關(guān)于一次函數(shù)綜合題的探析與思考

葛波

[摘 ?要] 以一次函數(shù)為背景的綜合題是中考的重點(diǎn)問題，該類問題往往與幾何內(nèi)容綜合考查，問題特點(diǎn)較為鮮明，一般圖像較為復(fù)雜，側(cè)重考查特殊圖形的幾何性質(zhì)和屬性文章以一道一次函數(shù)與幾何綜合題為例，開展突破探究、解后思考，并提出相應(yīng)的教學(xué)建議.

[關(guān)鍵詞] 一次函數(shù);綜合題;面積;等腰三角形

一次函數(shù)是初中數(shù)學(xué)函數(shù)部分的重點(diǎn)知識，也是中考的熱點(diǎn)內(nèi)容，需要學(xué)生掌握一次函數(shù)的基礎(chǔ)知識，并能把握函數(shù)的關(guān)聯(lián)內(nèi)容，提升解決綜合問題的能力，下面以一道一次函數(shù)綜合題為例，開展問題剖析，思路突破.

解后思考，變式探討

上述是一次函數(shù)與幾何相結(jié)合的綜合題，主要考查了兩者的兩個結(jié)合點(diǎn)：一是函數(shù)背景下幾何面積模型的構(gòu)建，二是實(shí)現(xiàn)特殊三角形特殊性質(zhì)的坐標(biāo)方程化. 命題形式較為獨(dú)特，合理構(gòu)建輔助線來輔助思考是解題的關(guān)鍵，下面對其進(jìn)行深入探討.

1. 關(guān)于典型問題的解法剖析

考題的第（2）問求滿足面積比值關(guān)系的點(diǎn)是否存在，問題的核心為構(gòu)建一般三角形的面積模型. 上述采用了常見的面積割補(bǔ)法，即將一般三角形分為幾個較為特殊的三角形，通過求小三角形的面積來完成求解，所不同的是上述在進(jìn)行割補(bǔ)時充分結(jié)合了坐標(biāo)軸以及已知點(diǎn)坐標(biāo)，對其進(jìn)行整體化歸，這也是該類問題常見的簡化方式. 對于該問題還可以采用補(bǔ)形法，即依托原三角形來構(gòu)建矩形，然后通過減去矩形中的小三角形來求解. 而第（3）問求解三角形為等腰三角形時的直線解析式，上述把握特殊三角形的腰長相等特性，將其轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)系中點(diǎn)的距離關(guān)系，同時設(shè)定點(diǎn)的坐標(biāo)參數(shù)，結(jié)合勾股定理來構(gòu)建關(guān)于線段長的代數(shù)方程.

2. 關(guān)于典型問題的變式探討

開展問題拓展探討有助于提升學(xué)生對問題的理解，下面基于考題的后兩問進(jìn)行變式.

第（3）問變式：試分析y軸上是否存在一點(diǎn)H，使得△DEH為直角三角形，若存在，請求出點(diǎn)G的坐標(biāo);若不存在，請說明理由.

突破提示 該變式基于特殊三角形，討論存在情形，其中沒有設(shè)定直角，分析可知需要分∠E和∠H兩種情形. 求解時可以設(shè)定點(diǎn)G的坐標(biāo)參數(shù)，然后基于勾股定理來構(gòu)建代數(shù)方程，通過解方程的形式來求出點(diǎn)G的具體坐標(biāo).

復(fù)習(xí)指導(dǎo)，教學(xué)建議

上述是關(guān)于一次函數(shù)與幾何綜合題的突破探討，對考題的問題特點(diǎn)、設(shè)問形式、突破思路和變式問題進(jìn)行了探究，對于后續(xù)的學(xué)習(xí)具有一定的指導(dǎo)價(jià)值，下面基于復(fù)習(xí)備考提出幾點(diǎn)教學(xué)建議.

1. 重視基礎(chǔ)鞏固，破題過程應(yīng)立足教材

一次函數(shù)是初中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容，也是函數(shù)研究的基礎(chǔ)知識，開展函數(shù)綜合題探究應(yīng)以相應(yīng)的定理定義、公式規(guī)律為基礎(chǔ)，逐步串聯(lián)知識方法來構(gòu)建解題思路. 以上述一次函數(shù)題為例，其中涉及了函數(shù)相交、函數(shù)解析式求解、求幾何面積和勾股定理等基礎(chǔ)知識，這些知識方法是問題突破的關(guān)鍵. 因此在復(fù)習(xí)備考階段，教師依然需要引導(dǎo)學(xué)生回歸教材基礎(chǔ)，關(guān)注函數(shù)與幾何部分的基礎(chǔ)內(nèi)容，挖掘知識本質(zhì)，鞏固基礎(chǔ)，為后續(xù)的能力提升做準(zhǔn)備.

2. 重視思考反思，問題探究應(yīng)挖掘考題

解后反思是考題探究的重要環(huán)節(jié)，也是指導(dǎo)學(xué)生掌握類型問題的求解方法，提升解題能力的重要方式. 上述考題完成思路突破后，對問題的特點(diǎn)和解法做了進(jìn)一步剖析，并開展深層的考題變式，該過程中可使學(xué)生深刻認(rèn)識考題的命制思路，了解中考該部分內(nèi)容的考查重點(diǎn)，掌握類型問題的題型特點(diǎn)、問題本質(zhì)、變式方向等，這對于后續(xù)的復(fù)習(xí)備考是十分重要的. 因此在考題探究過程中，教師應(yīng)基于問題背景、考查重點(diǎn)和解題方法開展解題思考，指導(dǎo)學(xué)生掌握類型問題的解題思路，形成系統(tǒng)的解題策略.