué)中可以提前準(zhǔn)備與橢圓相關(guān)的圖片、實(shí)物，或利用多媒體來播放一些天體運(yùn)行的軌跡圖像，使學(xué)生對橢圓產(chǎn)生感性認(rèn)識.

引題：大家是否見過橢圓？天體的運(yùn)行軌跡是什么形狀？大家還能舉出哪些橢圓的例子？本節(jié)課我們要探究橢圓，學(xué)習(xí)橢圓的定義和方程.

設(shè)計(jì)教學(xué)情景可以有效激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，快速融入課堂. 實(shí)際教學(xué)中，教師可以演示橢圓的動態(tài)圖像，初步感知橢圓的特征，在播放完橢圓軌跡后要及時設(shè)問，給學(xué)生留足思考的空間，引導(dǎo)學(xué)生思考橢圓的特點(diǎn)，以便后續(xù)對橢圓定義進(jìn)行歸納.

合理探究，抽象推理

橢圓的定義對于學(xué)生而言較為抽象，教學(xué)中應(yīng)采用知識探究的方式，合理設(shè)計(jì)教學(xué)活動，引導(dǎo)學(xué)生參與實(shí)驗(yàn)，通過親身體驗(yàn)來完成概念歸納. 教學(xué)中提倡分三個階段進(jìn)行：演示實(shí)驗(yàn)→歸納總結(jié)→辨析推理.

階段一——演示實(shí)驗(yàn)

橢圓的形成是動態(tài)變化的過程，與圓之間有著密切的關(guān)聯(lián)，教學(xué)中可以參考圓的教學(xué)設(shè)計(jì)演示實(shí)驗(yàn)：

（1）讓學(xué)生提前準(zhǔn)備一條長15 cm的細(xì)繩;

（2）將繩子的兩端用圖釘F1和F2固定在紙板上，確保兩點(diǎn)之間的距離為10 cm;

（3）用書寫筆將細(xì)繩拉緊，在紙板上慢慢移動，利用筆尖將運(yùn)動軌跡繪制在紙板上，讓學(xué)生觀察所繪圖形的形狀.

階段二——?dú)w納總結(jié)

完成實(shí)驗(yàn)后對上述實(shí)驗(yàn)過程進(jìn)行模型抽象：設(shè)定筆尖為動點(diǎn)P，兩個圖釘F1和F2的位置為定點(diǎn)，如圖1所示，讓學(xué)生思考如下問題.

問題1：動點(diǎn)P移動的過程中需要滿足什么條件？哪些是變化的，哪些是不變的？

問題2：繩子長度與定點(diǎn)距離之間是否存在關(guān)聯(lián).

在實(shí)驗(yàn)過程中可以讓學(xué)生一邊操作一邊思考問題，利用問題來適度引導(dǎo)，結(jié)合上述兩個探究問題逐步概括橢圓的概念. 橢圓的概念概括過程中需要關(guān)注兩點(diǎn)：一是關(guān)注“平面內(nèi)”，二是突出其中的“定點(diǎn)”和“常數(shù)”，結(jié)合關(guān)鍵詞的概念概括橢圓的特征.另外橢圓的概括需要完成語言之間的轉(zhuǎn)化，即文字語言和數(shù)學(xué)語言之間的對應(yīng)，尤其是引導(dǎo)學(xué)生從集合角度描述橢圓：PF1+PF2=2a（2a>2c，2c=FF）.

階段三——辨析推理

完成概念歸納之后還需要對其加以辨析，這是由于高中階段需要學(xué)習(xí)的曲線較為眾多，掌握曲線圖形的特性對于后續(xù)解析幾何問題的突破十分重要.基于橢圓概念可知點(diǎn)F1和F2表示橢圓的焦點(diǎn)，F(xiàn)1F2則表示焦距，可結(jié)合如下問題進(jìn)行辨析.

問題1：如果PF1+PF2=F1F2，所得點(diǎn)P的軌跡是否為橢圓？

問題2：如果PF1+PF2

上述實(shí)則是基于動點(diǎn)到焦點(diǎn)距離之和與焦距大小之間的問題，通過問題辨析有助于學(xué)生理解橢圓概念的內(nèi)涵，也能及時反饋學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，幫助教師評估教學(xué)效果，合理優(yōu)化教學(xué).

類比遷移，方程構(gòu)建

本章節(jié)的第二部分內(nèi)容是教學(xué)橢圓的方程，是橢圓的感性認(rèn)識到理性認(rèn)知的關(guān)鍵環(huán)節(jié). 其實(shí)作為解析幾何重要的組成，橢圓與直線、圓等其他曲線之間有著一定的聯(lián)系，對應(yīng)方程的學(xué)習(xí)步驟是相一致的，因此可以采用類比遷移的方式教學(xué).

顯然橢圓方程的構(gòu)建過程需要經(jīng)歷四步，即建坐標(biāo)系→設(shè)關(guān)鍵點(diǎn)→推導(dǎo)列式→化簡得方程. 實(shí)際教學(xué)中可以基于上述總體思考來構(gòu)建橢圓的方程，同時注重設(shè)問引導(dǎo)，方案設(shè)計(jì).

第一步——建坐標(biāo)系

所建坐標(biāo)系不同獲得的代數(shù)式也會有所差異，教學(xué)中需呈現(xiàn)不同的建系方案，引導(dǎo)學(xué)生思考方案的優(yōu)劣，如以下兩種方案.

方案一：焦點(diǎn)F1和F2建在坐標(biāo)系的x軸上，以點(diǎn)F1F2的中點(diǎn)作為坐標(biāo)系的原點(diǎn)，如圖2;

方案二：以橢圓的下端點(diǎn)所在平行線為x軸，以橢圓左端點(diǎn)所在垂線為y軸建立坐標(biāo)系，如圖3.

結(jié)合圖像的對稱特性，類比圓的建系方式學(xué)生很容易可以確定方案一更為合理，后續(xù)所構(gòu)方程也更為簡單.

第二步——設(shè)關(guān)鍵點(diǎn)

該步是后續(xù)列式的關(guān)鍵，基于橢圓概念可知PF1+PF2=2a，教學(xué)中需再次引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注該式中定點(diǎn)F1和F2及動點(diǎn)P，從而確定設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y）.

第三步——推導(dǎo)列式

列式是構(gòu)建方程的核心，該步中需要根據(jù)選定方案，結(jié)合關(guān)鍵條件來構(gòu)建方程，實(shí)則就是實(shí)現(xiàn)幾何條件的代數(shù)坐標(biāo)化，即P={PPF1+PF2=2a}，教學(xué)中需要按照兩點(diǎn)之間的距離公式計(jì)算.

動點(diǎn)P的條件坐標(biāo)化：PF1=，PF2=.

集合條件的代數(shù)化：+=2a.

第四步——化簡得方程

化簡數(shù)式、整理方程對學(xué)生的運(yùn)算能力有著一定的要求，也是求解橢圓方程的難點(diǎn)之一，教學(xué)中需要引導(dǎo)學(xué)生思考如何簡化涉及根號的方程，逐步形成“移項(xiàng)去根號，同除得方程”的化簡思路，在此不再贅述方程的化簡過程.

類比遷移、構(gòu)建方程過程中還需要關(guān)注兩點(diǎn)：一是討論方案，二是解讀幾何意義.方案討論主要出現(xiàn)在建系教學(xué)中，除了考慮圖像的對稱性外，還需要關(guān)注焦點(diǎn)所處的坐標(biāo)軸，這也是造成后續(xù)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程不同的根本所在. 而解讀幾何意義則是解析幾何內(nèi)容的教學(xué)要求，重點(diǎn)關(guān)注其中a和c的幾何意義，指導(dǎo)學(xué)生基于該意義來直接構(gòu)建橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，這對于學(xué)生理解橢圓方程有著極大的幫助.

歸納概括，應(yīng)用變式

橢圓的方程中含有三個參數(shù)a，b，c，參數(shù)之間有著一定的關(guān)聯(lián)，其大小關(guān)系影響到焦點(diǎn)所在位置，同時在曲線圖像上有著一定的幾何意義，因此十分有必要對橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程進(jìn)行辨析概括，同時需結(jié)合適當(dāng)?shù)膯栴}來進(jìn)行新知鞏固.

1. 關(guān)于標(biāo)準(zhǔn)方程與圖像的歸納

對橢圓方程的辨析概括需要從兩個方面進(jìn)行，其一是概括方程的特征，有以下三點(diǎn)內(nèi)容：

①橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的形式，即二元二次方程;

②方程中三個參數(shù)所代表的含義，對應(yīng)的線段長;

③橢圓方程中焦點(diǎn)位置與參數(shù)大小之間的關(guān)系.

其二是結(jié)合圖像來歸納橢圓參數(shù)對圖像的影響，同樣需要從以下三點(diǎn)進(jìn)行：

①結(jié)合勾股定理來建立三個參數(shù)之間的關(guān)聯(lián)，以焦點(diǎn)位于x軸上為例（圖4），a2=b2+c2;

思路與指導(dǎo)：辨析方程的思路是教學(xué)的重點(diǎn)，需要引導(dǎo)學(xué)生合理分析橢圓方程. 首先從方程的形式來判斷是否為橢圓方程，然后結(jié)合a>b>0來確定橢圓的焦點(diǎn)，并求解橢圓的三個參數(shù). 以③式為例，顯然a2=25>b2=16，對應(yīng)的分母中分別含有y和x，顯然焦點(diǎn)坐標(biāo)位于y軸上.

問題2：橢圓的兩個焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為（-4，0）和（4，0），橢圓上的動點(diǎn)P到兩個焦點(diǎn)的距離之和為10，試求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

思路與指導(dǎo)：需要根據(jù)橢圓的幾何意義來求解方程中的參數(shù)，首先根據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)判斷焦點(diǎn)所在坐標(biāo)軸，然后確定參數(shù)a和c的值，結(jié)合三者關(guān)系求b值.

總之，教學(xué)《橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程》需要立足章節(jié)的核心內(nèi)容，充分考慮學(xué)情，采用知識探究的方式設(shè)置活動. 教學(xué)中需要合理設(shè)問、正確引導(dǎo)，關(guān)注概念內(nèi)涵，重視方程意義，同時設(shè)計(jì)教學(xué)環(huán)節(jié)時要充分將數(shù)學(xué)的核心素養(yǎng)融于教學(xué)內(nèi)容中，提升學(xué)生的綜合素養(yǎng).