初中數(shù)學(xué)幾何最值問(wèn)題探究

丁力

[摘 ?要] 幾何最值問(wèn)題是初中數(shù)學(xué)常見(jiàn)的問(wèn)題類型，涉及眾多知識(shí)點(diǎn)，問(wèn)題形式也較為多變. 該類問(wèn)題的求解需要把握常見(jiàn)的問(wèn)題模型，理解問(wèn)題本質(zhì)，結(jié)合相關(guān)知識(shí)來(lái)合理轉(zhuǎn)化. 文章對(duì)幾何最值問(wèn)題加以探究，解讀基本模型，探究典型問(wèn)題，提出相應(yīng)的學(xué)習(xí)建議.

[關(guān)鍵詞] 幾何;最值;模型;將軍飲馬;線段和

問(wèn)題背景

從最值問(wèn)題的特點(diǎn)來(lái)看，其類型主要分為幾何與代數(shù)兩類，其中幾何最值更為常見(jiàn)，也最具代表性，其中涉及角度、常見(jiàn)的幾何圖形、坐標(biāo)軸和拋物線等知識(shí)內(nèi)容，重點(diǎn)考查學(xué)生“兩點(diǎn)之間線段最短”“垂線段最短”“線段平移”等知識(shí)點(diǎn). 學(xué)習(xí)時(shí)需要掌握常見(jiàn)的問(wèn)題原型，例如將軍飲馬和選址問(wèn)題等. 求解的總體思路是利用軸對(duì)稱特性來(lái)實(shí)現(xiàn)線段的由“折”化“直”，從而可以利用幾何定理來(lái)確定最值情形.

模型解讀

幾何最值的問(wèn)題形式較為多變，但其中的基本幾何模型是固定的，模型如下.

模型條件：如圖1所示，點(diǎn)A和B是直線l同側(cè)的兩個(gè)定點(diǎn)，點(diǎn)P是直線l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).

模型問(wèn)題：分析點(diǎn)P的位置，何時(shí)可使PA+PB的值最小.

解題方法 作點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)，設(shè)為A′，連接A′B，與直線l的交點(diǎn)就為滿足條件時(shí)點(diǎn)P的位置，此時(shí)PA+PB=A′P+PB=A′B.

方法解讀 由軸對(duì)稱特性可知PA=A′P，從而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求A′P+PB的最小值，其中涉及A′、P和B三點(diǎn)，基于“兩點(diǎn)之間線段最短”原理可知：當(dāng)A′、P和B三點(diǎn)共線時(shí)，A′P+PB取得最小值，從而實(shí)現(xiàn)了線段的化“折”為“直”.

問(wèn)題探究

幾何最值的問(wèn)題類型有多種，設(shè)問(wèn)形式也不相同，在實(shí)際求解時(shí)需要結(jié)合相應(yīng)的知識(shí)來(lái)簡(jiǎn)化問(wèn)題，然后結(jié)合幾何基本模型求解，下面將對(duì)其中常見(jiàn)的三種最值問(wèn)題進(jìn)行探究.

類型一：幾何中的線段和最值

例1 如圖2所示，四邊形ABCD為正方形，△ABE為等邊三角形，點(diǎn)M是對(duì)角線BD（不與點(diǎn)B重合）上的一點(diǎn). 現(xiàn)將線段BM以點(diǎn)B為旋轉(zhuǎn)中心逆時(shí)針轉(zhuǎn)60°，點(diǎn)B落在了點(diǎn)N處，連接EN、AM和CM，回答下列問(wèn)題.

（1）求證：△AMB與△ENB全等.

（2）①點(diǎn)M位于何位置時(shí)，線段和AM+CM可取得最小值;

②點(diǎn)M位于何位置時(shí)，線段和AM+BM+CM可取得最小值，請(qǐng)說(shuō)明理由.

解析 （1）根據(jù)正方形和全等三角形的性質(zhì)即可獲得全等條件，過(guò)程略.

（2）①點(diǎn)M位于對(duì)角線BD上，根據(jù)“兩點(diǎn)之間，線段最短”可知線段AC與BD的交點(diǎn)為M時(shí)就是最小值的情形，此時(shí)點(diǎn)M為BD的中點(diǎn).

②求線段和的最小值，需要采用等線段轉(zhuǎn)化的方式，連接CE、MN，過(guò)點(diǎn)E作CB延長(zhǎng)線上的垂線，垂足為點(diǎn)F，如圖3. 由（1）問(wèn)可知△AMB？艿△ENB，則有AM=EN，∠MBN=60°，MB=NB，所以△BMN為等邊三角形，故BM=MN，則AM+BM+CM=EN+MN+CM. 根據(jù)“兩點(diǎn)之間，線段最短”，當(dāng)點(diǎn)E、N、M和C四點(diǎn)共線時(shí)，EN+MN+CM=EC，點(diǎn)M位于EC與BD的交點(diǎn)處，此時(shí)距離最短.

評(píng)析 上述是關(guān)于幾何圖形的線段和最值，涉及三線、四點(diǎn)，但求解的基本思路和原理是一致的，采用軸對(duì)稱變換的方式來(lái)化“折”為“直”，結(jié)合共線原理來(lái)確定最值情形. 幾何最值問(wèn)題實(shí)則就是幾何動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，求解的過(guò)程可以視為化“動(dòng)”為“靜”，因此需要采用動(dòng)態(tài)的眼光來(lái)審視問(wèn)題，結(jié)合幾何定理來(lái)嚴(yán)謹(jǐn)論證.

類型二：幾何圖形的周長(zhǎng)最值

例2 如圖4所示，在四邊形ABCD中，已知∠C=50°，∠B=∠D=90°，點(diǎn)E和F分別位于線段BC和DC上，試分析△AEF的周長(zhǎng)取得最小值時(shí)∠EAF的度數(shù).

解析 本題目屬于周長(zhǎng)最值問(wèn)題，求∠EAF的度數(shù)顯然需要首先確定△AEF周長(zhǎng)最小值時(shí)的情形. L△AEF=AE+AF+EF，顯然需要參照基本最值模型，通過(guò)軸對(duì)稱轉(zhuǎn)化的方式來(lái)實(shí)現(xiàn)共線，確定最值情形. 過(guò)點(diǎn)A作關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)M，以及關(guān)于CD的對(duì)稱點(diǎn)N，連接MN，設(shè)與BC和CD的交點(diǎn)為E和F，此時(shí)點(diǎn)M、E、F、N四點(diǎn)共線，AE+AF+EF=EM+NF+EF=MN，△AEF的周長(zhǎng)最小. 根據(jù)軸對(duì)稱特性可知∠M=∠BAE，∠N=∠DAF，在四邊形中∠BAD=130°，在△AMN中有∠M+∠N=50°，所以∠BAE+∠DAF=50°，則∠EAF=130°-50°=80°.

評(píng)析 上述是關(guān)于幾何周長(zhǎng)的最值問(wèn)題，結(jié)合周長(zhǎng)公式很容易將其轉(zhuǎn)化為線段和的最值，其特點(diǎn)在于涉及的線段、關(guān)鍵點(diǎn)更多，因此在實(shí)際分析時(shí)需要多次進(jìn)行軸對(duì)稱變換，但基本原理不變.

類型三：拋物線背景下的線段最值

（1）若拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A和B，試求拋物線的解析式.

（3）在（2）的情況下，若沿AC方向任意滑動(dòng)時(shí)，設(shè)拋物線與AC的另一交點(diǎn)為Q，取BC中點(diǎn)N，分析NP+BQ是否存在最小值？若存在，請(qǐng)求出該最小值;若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

解析 本題目的第（3）問(wèn)為拋物線背景下的線段和最小值問(wèn)題，可以參照將軍飲馬問(wèn)題的模型，解題的關(guān)鍵是確定圖中哪條直線為“河”，一般情況下以角平分線作為河. 作圖過(guò)程與基本模型相同，差異點(diǎn)主要集中在求解線段長(zhǎng)上，拋物線中可利用點(diǎn)坐標(biāo)的距離公式來(lái)求線段長(zhǎng).

評(píng)析 上述是拋物線背景下的線段和最值問(wèn)題，拋物線是初中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容，該內(nèi)容含有代數(shù)與幾何的雙重特性，該背景下的線段和最值問(wèn)題具有兩大特點(diǎn)：一是計(jì)算線段長(zhǎng)需要結(jié)合點(diǎn)坐標(biāo)，二是確定模型中的對(duì)稱軸需要結(jié)合其中的角平分線. 而解題的總體思路是相一致的，通過(guò)軸對(duì)稱變換來(lái)實(shí)現(xiàn)線段和的化“折”為“直”.

思考建議

求解幾何最值問(wèn)題的策略有很多，“將軍飲馬”問(wèn)題模型是最常用的方法策略，適用于單純的幾何線段和最值、幾何圖形的周長(zhǎng)最值以及拋物線背景下的線段最值. 解題時(shí)需要明晰模型破題的核心內(nèi)容——軸對(duì)稱線段等長(zhǎng)變換，上述呈現(xiàn)了三類問(wèn)題的求解思路和方法技巧，下面提出幾點(diǎn)學(xué)習(xí)建議.

1. 關(guān)注問(wèn)題模型，掌握方法本質(zhì)

本文的最值模型的解析過(guò)程中涉及了軸對(duì)稱變換和“兩點(diǎn)之間，線段最短”的共線定理，也是解決幾何線段和最值問(wèn)題的核心內(nèi)容. 學(xué)習(xí)該類問(wèn)題的解題策略就需要關(guān)注模型本質(zhì)，了解解題思路的構(gòu)建方法，即通過(guò)軸對(duì)稱變換使同側(cè)線段轉(zhuǎn)換到參考線的兩側(cè)，從而為后續(xù)的點(diǎn)共線、化“折”為“直”提供可能. 因此在探究經(jīng)典問(wèn)題時(shí)需要深入了解問(wèn)題模型，掌握解題原理，總結(jié)問(wèn)題特點(diǎn)，強(qiáng)化基礎(chǔ)知識(shí)，提升解題靈活性.

2. 強(qiáng)化推理能力，提升解題思維

幾何最值問(wèn)題是中考數(shù)學(xué)的經(jīng)典問(wèn)題之一，在探究解決過(guò)程中需要通過(guò)軸對(duì)稱變換來(lái)轉(zhuǎn)化問(wèn)題，利用共線定理來(lái)確定最值情形. 該過(guò)程需從動(dòng)態(tài)角度來(lái)加以分析，因此對(duì)學(xué)生的思維方式和能力有著較高的要求，在實(shí)際探究時(shí)需要注重分析推理，提升解題思維. 而在實(shí)際教學(xué)中，教師要有意識(shí)、有目的地通過(guò)變換問(wèn)題條件、重組問(wèn)題結(jié)構(gòu)，引導(dǎo)學(xué)生大膽猜想、嚴(yán)謹(jǐn)論證，親身經(jīng)歷數(shù)學(xué)模型建立、證明的過(guò)程，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展.