C*-代數(shù)中的Birkhoff-James正交性

韓婷婷, 劉樹冬

(曲阜師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院， 山東 曲阜 273165)

1 引言與預(yù)備知識(shí)

為研究賦范線性空間的結(jié)構(gòu),學(xué)者們引進(jìn)多種正交性,建立賦范線性空間的幾何結(jié)構(gòu),其中最引人注目的是Birkhoff-James正交性.近年來,學(xué)者們關(guān)注最多的是有界線性算子的Birkhoff-James正交性,并在研究HilbertC*-模的Birkhoff-James正交性[1]中取得了豐富的研究成果[2-5].但在C*-代數(shù)研究中還未能體現(xiàn)其價(jià)值,原因在于這方面的研究還很少.本文主要研究C*-代數(shù)中的Birkhoff-James正交性,討論并給出C*-代數(shù)中元素Birkhoff-James正交的一些基本性質(zhì),同時(shí)對(duì)C*-代數(shù)中正規(guī)元與單位元的Birkhoff-James正交給出較好的刻畫.

下面給出一些基本概念：

定義1[6]設(shè)X為數(shù)域K上的賦范線性空間,ξ,η∈X.對(duì)任意的λ∈K,若有

‖ξ+λη‖≥‖ξ‖,

則稱ξ與ηBirkhoff-James正交,記為ξ⊥Bη.

定義2[7]設(shè)A是C*-代數(shù),a∈A.

(1) 若a*=a,則稱a為自伴的;

(2) 若aa*=a*a,則稱a為正規(guī)的;

(3) 設(shè)A有單位元I，若存在b∈A,使得ab=ba=I,則稱a為可逆的;

(4) 集合σ(a)={λ∈：λ-a不可逆}稱為a的譜,r(a)=sup{|λ|：λ∈σ(a)}稱為a的譜半徑.

眾所周知,若a是正規(guī)元,則r(a)=‖a‖.

2 主要定理

首先研究自伴元與單位元Birkhoff-James正交的條件.

定理1 設(shè)T為C*-代數(shù)中的自伴元,則T⊥BI的充要條件是±‖T‖∈σ(T).

證明(a)充分性.由于T是自伴的,故對(duì)任意的λ∈,有:

對(duì)任意的λ,可分以下兩種情況:

(1)當(dāng)Reλ≥0時(shí),有:

‖T+λI‖≥|‖T‖+λ|=

(2)當(dāng)Reλ<0時(shí),有:

‖T+λI‖≥|-‖T‖+λ|=

綜上可知,T⊥BI.

(b)必要性.若T⊥BI,則對(duì)任意的λ∈,‖T+λI‖≥‖T‖.由于T自伴,故‖T‖∈σ(T)或-‖T‖∈σ(T).可分以下兩種情況:

(1)若‖T‖∈σ(T),-‖T‖?σ(T),則存在ε>0,使得σ(T)?[-‖T‖+ε,‖T‖].

因此,當(dāng)‖T‖∈σ(T),-‖T‖?σ(T)時(shí),T⊥BI不成立.

(2)若-‖T‖∈σ(T),‖T‖?σ(T),則存在ε>0,使得σ(T)?[-‖T‖,‖T‖-ε].

因此,當(dāng)-‖T‖∈σ(T),‖T‖?σ(T)時(shí),T⊥BI不成立.

綜上可知,T⊥BI不成立.從而±‖T‖∈σ(T).

設(shè)E?,則稱D(E)=sup{|λ-μ|：λ,μ∈E}為E的直徑.若T為C*-代數(shù)中的元素,則D(σ(T))≤2‖T‖.以下兩個(gè)推論由定理1容易證明.

推論1 設(shè)T為C*-代數(shù)中的自伴元,則T⊥BI的充要條件是D(σ(T))=2‖T‖.

推論2 若T為C*-代數(shù)中的正元,則對(duì)任意的非零實(shí)數(shù)λ,λT⊥BI不成立.

證明設(shè)T為正元,則對(duì)任意的非零實(shí)數(shù)λ,有：

σ(λT)={tλ|t∈σ(T)}?{tλ|t∈[0,‖T‖]}.

因?yàn)閷?duì)任意的t1,t2∈σ(T),有:

|t1λ-t2λ|=|t1-t2||λ|≤‖T‖|λ|.

所以

D(λT)≤‖T‖|λ|<2‖λT‖.

從而由推論1知,λT⊥BI不成立.

下面考查正規(guī)元與單位元Birkhoff-James正交的情況.

定理2 設(shè)T為有單位元的C*-代數(shù)中的正規(guī)元.若D(σ(T))=2‖T‖,則T⊥BI.

證明由于D(σ(T))=2‖T‖,故存在θ∈[0,2π],使得‖T‖eiθ,‖T‖ei(θ+π)∈σ(T).對(duì)任意的λ∈,記λ=|λ|eiθ1.對(duì)θ1可分以下兩種情況:

綜上可知,若D(σ(T))=2‖T‖,則T⊥BI.

定理2的逆命題不成立.

(1)若λ位于第一象限,則

(2)若λ位于第二象限,則

‖T-λI‖≥|1-λ|≥1=‖T‖.

(3)若λ位于第三象限,則

‖T-λI‖≥|1-λ|≥1=‖T‖.

(4)若λ位于第四象限,則

‖T-λI‖≥|i-λ|≥1=‖T‖.

綜上可知,T⊥BI,但D(σ(T))≠2‖T‖.

下面討論C*-代數(shù)的單位元與其他元素正交的情況.

定理3 設(shè)A為有單位元的C*-代數(shù),T為A中的正規(guī)元.若T不可逆,則I⊥BT.

證明對(duì)任意的λ∈,有:

因?yàn)門不可逆,所以0∈σ(T),從而

‖I+λT‖≥1=‖I‖.

因此,I⊥BT.

定理4 設(shè)A為有單位元的C*-代數(shù),T為A中的正規(guī)元.若對(duì)任意的λ,存在μ∈σ(T),使得λμ≤0,則I⊥BT.

證明存在0

{reiθ|θ∈[0,2π]}={μ∈||μ|=r}.

對(duì)任意的λ=|λ|eiθ∈,取μ=rei(π-θ),則

λμ=|λ|·r·eiθ·ei(π-θ)=-|λ|·r.

由于T為正規(guī)元,故

‖I-λT‖=r(I-λT)=

因此,I⊥BT.

定理5 設(shè)T為C*-代數(shù)中可逆的正元,則I⊥BT不成立.

證明由于T是可逆的正元,故存在ε>0,使得σ(T)?[ε,‖T‖].

‖I+λT‖=r(I+λT)=

因此,I⊥BT不成立.

推論3 設(shè)T為C*-代數(shù)中的任意元素,則I⊥BT*T的充要條件為T不可逆.

注設(shè)T為C*-代數(shù)中的非零元素,則由推論2知,T*T⊥BI不成立.又由推論3知,I⊥BT*T.這說明C*-代數(shù)中正元的Birkhoff-James正交性不滿足交換律.

定理6 設(shè)A為有單位元的C*-代數(shù),T為A中的自伴元.若f,g∈C(σ(T)),則f(T)⊥Bg(T)的充要條件是f⊥Bg.

證明由函數(shù)演算的相關(guān)結(jié)論可知:

f(T)⊥Bg(T)??任意的λ∈,‖f(T)+λg(T)‖≥‖f(T)‖.

??r(f(T)+λg(T))≥r(f(T)).

??sup{|f(t)+λg(t)|t∈σ(T)}≥sup{|f(t)|t∈σ(T)}.

??f⊥Bg,f,g∈C(σ(T)).

定理7 設(shè)A是C*-代數(shù).若a,b∈A,則a⊥Bb的充要條件是a*⊥Bb*.

證明(a)必要性.由于a⊥Bb,故對(duì)任意的λ∈,‖a+λb‖≥‖a‖,且有:

‖a+λb‖≥‖a‖=‖a*‖.

因此,a*⊥Bb*.

(b)充分性.由于a*⊥Bb*,故對(duì)任意的λ∈，‖a*+λb*‖≥‖a*‖,且有:

‖a*+λb*‖≥‖a*‖=‖a‖.

因此,a⊥Bb.

定理8 設(shè)A是有單位元的C*-代數(shù),a，b∈A.若u為酉元,則a⊥Bb的充要條件是uau*⊥Bubu*.

證明(a)必要性.由于a⊥Bb,故對(duì)任意的λ∈,‖a+λb‖≥‖a‖.

若u為酉算子,則對(duì)任意的x∈A,‖uxu*‖=‖x‖,且有：

‖uau*+λubu*‖=‖u(a+λb)u*‖=

‖a+λb‖≥‖a‖=‖uau*‖.

因此,uau*⊥Bubu*.

(b)充分性.由于uau*⊥Bubu*,故對(duì)任意的λ∈,‖uau*+λubu*‖≥‖uau*‖,且有:

‖a+λb‖=‖u(a+λb)u*‖=

‖uau*+λubu*‖≥‖uau*‖=‖a‖.

因此,a⊥Bb.

定理9 設(shè)A,B是C*-代數(shù),a,b∈A，φ∶A→B為滿同態(tài).若φ是等距,則a⊥Bb的充要條件是φ(a)⊥Bφ(b).

證明(a)必要性.由于a⊥Bb,故對(duì)任意的λ∈,‖a+λb‖≥‖a‖.因?yàn)棣帐菨M同態(tài)和等距,所以可得：

‖φ(a)+λφ(b)‖=‖φ(a+λb)‖=

‖a+λb‖≥‖a‖=‖φ(a)‖.

從而,φ(a)⊥Bφ(b).

(b)充分性.由于φ(a)⊥Bφ(b),故對(duì)任意的λ∈,‖φ(a)+λφ(b)‖≥‖φ(a)‖.因?yàn)棣帐堑染嗟?所以可得:

‖a+λb‖=‖φ(a+λb)‖=

‖φ(a)+λφ(b)‖≥‖φ(a)‖=‖a‖.

從而,a⊥Bb.

定理10 設(shè)A,B是單位C*-代數(shù),φ∶A→B為滿同態(tài),a1,a2∈A,b1,b2∈B,φ(1A)=1B，‖a1‖=‖b1‖,bi=φ(ai).若b1⊥Bb2,則a1⊥Ba2.

證明由于b1⊥Bb2,故存在ρ∈S(B)，使得

因?yàn)榇嬖讦?∈B(A),所以可得ρ1=ρ°φ,從而ρ1(1)=ρ(φ(1A))=1.

另一方面,因?yàn)?=‖ρ1(1)‖≤‖ρ1‖，且‖ρ1‖≤1，所以ρ∈S(A).從而可得:

因此,a1⊥Ba2.

3 結(jié) 語(yǔ)

本文通過研究C*-代數(shù)中元素的 Birkhoff-James 正交性，得到了一些初步的成果.從結(jié)果來看，Birkhoff-James 正交性在C*-代數(shù)中成立的條件比較苛刻，也很難刻畫.我們注意到譜理論在正交性的刻畫中發(fā)揮了重要的作用，這或許能為下一步的工作提供一些思路.