“四能”視角下的“直線與圓的位置關(guān)系”教學(xué)設(shè)計與反思

劉繼華

[摘 ?要] 新課程標(biāo)準(zhǔn)提出了“四能”的目標(biāo)要求. 文章以“四能”視角下浙教版九年級下冊“直線與圓的位置關(guān)系”的教學(xué)設(shè)計與反思為例，引領(lǐng)學(xué)生不斷經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的過程.

[關(guān)鍵詞] 四能;發(fā)現(xiàn)和提出問題;分析和解決問題

新課程標(biāo)準(zhǔn)的總目標(biāo)中明確提出，增強(qiáng)學(xué)生“發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力，分析和解決問題的能力”. 數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，關(guān)鍵是如何提升學(xué)生的“四能”. 發(fā)展學(xué)生的“四能”，應(yīng)貫穿整個數(shù)學(xué)教育的過程，應(yīng)切實落實到每一堂課中. 本文以浙教版九年級下冊“直線與圓的位置關(guān)系”為例，談?wù)劇八哪堋币暯窍碌恼n例設(shè)計與教學(xué)反思.

課例簡要回顧

1. 類比思考，提出問題

問題1：研究幾何圖形時，常常研究幾何圖形的哪些關(guān)系？

問題2：兩條直線之間有哪些位置關(guān)系？如何判定？

問題3：點(diǎn)與圓之間有哪些位置關(guān)系？如何判定？

問題4：對于點(diǎn)、直線、圓這三種幾何圖形，還可以研究它們之間的哪些位置關(guān)系？

（學(xué)生提出研究內(nèi)容，教師板書課題）

設(shè)計意圖 這節(jié)課是初中階段最后一次探究圖形位置關(guān)系的起始課，所以有必要對初中之前學(xué)過的與幾何圖形位置關(guān)系相關(guān)的知識以及判定方法做一個簡單的回顧與總結(jié)，以幫助學(xué)生建立新知識與舊知識之間的聯(lián)系，為后續(xù)知識的學(xué)習(xí)以及研究方法的尋求奠定基礎(chǔ).

2. 自主探究，定性概括

問題5：如圖1，自主探究，移動小棒，直觀感受直線與圓的位置關(guān)系可以分為幾種情況，并交流你的分類標(biāo)準(zhǔn).

（學(xué)生板演直線與圓的三種位置關(guān)系，并交流分類標(biāo)準(zhǔn). 教師給出直線與圓相交、相切、相離的定義）

問題6：你能舉出生活中能抽象成直線與圓位置關(guān)系的具體例子嗎？

問題7：如圖2，請同學(xué)們看圖判斷直線l與⊙O的位置關(guān)系.

（對于第三幅圖，請幾個學(xué)生找公共點(diǎn)）

問題8：當(dāng)公共點(diǎn)的個數(shù)不容易判斷時，有其他方法嗎？

設(shè)計意圖 通過公共點(diǎn)的個數(shù)判斷直線與圓的位置關(guān)系，比較直觀，所以此環(huán)節(jié)采取自主探究. 在探究的過程中移動小棒，而不是直接讓學(xué)生在圓上畫直線，目的是讓學(xué)生在移動小棒的過程中感受一種連續(xù)的過程，并定性概括出判斷直線與圓位置關(guān)系的方法. 在獲得結(jié)論的基礎(chǔ)上，讓學(xué)生舉出生活中的例子，能讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系，從而既鞏固新知又培養(yǎng)抽象思維. 請幾個學(xué)生找公共點(diǎn)，能引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突，能讓他們在思維碰撞中感受研究數(shù)量關(guān)系判斷直線與圓位置關(guān)系的必要性.

3. 合作交流，定量刻畫

問題9：你是從哪里得到啟示，想到利用點(diǎn)到直線的距離d與圓半徑r作比較的？

問題10：合作學(xué)習(xí)，請同學(xué)們動手畫一畫，看能否利用數(shù)量關(guān)系判斷直線與圓的位置關(guān)系，交流并解釋你們小組的探究結(jié)論.

問題11：為什么選擇圓心到直線的距離作為d？以相切為例進(jìn)行說明.

問題12：以相切為例，說說為什么d=r時，直線與圓相切.

問題13：請試著說明其他兩種情況.

問題14：以相切為例說明，反過來，已知直線與圓相切，能否推出d=r.

問題15：請試著說明其他兩種情況.

設(shè)計意圖 此環(huán)節(jié)讓學(xué)生經(jīng)歷了“類比—實驗—猜想—證明”的探索過程. 類比數(shù)量關(guān)系判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的方法，引入數(shù)量關(guān)系來判斷直線與圓的位置關(guān)系. 通過小組合作實驗，猜想由數(shù)量關(guān)系推出位置關(guān)系的結(jié)論，接著繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生深入思考“由位置關(guān)系可否推出數(shù)量關(guān)系”，并驗證雙向推出符號的準(zhǔn)確性，培養(yǎng)學(xué)生的推理能力.

4. 承前啟后，階段小結(jié)

問題16：判斷直線與圓的位置關(guān)系的方法有兩種. 方法一，由__________的個數(shù)來判斷;方法二，由__________的大小關(guān)系來判斷.

設(shè)計意圖 學(xué)生通過階段性小結(jié)，能對兩種判斷方法有整體、系統(tǒng)的認(rèn)識，并加深理解，從而為后續(xù)新知的靈活應(yīng)用奠定基礎(chǔ).

5. 鞏固新知，學(xué)以致用

設(shè)計意圖 用數(shù)量關(guān)系來判斷直線與圓的位置關(guān)系，關(guān)鍵是找出d與r，然后進(jìn)行比較，最后得出結(jié)論. 兩道習(xí)題與一道例題的編排順序，符合學(xué)生思維的連續(xù)性，步步深入. 練習(xí)1中，r已知，d已知;練習(xí)2中，r已知，d未知;練習(xí)3中，r未知，d未知. 練習(xí)題的設(shè)計巧妙，在解決的過程中，詮釋了數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系的互推過程.

6. 內(nèi)化新知，應(yīng)用實際

例1 在碼頭A的北偏東60°方向上有一個海島，離該島中心P的12海里范圍內(nèi)是一個暗礁區(qū). 輪船從碼頭A由西向東航行，行駛了10海里到達(dá)點(diǎn)B，此時島中心P在輪船的北偏東45°方向上. 若輪船不改變航向，則輪船會不會進(jìn)入暗礁區(qū)？

問題17：暗礁區(qū)是什么形狀？輪船航行的路線是什么圖形？

問題18：請同學(xué)們畫出示意圖，用具體形象的圖形來表示抽象的條件.

問題19：“輪船會不會進(jìn)入暗礁區(qū)”，這個問題可以轉(zhuǎn)化成怎樣的數(shù)學(xué)模型？

問題20：如果輪船會進(jìn)入暗礁區(qū)，此時直線與圓有怎樣的位置關(guān)系？如果輪船不會進(jìn)入暗礁區(qū)，此時直線與圓有怎樣的位置關(guān)系？

問題21：判斷直線與圓的位置關(guān)系時，關(guān)鍵是要找到哪兩個量？圓的半徑r已知了嗎？距離d已知嗎？距離d是哪條線段的距離？

設(shè)計意圖 在例1的教學(xué)過程中，筆者留給學(xué)生充足的時間經(jīng)歷實際問題的探索. 首先，讓學(xué)生認(rèn)真讀題，將抽象的條件用具體的示意圖來表示. 教師用問題串，引導(dǎo)學(xué)生把實際問題抽象成數(shù)學(xué)問題，然后尋求恰當(dāng)?shù)哪Ｐ停俑鶕?jù)所學(xué)的判斷方法求解模型，同時考慮解的數(shù)學(xué)意義與實際意義，最后解釋實際現(xiàn)象.

7. 知識梳理，課堂小結(jié)