誤差為線性AR過程回歸模型HD估計的弱收斂速度

徐立峰

(湖北師范大學 數(shù)學與統(tǒng)計學院，湖北 黃石 435002)

0 引言

考慮如下回歸模型

(1)

其中yt∈R,xt=(xt,1,xt,2,…,xt,d)T∈Rd.β是d維未知參數(shù)，et是一般線性AR過程

e0=0et=atet-1+bt+ηt

(2)

其中ηt是非退化i.i.d隨機噪聲，Eηt=0,Dηt=σ2(σ>0)，但σ也是待估的未知參數(shù)，為保證AR過程的平穩(wěn)性，我們總假定|at|<1.

模型(1)(2)包含了許多被廣泛研究的模型,例如at=bt=0時，即普通的回歸模型，而Maller[1],Pere[2], Hu[3]研究了at=a,bt=0的情形。

眾所周知，估計量的統(tǒng)計性質嚴重地依賴于所假定的概率模型，而概率模型的正確性假定往往是脆弱的，因此考慮估計量在偏離原模型假定的條件下的“穩(wěn)健性”(robustness)就成為很重要的問題.因此近50年來，具有良好穩(wěn)健性的統(tǒng)計量不斷被討論,Huber-Dutter(HD)估計就是受到廣泛關注的穩(wěn)健估計之一(參見[4～8]).

1 估計方法

(3)

其中ρ是非負凸函數(shù)，ρ(0)=0,ρ(t)/|t|→k(|t|→∞,k>0)，{An}是適當選擇的正常數(shù)序列。

(4)

(5)

(6)

(7)

2 主要結果與證明

為得到本文的結果，我們需要引入如下條件

注 條件(A1)弱于[4,9,8]中對應的條件。(A2)弱于[8,10]中相應條件。而[4,8,5]用到了類似于(A3)或更強的條件。

本文主要結果如下

(8)

證明 記ξt=bt+ηt，則

(9)

由(2)迭代得

et=atet-1+ξt=at(at-1et-2+ξt-1)+ξt=atet-1et-2+atet-1+ξt

=atet-1(at-2et-3+ξt-2)+atξt-1+ξt=…

=atet-1…a3a2ξ1+atat-1…a3ξ2+atat-1…a4ξ3+…+atet-1ξt-2+atξt-1+ξt

(10)

記[atat-1…a3a2b1+atat-1…a3b2+…+atat-1bt-2+atbt-1+bt]+

[atat-1…a3a2η1+atat-1…a3η2+…+atat-1ηt-2+atηt-1+ηt]=J1+J2，則

|J1|≤{|atat-1…a3a2|+|atat-1…a3|+…+|atat-1|+|at|+1}M

(11)

由獨立性和二階矩的正交性，

由于

(12)

設Fn(λ)是Q(λ)的Hessian矩陣，即

(13)

其中*表示使Fn(λ)成為對稱矩陣的元素。

經(jīng)計算可得

(14)

(15)

(16)

記

(17)

其中λt=βl(l=1,2,…,d),λd+1=σ.

第二步，我們證明

(18)

由(14)，對?i,j

(19)

(20)

事實上，由Taylor公式

(21)

其中Rn(r,s)第l個元素為

(22)

對‖r‖≤k，有