“母子型”相似模型的解讀與應(yīng)用探究

葉含琪

[摘 ?要] 數(shù)學(xué)模型是基于特定對象的內(nèi)在特性而提取的規(guī)律、結(jié)論，可為后續(xù)的解題提供方法參照，因此實用性很強. “母子型”相似模型是初中數(shù)學(xué)重要的幾何模型，利用該模型的結(jié)論可以快速打開解題突破口. 文章深入解讀該模型，探討模型的使用思路，并結(jié)合模型探討對應(yīng)的綜合問題.

[關(guān)鍵詞] 幾何相似;母子型;三角形;比例式;圓;拋物線

相似三角形是初中數(shù)學(xué)需要重點掌握的知識內(nèi)容，在相似三角形中存在眾多的相似模型，其中“母子型”相似模型應(yīng)用較為廣泛，其特點為由兩個相似的三角形相依組合，如“子依母懷”，故得其名. 深入理解模型內(nèi)涵，靈活運用相關(guān)結(jié)論可以顯著提高解題效率，下面對“母子型”相似三角形開展模型探究，問題例析.

模型解讀

變形：模型中的頂角∠ABC具有一般性，可以適度對其變形，設(shè)定其為90°，對應(yīng)的BD變更為底邊AC上的垂線，則可以變形出特殊的“母子型”相似模型. 另外，若設(shè)定其中的點D為底邊AC上的動點，則可以將其變更為動點，結(jié)合三角形相似的判定定理命制相關(guān)的相似探究題.

“母子型”相似模型也稱之為共邊共角型三角形相似模型，其最為顯著的特征為：圖形中含有一個公共角和一條公共邊，大小三角形錯疊相依，從中提取的兩組相等角可以證明一組三角形相似，進而得到一條線段的平方與共線線段的乘積相等. 雖然“母子型”相似模型較為簡單，但靈活運用可以高效求解相關(guān)綜合問題，例如與圓相結(jié)合的幾何綜合題，以拋物線為背景的探究問題等.

模型鞏固

“母子型”相似模型簡單，但實際考查時常結(jié)合眾多圖形構(gòu)成復(fù)合圖形，因此在解析時需要明晰模型特點，準確提取問題中的模型，利用模型的結(jié)論來推理求解.

分析 根據(jù)CE2=ED·EP的結(jié)構(gòu)，若要完成證明就需要將等積形式轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的比例形式，顯然需要利用三角形相似的性質(zhì)來證明，但與其直接相關(guān)的三角形并不存在，因此需要聯(lián)立多組相似三角形構(gòu)建. 分析可知圖中存在“母子型”相似三角形模型，根據(jù)其結(jié)論可以提煉對應(yīng)的線段比例式，后續(xù)結(jié)合△AEP與△BED的相似性質(zhì)可以完成證明.

證明 CE是Rt△ABC斜邊AB上的垂線，可證△ACE∽△CBE，由相似性質(zhì)可得CE2=AE·BE. 進一步分析可證∠P=∠DBE，結(jié)合∠AEP=∠DEB=90°可證△AEP∽△DEB，由相似性質(zhì)可得AE·BE=ED·EP，綜合可知CE2=ED·EP，得證.

總結(jié) 涉及“母子型”相似模型的復(fù)合圖形，應(yīng)關(guān)注圖形的特點，合理提取模型，準確利用模型結(jié)論進行分析推理. 對于特殊的直角“母子型”相似模型，其中的線段比例式結(jié)論也可以從幾何射影的角度來理解，即斜邊上的高是兩條直角邊在斜邊射影的比例中項.

綜合拓展

“母子型”相似模型問題具有較強的拓展性，可與其他知識內(nèi)容綜合考查，例如圓的性質(zhì)、三角函數(shù)、拋物線等. 學(xué)習(xí)時需要深入理解知識關(guān)聯(lián)，合理構(gòu)建解題思路.

1. 圓背景中的“母子型”相似模型

涉及直角的特殊“母子型”相似模型，其斜邊可以作為圓的直徑來構(gòu)建綜合圖像，從而將模型與圓周角定理聯(lián)系在一起，實際求解時需要結(jié)合圓的相關(guān)性質(zhì)來提取模型，結(jié)合模型結(jié)論來分析問題.

例2 如圖3所示，點C是⊙O上的一點，點E是圓直徑AB延長線上的一點，已知BF⊥CE，垂足為點F，延長FB，與⊙O的交點為D，且∠ABD=2∠A，回答下列問題.

評析 第（2）問的求解建立在上一問，也是提取問題中“母子型”相似模型的基礎(chǔ)，該問求角的正切值，顯然可以借助直角三角形轉(zhuǎn)化為線段比值問題，從而與模型的結(jié)論相關(guān)聯(lián)，獲得“隔山打牛”簡化過程的解題效果.

2. 拋物線背景中的“母子型”相似模型

拋物線可與幾何圖形相結(jié)合考查，對于涉及“母子型”相似模型的拋物線問題，則需要首先提取其中的幾何模型，結(jié)合對應(yīng)結(jié)論進行分析推理，合理利用兩點之間的距離公式求解線段長.

例3 拋物線y=-x2+2x+3與x軸的交點為A和B，與y軸的交點為C，頂點為D，其對稱軸與x軸的交點為F，與直線BC相交于點E.

（1）試求DE的長度;

（2）設(shè)點P是x軸上的一個動點，∠DAO+∠DPO=∠α，試分析tan∠α=4時點P的坐標(biāo).

分析 （1）問求解線段長，根據(jù)曲線與直線、坐標(biāo)軸的交點關(guān)系即可確定相關(guān)點坐標(biāo)，后續(xù)利用兩點之間的距離公式即可. （2）問為拋物線中的三角函數(shù)問題，顯然需要利用圖像中的三角形，依托直角三角形來轉(zhuǎn)化問題. 需要關(guān)注其中的“母子型”相似模型，巧妙利用模型結(jié)論來簡化過程.

反思建議

“母子型”相似模型是初中幾何常見的問題模型，合理利用模型結(jié)論可以快速打開解題突破口，因此有著一定的學(xué)習(xí)價值，在實際教學(xué)中提出以下幾點建議.

1. 重視閱讀分析，關(guān)注問題本質(zhì)

分析“母子型”相似模型，可以發(fā)現(xiàn)其本質(zhì)就是兩個三角形的相似問題，關(guān)注問題中的圖形特點，找到解題關(guān)鍵就可以將其提煉成簡潔的幾何模型. 而在教學(xué)引導(dǎo)時需重視兩點：一是提升學(xué)生閱讀分析能力，模型的提煉源于對題目信息的整理和圖形特點的分析，教學(xué)中逐步引導(dǎo)學(xué)生探究圖形，理解問題信息，使其掌握、活用模型;二是挖掘問題本質(zhì)，合理使用模型可以提升解題效率，但教學(xué)中需要學(xué)生理解問題本質(zhì)，掌握解析模型的方法策略，這樣學(xué)生在解題時才能快速、準確地提取模型.

2. 重視歸納總結(jié)，把握模型變化

幾何模型是基于問題條件、幾何特征所提煉的結(jié)論，其提煉過程涉及眾多的探究活動，尤其應(yīng)重視對問題模型的總結(jié)和歸納. 以上述模型為例，“母子型”相似模型是關(guān)于兩相似三角形位置關(guān)系而總結(jié)的與線段積相關(guān)的結(jié)論，探究過程需要以幾何特征為基礎(chǔ)，以三角形相似的判定定理為線索來構(gòu)建線段關(guān)聯(lián). 因此在教學(xué)中需引導(dǎo)學(xué)生掌握問題總結(jié)、結(jié)論歸納的技巧，提升學(xué)生的整體能力. 同時重視對模型變式探究，把握模型變化，即關(guān)注模型的一般性，了解模型的特殊情形，提升學(xué)生利用模型解題的靈活性.