原子核電荷半徑經(jīng)驗(yàn)公式的理論誤差分析

陶 燁， 王小保, 董國香

(湖州師范學(xué)院 理學(xué)院， 浙江 湖州 313000)

隨著實(shí)驗(yàn)設(shè)備的更新和測(cè)量方法的進(jìn)步，越來越多的原子核電荷半徑被測(cè)量.為更好地描述原子核電荷半徑，學(xué)者們提出了很多唯象經(jīng)驗(yàn)公式.本文對(duì)這些經(jīng)驗(yàn)公式進(jìn)行理論誤差分析，依照數(shù)據(jù)得出最合適的參數(shù)，說明Z1/3律和A1/3律哪個(gè)更能準(zhǔn)確地表述半徑，從而為提出更準(zhǔn)確的經(jīng)驗(yàn)公式做準(zhǔn)備.本文根據(jù)文獻(xiàn)[1]選取最新的885個(gè)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，對(duì)相關(guān)原子電荷半徑研究[2]公式的單參數(shù)、兩參數(shù)、三參數(shù)進(jìn)行檢驗(yàn)，并對(duì)公式進(jìn)行理論誤差分析，利用多元回歸分析法得到相關(guān)參數(shù)；采用相關(guān)軟件Origin將數(shù)據(jù)擬合，得出參數(shù)值及誤差范圍；將參數(shù)值及誤差范圍代入公式，驗(yàn)證參數(shù)值的可靠性，得出實(shí)驗(yàn)值與理論值的均方根偏差.本文的創(chuàng)新點(diǎn)在于將多元回歸分析運(yùn)用于參數(shù)值的獲得，避免編制程序，方便更多人理解和運(yùn)用，使實(shí)驗(yàn)簡(jiǎn)單化，利于普遍了解，減少核物理的神秘感，激發(fā)更多人對(duì)核物理的興趣.

文中涉及的公式中，N為中子數(shù)，Z為質(zhì)子數(shù)，A為質(zhì)量數(shù)，r0為核電荷半徑常數(shù).有些公式會(huì)給出相關(guān)系數(shù)R，R越大，誤差越小，變量之間的線性相關(guān)程度越高.

1 原子核電荷半徑經(jīng)驗(yàn)公式

1.1 單參數(shù)公式

本文研究中子數(shù)N≥8和質(zhì)子數(shù)Z≥8的核電荷半徑實(shí)驗(yàn)值.A1/3律的單參數(shù)公式[2]為：

Rc=r0A1/3.

(1)

利用數(shù)據(jù)擬合得：r0=0.845 71±0.000 13 fm；R=0.996 35.根據(jù)均方根偏差公式：

(2)

另有一個(gè)較準(zhǔn)確的Z1/3律單參數(shù)公式[3]：

Rc=r0Z1/3.

(3)

擬合得：r0=1.227 04±0.000 19 fm；R=0.995 04.且值較式(1)明顯減小，說明該式較式(1)更準(zhǔn)確，在描述半徑中Z1/3律比A1/3律更接近真實(shí)值.也有研究證明Z1/3律比A1/3律更準(zhǔn)確[4].

1.2 兩參數(shù)公式

僅用單參數(shù)描述半徑存在的誤差較大.有學(xué)者提出與同位旋相關(guān)的二參數(shù)公式[5]：

(4)

式中，(N-Z)/A為相對(duì)的中子剩余.擬合參數(shù)為：r0=1.005 03±0.000 07 fm；a=0.351 74±0.000 44；=0.070 63；R=0.708 17.該式在前面的基礎(chǔ)上有了進(jìn)一步的提高，說明僅憑單參數(shù)是無法準(zhǔn)確描述半徑的.

把式(4)換成Z1/3律[5]：

(5)

擬合得：r0=1.264 10±0.000 10 fm；a=-0.013 69±0.000 49；=0.072 63.通過比較式(4)和式(5)發(fā)現(xiàn)，A1/3律和Z1/3律兩參數(shù)公式對(duì)半徑描述的準(zhǔn)確度大致相同.

將Z1/3律公式進(jìn)行轉(zhuǎn)換，得：

(6)

擬合得：r0=1.263 07±0.000 09 fm；a=-0.007 98±0.000 18；=0.071 75.通過比較式(4)、式(5)和式(6)發(fā)現(xiàn)，A1/3律和Z1/3律兩參數(shù)公式描述原子核電荷半徑的準(zhǔn)確度大致相同.

1.3 三參數(shù)公式

為準(zhǔn)確地描述原子核半徑，在式(4)的基礎(chǔ)上增設(shè)一個(gè)參數(shù).因式(4)適合描述Z>38的核素.下面的三參數(shù)公式更符合Z≥8的核素[3]：

(7)

擬合得：r0=0.953 18±0.000 15 fm；a=0.156 42±0.000 71；b=2.413 98±0.005 70；=0.042 37.通過對(duì)比發(fā)現(xiàn)，該式比上述所有公式更準(zhǔn)確，對(duì)半徑的描述最接近真實(shí)值.

為形成對(duì)比，用Z1/3律再次研究.該式為：

(8)

擬合得：r0=1.202 65±0.000 17 fm；a=-0.080 95±0.000 28；b=1.136 74±0.002 68；=0.061 44.雖然三參數(shù)比單參數(shù)、二參數(shù)準(zhǔn)確，但A1/3律比Z1/3律更準(zhǔn)確.

1.4 四參數(shù)公式

計(jì)算核電荷半徑值受很多因素影響，考慮到殼效應(yīng)或形變的影響，圣宗強(qiáng)等在文獻(xiàn)[2]中加入Casten因子項(xiàng),用Np表示價(jià)質(zhì)子,用Nn表示價(jià)中子,通過兩者的簡(jiǎn)單組合,NpNn或NpNn/(Np+Nn),可以把原子核的一些物理量聯(lián)系在一起.其中NpNn/(Np+Nn)也稱Casten因子,用P表示.在計(jì)算Casten因子P時(shí),文獻(xiàn)[2]的幻數(shù)選取為:計(jì)算價(jià)質(zhì)子,選取ZM=2、6、14、28、50、82、(114)作為參考質(zhì)子幻數(shù)；計(jì)算價(jià)中子,選取NM=2、8、14、28、50、82、126、(184)作為參考中子幻數(shù).

本文依據(jù)選取的幻數(shù)進(jìn)行參數(shù)擬合.四參數(shù)公式為[2]:

(9)

擬合得：r0=0.948 73±0.000 15 fm；a=0.146 34±0.000 71；b=2.066 06±0.005 99；c=0.357 73±0.001 58；=0.026 15.顯然，修正后的公式誤差減小.說明原子核電荷半徑[6]受很多因素的影響，需考慮更多情況才能更接近真實(shí)值.對(duì)豐中子核素，殼演化現(xiàn)象不僅會(huì)發(fā)生，相應(yīng)的幻數(shù)也會(huì)發(fā)生改變，且不同幻數(shù)的選擇會(huì)影響結(jié)果.因此式(9)還有待進(jìn)一步完善考證.

1.5 五參數(shù)公式

文獻(xiàn)[7]考慮到奇偶擺動(dòng)，提出了五參數(shù)公式，即在(9)式的基礎(chǔ)上增加一項(xiàng)δ，偶偶核δ=1，奇奇核δ=-1，其他情況δ=0.該式為：

(10)

擬合得：r0=0.949 01±0.000 15 fm；a=0.147 40±0.000 7；b=1.987 22±0.006 40；c=0.360 26±0.001 58；d=0.128 71±0.003 71；=0.026 21.結(jié)果與式(9)差別不大.

2 數(shù)值處理方法

對(duì)所有數(shù)據(jù)進(jìn)行多元線性回歸分析.在回歸分析中，如果有兩個(gè)或兩個(gè)以上的自變量，就稱為多元回歸.用多個(gè)自變量的最優(yōu)組合共同預(yù)測(cè)或估計(jì)因變量，要比只用一個(gè)自變量進(jìn)行預(yù)測(cè)或估計(jì)更有效，且更符合實(shí)際.因此多元線性回歸[8]比一元線性回歸的實(shí)用意義更大.

以式(7)Rc=r0(1-a(N-Z)/A+b/A)A1/3為例，該式可以變形為Rc/A1/3=r0-r0a(N-Z)/A+r0b/A,符合Y=A+X1B+X2C的形式，即A=r0；B=-r0a；C=r0b；Y=Rc/A1/3；X1=(N-Z)/A；X2=1/A.根據(jù)最新數(shù)據(jù)分別得Y、X1、X2值，并進(jìn)行回歸處理，借助所得圖像分析得A、B、C值.實(shí)際操作時(shí)加入各值誤差，圖像有明顯的范圍，使參數(shù)有一定的誤差值，數(shù)值會(huì)更準(zhǔn)確.根據(jù)計(jì)算得r0、a、b值.要判斷得到的數(shù)據(jù)是否準(zhǔn)確，可將相關(guān)參數(shù)代入原子核電荷半徑公式.將有關(guān)原子核的N、Z、A等值代入，得到該原子核的理論半徑，再與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)對(duì)比，得出均方根偏差，就可以判斷參數(shù)的可靠性.本文欲讓數(shù)值更準(zhǔn)確，使所有數(shù)據(jù)都有一定的誤差范圍.而像上述所規(guī)定的A、B、C的誤差難以直接引用，故其中有關(guān)誤差的計(jì)算可利用公式得到.若B=AC，則對(duì)ΔB/B=ΔA/A+ΔC/C進(jìn)行計(jì)算就可得出誤差值.該方法是基礎(chǔ)物理明確表明的，故而可靠.由此可見，回歸分析方法在原子核領(lǐng)域有重要的應(yīng)用意義.

3 分析與討論

通過多元回歸方法將得到的參數(shù)值代入相應(yīng)的原子核電荷半徑公式，得到理論計(jì)算值.下面用圖表的形式將實(shí)驗(yàn)值與理論值進(jìn)行對(duì)比，檢驗(yàn)公式的可靠性，結(jié)果見圖1至圖5.為便于比較，各公式用符號(hào)表示，見表1.

表1 各符號(hào)對(duì)應(yīng)公式Tab.1 The corresponding formulas which different labels stand for

表1 (續(xù))

圖1選取的A區(qū)間的質(zhì)量數(shù)為80～130，將單參數(shù)式(1)和式(2)的理論值分別與實(shí)驗(yàn)值比較.從圖1可知，單參數(shù)公式不能很好地描述實(shí)驗(yàn)結(jié)果.但對(duì)比兩種理論計(jì)算發(fā)現(xiàn)，雖然A1/3律單參數(shù)公式的數(shù)值與實(shí)驗(yàn)值相差甚遠(yuǎn)，但趨勢(shì)與實(shí)驗(yàn)值非常接近.從結(jié)果看，單參數(shù)公式Z1/3律要比單參數(shù)公式A1/3律精確.

對(duì)兩參數(shù)來說(圖2)，R3和R4對(duì)原子核電荷半徑的描述幾乎相同，且都較接近真實(shí)值，相對(duì)單參數(shù)而言進(jìn)步巨大.說明(N-Z)/A這個(gè)相對(duì)中子剩余項(xiàng)對(duì)原子電荷半徑的影響較大，這與文獻(xiàn)[9]得出的結(jié)論一致.由于兩參數(shù)公式比單參數(shù)公式多了同位旋項(xiàng)，故對(duì)半徑的描述更準(zhǔn)確.考慮多種因素對(duì)原子電荷半徑的影響，有學(xué)者提出三參數(shù)公式，擬合結(jié)果見圖3.

為方便比較，圖3選取某一區(qū)間數(shù)據(jù)，圖左選取的1/A為0～0.03，圖右選取的1/Z為0～0.03.由圖3可以發(fā)現(xiàn)，增加一項(xiàng)參數(shù)后，經(jīng)驗(yàn)公式的值更貼近實(shí)驗(yàn)值，兩者之間無論是數(shù)值還是趨勢(shì)，都比兩參數(shù)公式有進(jìn)一步的提高.不論是A1/3律還是Z1/3律，都與實(shí)驗(yàn)值重合得很好，說明公式對(duì)這一段原子電荷半徑的描述十分準(zhǔn)確，也說明同一公式對(duì)原子電荷半徑的描述不一定具有相同的準(zhǔn)確度.因?yàn)楣接衅溥m用的范圍，在某一范圍內(nèi)，公式對(duì)其半徑的描述結(jié)果可能不盡如人意，但換另一個(gè)范圍，也許結(jié)果會(huì)符合實(shí)驗(yàn)值.通過對(duì)比圖1、圖2和圖3可以看出，就單參數(shù)而言，A1/3律比Z1/3律的準(zhǔn)確度更高；就兩參數(shù)和三參數(shù)而言，A1/3律與Z1/3律對(duì)半徑的描述準(zhǔn)確度相當(dāng)；單從A1/3律或Z1/3律角度看，三參數(shù)比兩參數(shù)準(zhǔn)確度高，兩參數(shù)比單參數(shù)準(zhǔn)確度高.

圖4選取A區(qū)間的質(zhì)量數(shù)為80～120，將四參數(shù)公式(R8)和三參數(shù)公式(R6)進(jìn)行計(jì)算得到的理論值分別與實(shí)驗(yàn)值比較.從圖4(1)發(fā)現(xiàn)，R6(紅點(diǎn))與R8(藍(lán)點(diǎn))對(duì)原子核電荷半徑的描述幾乎相同，且都較接近真實(shí)值.為觀察明顯，將部分區(qū)間放大，得到圖4(2).由圖4(2)可見，藍(lán)點(diǎn)更接近黑點(diǎn)，即R8比R6更準(zhǔn)確，兩者之間僅差一個(gè)P因子.同時(shí)也看出，R8比R6更貼合實(shí)驗(yàn)值，說明了P因子的重要性.P因子對(duì)解釋集體運(yùn)動(dòng)、形變等原子核低激發(fā)態(tài)結(jié)構(gòu)的性質(zhì)有更好的表達(dá).

由于R8與R9的結(jié)果十分接近，所以圖5(1)中的線依舊重疊在一起.但相比圖4，兩公式并不十分貼合實(shí)驗(yàn)值，說明公式還存在有待完善的空間.不過兩公式的準(zhǔn)確度似乎看不出差別，因此可換一種方式進(jìn)行比較，觀察其理論值與實(shí)驗(yàn)值之差.

圖5(2)所示，若點(diǎn)分布在0附近，說明理論值與實(shí)驗(yàn)值相差不大，公式的準(zhǔn)確度更高.紅、黑兩點(diǎn)的分布趨勢(shì)雖相同，但比較而言，紅點(diǎn)比黑點(diǎn)更趨于0值，波動(dòng)更小，即公式R9的準(zhǔn)確度略高些.兩者相差不大，說明奇偶擺動(dòng)對(duì)原子核電荷半徑影響較小.

4 結(jié) 語

本文根據(jù)最新的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，對(duì)A1/3律和Z1/3律的單參數(shù)、兩參數(shù)、三參數(shù)，以及添加P因子項(xiàng)的四參數(shù)和添加δ項(xiàng)的五參數(shù)原子核電荷半徑的經(jīng)驗(yàn)公式進(jìn)行理論研究.通過多元回歸分析法，擬合得到了參數(shù)的具體數(shù)值及相應(yīng)的誤差范圍；把具體的參數(shù)代入公式，計(jì)算得到了原子核電荷半徑的理論計(jì)算值，并與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行比較，得出各公式的準(zhǔn)確度.

通過研究發(fā)現(xiàn)，考慮的參數(shù)越多，相應(yīng)的公式對(duì)描述原子核電荷半徑更準(zhǔn)確.說明原子核電荷半徑受很多因素的影響，其中，同位旋效應(yīng)對(duì)原子核半徑影響較大；殼效應(yīng)只在某一范圍內(nèi)有較突出的影響；奇偶擺動(dòng)對(duì)原子核電荷半徑雖有影響，但影響較小.對(duì)Z1/3律和A1/3律的選擇要根據(jù)參數(shù)數(shù)量：對(duì)單參數(shù)而言，Z1/3律比A1/3律好；對(duì)其他參數(shù)而言，兩者描述程度相近，或A1/3律比Z1/3律稍好.