非自治Reaction-Diffusion方程的后向緊吸引子的正則性

佘連兵，張文林，李揚(yáng)榮

（1.六盤水師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息工程學(xué)院，貴州六盤水553004； 2.西南大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，重慶400715）

眾所周知，拉回吸引子的緊性對研究非自治動(dòng)力系統(tǒng)的長時(shí)間行為起著重要作用[1-5]，但這類緊性是一種片段緊性的研究，和自治系統(tǒng)相似，并沒能展現(xiàn)出非自治系統(tǒng)對時(shí)間依賴的獨(dú)特性.

最近，文獻(xiàn)[6]對非自治動(dòng)力系統(tǒng)所產(chǎn)生的拉回吸引子的后向緊性（對于過去時(shí)間的并是緊的）做了研究，并建立了完善的存在性理論，該理論指出，若系統(tǒng)具有一個(gè)單調(diào)遞增的有界的拉回吸收集且系統(tǒng)是后向漸近緊的，則系統(tǒng)存在唯一的后向緊拉回吸引子，從此拉回吸引子的后向緊性的研究受到了廣泛關(guān)注.文獻(xiàn)[7-8]分別建立了非自治3D Navier-Stokes方程和非自治波動(dòng)方程產(chǎn)生的非自治動(dòng)力系統(tǒng)的后向緊吸引子的存在性定理；文獻(xiàn)[9]運(yùn)用能量的方法、高低頻分解、Sobolev嵌入的方法獲得了具有弱耗散非自治Schr?dinger后向緊吸引子的存在性；文獻(xiàn)[10]建立了有界域上非自治Reaction-Diffusion方程后向緊拉回吸引子的存在性定理；文獻(xiàn)[11]研究了非自治Reaction-Diffusion方程在RN上的拉回吸引子的后向緊性.本文主要考慮如下的非自治Reaction-Diffusion方程在Lp（Q）（p≥2）空間上的后向緊動(dòng)力學(xué)：

其中，λ＞0，Q是RN中的有界域，f和g的假設(shè)條件將在后面給出.

首先，在外力項(xiàng)g是后向λ-緩增有限的假設(shè)條件下，證明了此方程生成的動(dòng)力系統(tǒng)在Lp（Q）（p≥2）上有一個(gè)單調(diào)遞增的有界的拉回吸收集.其次，在g是后向絕對連續(xù)的假設(shè)條件下，運(yùn)用一個(gè)后向截?cái)嗟姆椒ㄗC明了該動(dòng)力系統(tǒng)在Lp（Q）（p≥2）上是后向漸近緊的，從而由文獻(xiàn)[6]的Theorem 2.9可知，非自治Reaction-Diffusion方程在 Lp（Q）（p≥2）上存在一個(gè)后向緊的拉回吸引子.

1 預(yù)備知識(shí)

設(shè)（X，‖·‖X）是一個(gè)Banach空間，X上有界集的全體記為 B（X）.為 X 上的 Hausdorff半距離.

定義1.1設(shè) S（t，s）：X→X，?t≥s是定義在X上的一族連續(xù)的映射，如果

那么稱S是一個(gè)非自治的過程.

定義1.2若?t1，t2∈R，當(dāng) t1≤t2時(shí)，若 X 中非自治集 A=｛A（t）｝t∈R滿足 A（t1）?A（t2），則稱A是單增的.

定義1.3設(shè) A=｛A（t）｝t∈R是 X 中的一個(gè)非自治集，若滿足：

2）A具有不變性，即

3）A具有拉回吸引性，即

則稱A是關(guān)于非自治過程S的一個(gè)后向緊吸引子.

為結(jié)果證明的需要，下面將引用文獻(xiàn)[6]中的一個(gè)判定性定理.

定理1.1若定義X上的一個(gè)非自治過程S（·，·）滿足：

（i）S（·，·）在X上存在一個(gè)單增的有界的拉回吸收集 K=｛K（t）｝t∈R；

則S（·，·）存在一個(gè)后向緊拉回吸引子

下面介紹后向Gronwall型不等式，其證明類似于文獻(xiàn)[4]的Lemma 3.3.

引理1.1后向Gronwall型不等式：設(shè)y、y1和y2是R上的局部非負(fù)可積函數(shù)，且y′是R上的局部可積函數(shù)，b≥0是一個(gè)常數(shù)，若?t∈R，有

則對?t∈R，μ＞0有

2 非自治Reaction-Diffusion方程存在唯一的后向緊拉回吸引子

考慮如下具有初邊值條件的非自治Reaction-Diffusion方程

其中，λ＞0，Q是RN中的有界域，對 f和 g做如下假設(shè)：

假設(shè) F設(shè) p ＞2，β1，β2，β3＞0，f（·，·）∈C1（Q ×R，R）滿足：

與文獻(xiàn)[6]中對非自治項(xiàng)的假設(shè)條件不同，假設(shè)如下：

假設(shè)G0.

假設(shè)G1g是后向λ-緩增有限的，即其中，λ是方程（2）中給定的常數(shù)，‖·‖p（p≥2）是 Lp（Q）的范數(shù).

假設(shè)G2g是后向絕對連續(xù)的，即

這里m（A）是集合A的勒貝格測度.

由文獻(xiàn)[12]知，對?s∈R，方程（2）在假設(shè) F和假設(shè)G0下是適定的，即存在唯一的連續(xù)解

且此解關(guān)于初始值u0是連續(xù)的，故可定義如下的非自治過程

2.1 后向一致吸收性與后向截?cái)喙烙?jì)先在Lp（Q）上做一個(gè)后向一致估計(jì)，為了簡化計(jì)算，設(shè)c是變化的正常數(shù).

引理2.1若假設(shè)F和假設(shè)G0、G1滿足，則對于每個(gè)（t，B）∈R ×B（L2（Q）），存在一個(gè)

使得

其中G（t）由假設(shè)G1給出.

2.2 本文主要結(jié)果

定理2.1若條件F和G0～G2成立，則非自治的Reaction-Diffusion方程（2）生成的過程（4），滿足：

（i）在Lp（Q）中有一個(gè)單調(diào)遞增的有界的吸收集 H=｛H（t）｝t∈R；

（ii）S（·，·）在 Lp（Q）中是后向漸近緊的；

（iii）在Lp（Q）中有一個(gè)唯一的后向緊拉回吸引子 A=｛A（t）｝t∈R.

證明（i）設(shè)

其中G（t）是假設(shè)G1中的一個(gè)增的有界的函數(shù)，故由引理2.1知K 是 S（·，·）在 Lp（Q）上的一個(gè)增的有界的吸收集.

（ii）下面證明

在Lp（Q）的拓?fù)湎掠幸粋€(gè)收斂子列，這里

由引理2.2和 τn→ +∞可知存在 N1∈N和M＞0使得

容易驗(yàn)證

其中

由（24）式可知

由（23）式可知：

又由

和（23）式可知

由（25）～（28）式可知

故由（i）和（ii）可知定理2.1的條件滿足，所以（iii）成立.

致謝六盤水師范學(xué)院校級項(xiàng)目（LPSSYKYJJ201801、LPSSYKJTD201907）對本文給予了資助，謹(jǐn)致謝意.