函數(shù)思想在高中解題中的應(yīng)用策略探究

摘?要：函數(shù)是描述客觀世界變化規(guī)律的一種數(shù)學(xué)模型，不同的變化現(xiàn)象可以用不同的函數(shù)模型來描述。而解決數(shù)學(xué)問題的過程就是應(yīng)用各種數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)知識來分析客觀問題的過程，函數(shù)思想便是其中的一種。借助函數(shù)思想能夠有效地轉(zhuǎn)化一些較難數(shù)學(xué)問題，幫助學(xué)生提高解題效率和正確率。本文筆者重點以高中數(shù)學(xué)教學(xué)為例，探討函數(shù)思想在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué);函數(shù)思想;解題

一、 前言

高中數(shù)學(xué)對于大部分學(xué)生而言是一門高難度課程，不僅需要學(xué)生扎實的理論基礎(chǔ)，同時也需要學(xué)生具備良好數(shù)學(xué)思維，合理應(yīng)用不同數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)思想綜合分析問題，如此方可學(xué)好數(shù)學(xué)，解決數(shù)學(xué)問題。從歷年高考數(shù)學(xué)題型可以看出，高考更注重考查學(xué)生數(shù)學(xué)思維、綜合分析能力。從這一層面而言，我們數(shù)學(xué)教師在日常教學(xué)中應(yīng)該注重學(xué)生數(shù)學(xué)思維培養(yǎng)，加強能力鍛煉。將函數(shù)思想貫徹于數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，引導(dǎo)學(xué)生巧妙應(yīng)用函數(shù)思想解決數(shù)學(xué)問題就是對學(xué)生思維能力培養(yǎng)的過程。所以，研究函數(shù)思想在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用已然成為新時代數(shù)學(xué)教學(xué)的重要課題。

二、 函數(shù)思想解讀

函數(shù)思想和眾多數(shù)學(xué)思想一樣，例如數(shù)形結(jié)合思想，它既是一種數(shù)學(xué)思想，同時也是一種解題方式。換言之即是：學(xué)習(xí)了函數(shù)相關(guān)知識，能夠利用變量與函數(shù)來分析各類數(shù)學(xué)問題，將其他類型的數(shù)學(xué)問題巧妙地轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，從而快速解題的過程就是函數(shù)思想的應(yīng)用過程。從函數(shù)性質(zhì)相關(guān)知識來看，指導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用函數(shù)思想解題的重點是啟發(fā)學(xué)生將函數(shù)思想作為一種思維工具，也就是面對一道數(shù)學(xué)題，首先可以從函數(shù)性質(zhì)的角度切入，分析其是否能夠從函數(shù)的角度解題，如果可以，則根據(jù)題干構(gòu)建出一個函數(shù)模型，或者直接利用函數(shù)性質(zhì)分析問題，從而順利解決數(shù)學(xué)問題。

高中數(shù)學(xué)教學(xué)大綱明確指出：函數(shù)思想是高考重點考查的一種數(shù)學(xué)思維，對學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)非常重要。倘若學(xué)生只掌握了函數(shù)知識，但卻不能夠靈活應(yīng)用函數(shù)思想，這對解決實際問題也無甚幫助，在面對很多數(shù)學(xué)問題時，很難主動地想到用函數(shù)思想解題，尤其是遇到數(shù)列問題時，數(shù)列題型和函數(shù)題型看似關(guān)聯(lián)度不高，實則從本質(zhì)而言，數(shù)列也是一種特殊函數(shù)。所以，指導(dǎo)學(xué)生靈活運用函數(shù)思想，定然是有利于提高學(xué)生解題效率的。

三、 函數(shù)思想在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用實踐

（一）應(yīng)用函數(shù)思想解決不等式問題

不等式是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容，也是高考數(shù)學(xué)必考內(nèi)容之一，但不等式這部分內(nèi)容相比較于其他數(shù)學(xué)內(nèi)容而言，難度較小，也容易找到解題規(guī)律，其中函數(shù)思想就是解不等式的一種重要規(guī)律和技巧。利用函數(shù)思想、數(shù)形結(jié)合思想，根據(jù)函數(shù)圖象的分布區(qū)間可以直觀地表示不等式，節(jié)約了學(xué)生計算分析不等式的時間，同時還有利于提高解題效率。關(guān)于函數(shù)思想在不等式解題中的具體應(yīng)用，筆者綜合多年經(jīng)驗，總結(jié)了如下類型：

1. 利用函數(shù)的單調(diào)性解決不等式問題

函數(shù)的單調(diào)性常用來證明、判斷、比較數(shù)的大小、求單調(diào)區(qū)間等問題。通用范式就是將不等式轉(zhuǎn)化為函數(shù)f（x）≥a或f（x）≤a，左邊是函數(shù)y=f（x）解析式，若右邊a是某個自變量x′的函數(shù)值，即f（x′）=a，則可利用函數(shù)單調(diào)性直接解不等式。例如：已知函數(shù)f（x）=11+x+lg1-x1+x。①判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性;②求解關(guān)于x的不等式f[（x）（x-1）]<1。此題只需要建構(gòu)函數(shù)模型，利用函數(shù)的單調(diào)性既可以解決問題。

2. 利用函數(shù)周期性解決不等式問題

在高中數(shù)學(xué)題型中，我們常?？梢钥吹接行┖瘮?shù)具有周期性，要求解決不等式。針對這類不等式與函數(shù)問題，我們只需要引導(dǎo)學(xué)生求解出長度為一個周期區(qū)間上的不等式解，即可以求出整個定義域內(nèi)的不等式解。例如：已知函數(shù)f（x）對于一切x都有f（x+1）=f（1-x），當(dāng)x∈[1，2]時，f（x）=logax（a>1），要求 x∈[-1，1]，f（x）的解析式;如果函數(shù)f（x）的最大值為12，解不等式f（x）>14。此題重點就在于函數(shù)周期性原理，只要學(xué)生掌握函數(shù)的周期性，就能夠巧妙地轉(zhuǎn)化問題，快速解題。

（二）應(yīng)用函數(shù)思想解決數(shù)列問題

數(shù)列可以說是高中數(shù)學(xué)知識中比較復(fù)雜的一種題型，有些數(shù)列問題計算量大，容易出錯。但數(shù)列同時也是高中數(shù)學(xué)知識中比較有規(guī)律可循的一類問題，只要我們教師善于引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律，結(jié)合函數(shù)知識，定能突破這一難題。通常，利用函數(shù)思想解決數(shù)學(xué)問題主要可以從如下幾方面著手：一是利用函數(shù)概念解決數(shù)學(xué)問題，比如函數(shù)圖象上坐標(biāo)點的意義、復(fù)合函數(shù)的概念、函數(shù)零點概念等;二是利用函數(shù)圖象來直觀地分析數(shù)列問題，尤其是利用函數(shù)圖象的單調(diào)區(qū)間分析數(shù)列問題。關(guān)于數(shù)列和函數(shù)的轉(zhuǎn)化，筆者結(jié)合多年教學(xué)經(jīng)驗，總結(jié)了如下規(guī)律表1：

數(shù)列通項公式對應(yīng)函數(shù)

等差數(shù)列an=a1+（n-1）d=dn+（a1-d）y=ax+b（a≠0時為一次函數(shù)）

等比數(shù)列an=a1qn-1=a1q·qny=Aqn（指數(shù)型函數(shù)）

數(shù)列前n項和公式對應(yīng)函數(shù)

等差數(shù)列Sn=na1+n（n-1）2d=d2n2+（a1-d2）ny=an2+bn（a≠0時為二次函數(shù)）

等比數(shù)列Sn=a1（1-qn）1-q=-a11-q·qn+a11-qy=Aqn+b（指數(shù)型函數(shù)）

例如：①等差數(shù)列{an}中，Sm=Sn，（m≠n），則Sm+n=????。②等差數(shù)列{an}中，a1=25，前n項和為Sn，若S3=S11，n為何值時Sn最大？

第①題將數(shù)列轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，利用函數(shù)圖象對稱性即可解決;第②題可將等差數(shù)列的n項和Sn看成一個關(guān)于n的二次函數(shù)Sn=d2n2+a1-d2n，（n，Sn）是拋物線f（x）=d2x2+a1-d2x上的離散點，結(jié)合二次函數(shù)圖象開口，對稱軸等知識即可以解題。

實踐證明，利用函數(shù)思想轉(zhuǎn)化數(shù)列問題，不僅減小了數(shù)列題型的計算難度，同時也更加直觀形象，解題效率也更高。我們高中數(shù)學(xué)教師一定要在日常教學(xué)中指導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用函數(shù)思想解決數(shù)列問題，以函數(shù)的觀點去揭開數(shù)列神秘的“面紗”。

（三）應(yīng)用函數(shù)思想解決數(shù)學(xué)應(yīng)用題

數(shù)學(xué)應(yīng)用題屬于綜合類題型，考查學(xué)生多方面能力，比如閱讀能力、理解能力、分析能力、轉(zhuǎn)化能力、解題能力。大部分學(xué)生對數(shù)學(xué)應(yīng)用題都是“嗤之以鼻”的態(tài)度，常常畏懼應(yīng)用題的難度，看到應(yīng)用題就退縮。針對這一現(xiàn)狀，筆者在教學(xué)中嘗試指導(dǎo)學(xué)生利用函數(shù)思想解決數(shù)學(xué)應(yīng)用題。以一般線性規(guī)劃問題為例，在教學(xué)實踐中，筆者重點引導(dǎo)學(xué)生將應(yīng)用題的情境與函數(shù)對應(yīng)起來，指導(dǎo)學(xué)生建立函數(shù)模型，具體解題步驟總結(jié)如下：

首先要求學(xué)生讀懂題意，結(jié)合題干中的變量x，y列出線性約束條件;其次指導(dǎo)學(xué)生確定線性目標(biāo)函數(shù)z=f（x，y）;接著要求學(xué)生畫出可行域;最后直接利用線性目標(biāo)函數(shù)作平行直線系y=f（x）（z為參數(shù)），觀察圖象找最值。整個過程其實是函數(shù)思想與數(shù)形結(jié)合思想的綜合運用。

例如：一工廠預(yù)備生產(chǎn)甲、乙兩類產(chǎn)品，生產(chǎn)這些產(chǎn)品的設(shè)備一共有A、B、C、D四種，甲、乙產(chǎn)品在各設(shè)備上需要的加工臺時數(shù)如下表格（表2）所示，已知各設(shè)備在計劃期內(nèi)有效臺時數(shù)分別是12，8，16，12（一臺設(shè)備工作一小時稱為一臺時），一件甲產(chǎn)品可得利潤2元，一件乙產(chǎn)品可得利潤3元，該廠應(yīng)該如何安排計劃，生產(chǎn)利潤才會最大？

解題分析：第一步指導(dǎo)學(xué)生列出關(guān)于產(chǎn)品甲和乙生產(chǎn)件數(shù)對應(yīng)的函數(shù)分別將甲和乙看成是函數(shù)的自變量和因變量x，y，第二步，結(jié)合表格給出數(shù)量關(guān)系列出不等式，2x+2y≤12;x+2y≤8;4x≤16;4y≤12;x≥0;y≥0，第三步作畫，利用函數(shù)知識解題。

從目標(biāo)函數(shù)z=2x+3y，作直線2x+3y=t，結(jié)合圖象可以看出，2x+3y=t在A點時，其與y軸的截距是最大的，此時t值最大，求出A點坐標(biāo)為（4，2），也就是x=4，y=2時該廠獲得的利潤最大。將x和y的值再帶回目標(biāo)函數(shù)，即可解得該廠的最大利潤值。

需要強調(diào)的是，利用函數(shù)思想解決線性規(guī)劃應(yīng)用題時，我們要指導(dǎo)學(xué)生嚴格按照步驟解題，避免遺漏約束條件。當(dāng)然，線性規(guī)劃類應(yīng)用題實則也是數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用過程，我們在指導(dǎo)學(xué)生解決這類問題時，要重點培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合思想，啟發(fā)學(xué)生讀題、畫圖、識圖、解題。

四、 結(jié)束語

綜上所述，高中數(shù)學(xué)問題是復(fù)雜多變的，考查的內(nèi)容也是非常廣泛的。我們教師應(yīng)該指導(dǎo)學(xué)生“以不變應(yīng)萬變”，始終相信“萬變不離其宗”，只有基礎(chǔ)扎實，思維靈活，能夠?qū)⒉煌瑪?shù)學(xué)知識架構(gòu)成知識體系，靈活運用數(shù)學(xué)思維一定能夠找到數(shù)學(xué)問題的突破口。比如本文所探討的函數(shù)思想，既可以用于不等式問題，也可以用于數(shù)列問題、應(yīng)用題，夯實基礎(chǔ)，掌握思想，數(shù)學(xué)問題也并沒有那么難。當(dāng)然，以上關(guān)于函數(shù)思想在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用僅為筆者經(jīng)驗之談，希望能夠有拋磚引玉之用。

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作者簡介：

朱琳雪，福建省泉州市，福建省泉州市石獅市華僑中學(xué)。