方輪之外

楊 潔， 楊夢華， 鄧香輝， 邱為鋼

(1.湖州師范學院 理學院， 浙江 湖州 313000； 2.湖州師范學院求真學院， 浙江 湖州 313000)

0 引 言

在水平地面上平穩(wěn)行駛的車輪形狀是圓形的，這是個很普通的現(xiàn)象，很少有人追問下去.但科學家是一群天性好奇的人，他們會追問：輪子一定是圓形的嗎？有正方形的輪子嗎，這種形狀的輪子在什么樣的軌道上才能平穩(wěn)行駛？能否找到統(tǒng)一的處理方法，一般性地解決車輪和軌道形狀的問題？文獻[1]、[2]找到了方輪問題的答案；文獻[3]找到了一般性的解決方案；文獻[4]發(fā)現(xiàn)，對正方形輪子周期性雙曲余弦函數(shù)軌道，還有3重和5重等多重對稱性輪子能做純滾動，且能保持車輪軸心(質心)高度不變.當然，這些輪子的尺寸大小是不一樣的，重數(shù)越多，車輪的尺寸越大.不過他們的處理方法都是在直角坐標下展開的，表達式較長，不太簡潔美觀.因此轉動過程中出現(xiàn)的轉動角不能自如地展示應有的角色.我們發(fā)現(xiàn)[5]，如以轉動角為參數(shù)，車輪和軌道的參數(shù)方程就能很方便地推導出來，也能很簡單地得到與文獻[4]同樣的結果.

1 理論框架

1.1 形狀函數(shù)與耦合方程

為整體性考慮，先簡要介紹文獻[5]的結論.

設起始時刻車輪的質心與地面參考系的原點重合，也與軸心重合.取質心參考系為坐標原點在車輪質心且與車輪相連的轉動坐標系.在此質心參考系中，車輪上一點的坐標為(x',y'),經過時間t，質心運動到(xc,yc)，同時車輪繞質心轉動θ角度.在地面參考系中，車輪上的這點坐標為：

(1)

設時刻t，(1)式表示的點是車輪與軌道的接觸點，即地面參考系中坐標(x,y)滿足軌道曲線方程F(x,y)=0，質心參考系中坐標(x',y')滿足車輪曲線方程G(x',y')=0.純滾動要求車輪上的這點相對地面的速度為零，即

(2)

因為車輪質心縱坐標保持不變，所以(2)式第二行為：

dθ/dt(cosθx'+sinθy')=0.

(3)

角速度一般不為零，(3)式有解：

cosθx'+sinθy'=0.

(4)

(4)式有以下形式的參數(shù)方程解：

x'=f(θ)sinθ,y'=-f(θ)cosθ，

(5)

其中：f(θ)為形狀函數(shù).把(5)式代入車輪曲線方程G(x',y')=0，就能確定形狀函數(shù)的具體表達式.

另外，(2)式的第一行可以化解為：

dxc=dθ(sinθx'-cosθy').

(6)

把(5)式代入(6)式，積分得到質心橫坐標xc與轉動角θ的表達式：

(7)

把(5)式和(7)式代入(1)式，計算得到軌道上接觸點的表達式：

x=F(θ),y=-f(θ).

(8)

(8)式就是地面軌道曲線的參數(shù)方程.以形狀函數(shù)f(θ)為聯(lián)系，車輪形狀參數(shù)方程(5)式與軌道形狀參數(shù)方程(8)式形成一對耦合方程.為保證車輪能在周期性軌道上轉l次，形狀函數(shù)f(θ)必須是周期性函數(shù)，且滿足：

f(θ)=f(θ+2π/l).

(9)

此時，車輪形狀具有l(wèi)重對稱性，并稱2π/l為轉動角的周期.

1.2 多重對稱性車輪

如果(8)式表示的軌道上還存在其他多重對稱性車輪，那么軌道形狀是不變的，車輪大小是變化的.平移并不改變軌道的形狀，要求新的車輪質心還是在橫坐標軸上移動，那么把(8)式對應的軌道整體向下平移一個距離c,得到新的表達式：

x=F(θ),y=-f(θ)-c.

(10)

平移后的新軌道參數(shù)方程(10)式中θ是參數(shù)角，不是物理上的轉動角.設平移后新軌道對應的新車輪形狀函數(shù)為g(φ).這里的參數(shù)角φ才是物理上的轉動角.由(8)式，新軌道曲線為：

(11)

在一個周期的轉動角范圍內，(10)式和(11)式是完全一樣的.所以

y=-g(φ)=-f(θ)-c.

(12)

dx=g(φ)dφ=f(θ)dθ.

(13)

由(12)式和(13)式可以得到新軌道上新車輪轉動角φ與舊軌道參數(shù)角θ的關系式：

(14)

如果要求新的車輪具有k重對稱性，即參數(shù)角θ轉到2π/l，轉動角φ轉過2π/k，那么軌道豎直平移距離clk必須滿足以下等式：

(15)

可見，(15)式比文獻[4]中的(10)式、(11)式簡潔得多，且容易求解.雖然軌道平移距離可能有解析表達式，但對于數(shù)學軟件來說，解析解和數(shù)值解的效果是一樣的，有時數(shù)值解反而更易處理，所以本文統(tǒng)一采用數(shù)值解.當解得軌道平移距離clk數(shù)值后，反代回(5)式，仍以θ為參數(shù)，新軌道上k重對稱性車輪的形狀參數(shù)方程為：

(16)

分析表明，如果原來的多重對稱性車輪外接一個半徑為r的圓，則頂點處的內角為Φl.那么新的多重對稱性車輪有兩個特點：頂點處的內角不變；新的外界圓半徑為r+ckl.

2 正方形輪

以方輪為例，設正方形的外接圓半徑為1，起始時刻一個頂點在最下方，則方輪一個邊界的方程為：

x'-y'=1.

(17)

把(5)式代入(17)式,得到方輪的形狀函數(shù)為：

(18)

轉動角的周期為π/2，即方輪具有4重對稱性.把(18)式代入(8)式,計算得到的一個周期內軌道參數(shù)方程為：

(19)

消去參數(shù)θ，在直角坐標系中的(19)式可以轉化為雙曲余弦函數(shù).當轉動角超過π/2時，軌道形狀由(19)式周期延申而成.所以正方形車輪對應的是周期性雙曲余弦函數(shù)軌道.

把(18)式代入(15)式，數(shù)值求得的3重和5重對稱性車輪平移參數(shù)為：c43=-0.195 741；c45=0.196 730.由數(shù)學軟件得到方輪軌道上可以平穩(wěn)滾動的3、4、5重對稱性車輪，見圖1.

3 正五邊形輪

設正五邊形的外接圓半徑為1，起始位置的一個頂點在最下方，則五邊形輪其中的一段邊界曲線方程為：

cos(3π/10)x'-sin(3π/10)y'=sin(3π/10).

(20)

把(20)式代入(5)式，計算得到的正五邊形輪形狀函數(shù)為：

(21)

轉動角周期為2π/5，即五邊形輪具有5重對稱性.把(21)式代入(8)式，計算得到的軌道參數(shù)方程為：

(22)

這個軌道同樣也是周期性雙曲余弦函數(shù)形.把(22)式代入(15)式，數(shù)值求得的4重和6重對稱性車輪平移參數(shù)為c54=-0.172 801，c56=0.173 070.由數(shù)學軟件得到的正五邊形車輪軌道上4、5、6重對稱性車輪見圖2.

其他正多邊形車輪、橢圓車輪和星形車輪及相應軌道，可以仿照上述例子計算得到.本研究制作的方輪軌道上的實際車輪模型見圖3.

4 結 論

文獻[4]以直角坐標系中的橫坐標x為基本變量，把縱坐標y和轉動角θ表示為橫坐標x的函數(shù).本文以轉動角θ為基本變量，把直角坐標系中的x和y表示為轉動角θ的函數(shù).相對文獻[4]的方法，本文所采用的轉動參數(shù)角方法物理意義明顯，容易轉化為數(shù)學程序處理.我們用此方法得到了方輪軌道和正五邊形輪軌道上系列多重對稱車輪滾動的動畫模擬和實際模型，且很方便地推廣到一般性的多重對稱性車輪.有興趣的讀者可以利用此方法制作更多有趣的不同形狀的車輪和軌道，為科技館和電視科普所用.