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    隨機(jī)波動(dòng)格點(diǎn)方程的后向緊隨機(jī)吸引子①

    2022-10-29 03:35:46張子怡李揚(yáng)榮
    關(guān)鍵詞:后向格點(diǎn)噪音

    張子怡, 李揚(yáng)榮

    西南大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院, 重慶 400715

    文獻(xiàn)[1-7]研究了吸引子的存在性以及吸引子的后向緊性并建立了相對(duì)完善的理論體系. 文獻(xiàn)[8-10]研究了二階格點(diǎn)方程的吸引子的存在性. 文獻(xiàn)[11]以及文獻(xiàn)[12]研究了帶有非線性噪音的弱吸引子的存在性. 本文將在文獻(xiàn)[11]的基礎(chǔ)上, 研究帶有乘法噪音的非自治隨機(jī)波動(dòng)格點(diǎn)方程的后向緊吸引子的存在性.

    1 非自治隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)的生成

    (1)

    (A1)

    hi(0)=0,α1≤h′i(s)≤α2

    fi(s)s≥η1Fi(s)≥η2|s|2p+2

    (2)

    |fi(s)|≤η3(|s|2p+1+|s|)

    (3)

    (4)

    (5)

    (Bu)i=ui+1-ui, (B*u)i=ui-1-ui, (Au)i=-ui+1+2ui-ui-1, ?u∈2

    則有

    (B*u,v)=(u,Bv), (Au,v)=(Bu,Bv), (Au,u)=(Bu,Bu)=‖Bu‖2≤4‖u‖2, ?u∈2

    (6)

    (7)

    (8)

    則方程(1)可轉(zhuǎn)化為一階隨機(jī)微分方程

    (9)

    Φ(t,τ,ω,φ0)=φ(t+τ,τ,θ-τω,φ0)

    可以驗(yàn)證Φ是一個(gè)非自治的隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng), 即滿足:

    Φ(0,τ,ω, ·)=id,Φ(t+s,τ,ω, ·)=Φ(t,τ+s,θsω, ·)°Φ(s,τ,ω, ·)

    在下文中, 設(shè)D是X中所有后向緩增集構(gòu)成的集族. 集合D∈D當(dāng)且僅當(dāng)

    (10)

    2 解的估計(jì)

    引理1若假設(shè)(A1),(A2),(A3)成立, 則對(duì)任意后向緩增集D∈D, 任意的τ∈R,ω∈Ω, 存在T=T(D,τ,ω)≥1, 使得當(dāng)φs-t∈D(s-t,θ-tω)時(shí), 有

    (11)

    其中

    證方程(9)可以等價(jià)地寫為

    (12)

    其中

    (13)

    (14)

    (15)

    (16)

    (17)

    (18)

    (19)

    又令

    將(17)-(19)式代入(16)式可得

    (20)

    對(duì)(20)式利用Gronwall不等式, 計(jì)算可得

    (21)

    由(2),(3)式易證f(0)=0, ‖f(u)‖≤maxs∈[-‖u‖, ‖u‖]|f′(s)|‖u‖, 則有

    (22)

    (23)

    對(duì)(21)式關(guān)于s∈(-∞,τ]取上確界, 結(jié)合(10)式可知, 存在T(D,s,ω)≥1使得當(dāng)t≥T時(shí), 有

    (24)

    因此(11)式得證, 即

    (25)

    推論1若假設(shè)(A1),(A2),(A3)成立, 由引理1, 方程(9)生成的非自治隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)滿足文獻(xiàn)[3], [13]中拉回后向一致吸收集存在的條件, 即協(xié)循環(huán){Φ(t)}t≥0存在D-拉回后向一致吸收集K∈D, 其中

    (26)

    引理2若假設(shè)(A1),(A2),(A3)成立, 則對(duì)?ε>0, (τ,ω, D)∈(R×Ω×D),φs-t∈D(s-t,θ-tω), 存在T(ε,τ,ω, D)>0,k(ε,τ,ω, D)≥1, 使得

    (27)

    (28)

    易證

    則有

    其中C1,C2為常數(shù), 將(29)-(31)式代入(28)式可知,

    (32)

    對(duì)(32)式運(yùn)用Gronwall引理可得

    (33)

    由于φs-t∈D(s-t,θ-tω)(s≤τ), 結(jié)合(10)式可得

    (34)

    (35)

    (36)

    (37)

    因此, 結(jié)合(23)式和(34)-(37)式可得, 對(duì)任意的ε>0, (τ,ω, D)∈(R×Ω×D),φs-t∈D(s-t,θ-tω), 存在T(ε,τ,ω, D)>0,k(ε,τ,ω, D)≥1, 使得

    引理3若假設(shè)(A1),(A2),(A3)成立, 則協(xié)循環(huán){Φ(t)}t≥0在吸收集K∈D上是后向漸近緊的.

    (38)

    由引理1,φk在E中有界, 從而{(φk,i)|i|≤Nε}k在R2Nε+1中有界, 故{(φk,i)|i|≤Nε}k在R2Nε+1中有一個(gè)有限的ε-網(wǎng), 結(jié)合(38)式可知{φk}在E中有一個(gè)有限的2ε-網(wǎng), 從而{φk}在E中是預(yù)緊的, 即證得協(xié)循環(huán){Φ(t)}t≥0在吸收集K上是后向漸近緊的.

    3 后向緊隨機(jī)吸引子

    定義1一個(gè)非自治的隨機(jī)緊集A∈D稱為關(guān)于非自治協(xié)循環(huán)Φ的D-隨機(jī)吸引子, 若

    (i) A是不變的, 即Φ(t,τ,ω)A(τ,ω)=A(t+τ,θtω),t>0;

    (ii) A在hausdorff半距離意義下是吸收的, 即對(duì)任意D∈D,

    定義2集合A={A(τ,ω)}稱為后向緊的當(dāng)A是緊的且∪s≤τA(s,ω)(τ∈R,ω∈Ω)是預(yù)緊的.

    定理1若假設(shè)(A1),(A2),(A3)成立, 則方程(1)生成的動(dòng)力系統(tǒng)存在后向緊隨機(jī)吸引子.

    證由文獻(xiàn)[13](定理3.9)可知方程(9)生成的非自治隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)Φ(t)存在唯一的后向緊D-拉回吸引子A∈D和唯一的可測(cè)D0-拉回吸引子A0∈D0. 再由文獻(xiàn)[13](定理6.1)知A=A0, 故吸引子A也是隨機(jī)的, 即Φ(t)存在唯一的后向緊D-拉回隨機(jī)吸引子A∈D. 由文獻(xiàn)[6, 15]可知方程(1)與方程(9)生成的隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)共軛, 從而方程(1)存在后向緊隨機(jī)吸引子.

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