幾何畫板在平面向量數(shù)量積求最值中的應(yīng)用

王曉明

【內(nèi)容摘要】隨著教育課程的不斷變革，各科的任課教師要根據(jù)現(xiàn)有的課程標(biāo)準(zhǔn)采取高效的課堂授課模式。在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，幾何畫板因其自身的優(yōu)勢，已經(jīng)成為眾多數(shù)學(xué)教師首選的教學(xué)工具。運用幾何畫板輔助教學(xué)，不僅能增加課堂教學(xué)容量、優(yōu)化課堂教學(xué)結(jié)構(gòu)，而且能增強學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，激發(fā)學(xué)生的探究精神。高中的平面向量知識對學(xué)生是有一定難度的，尤其是對于平面向量數(shù)量積求最值問題，學(xué)生處理起來相當(dāng)棘手。因而，借助于幾何畫板這個教學(xué)工具來進(jìn)行動態(tài)演示，使得數(shù)學(xué)問題更加形象、直觀，學(xué)生易于理解、掌握，同時增強學(xué)習(xí)積極性，進(jìn)而提高課堂教學(xué)效率。所以，本文就幾何畫板的優(yōu)勢特點探討其在平面向量數(shù)量積求最值中的應(yīng)用，旨在為高中數(shù)學(xué)教師的教學(xué)提供一定的借鑒意義。

【關(guān)鍵詞】幾何畫板 平面向量數(shù)量積求最值 應(yīng)用

一、幾何畫板的優(yōu)勢特征

幾何畫板在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中是一種非常有用的教學(xué)工具，它可以被應(yīng)用到平面幾何教學(xué)，立體幾何教學(xué)甚至是高中代數(shù)教學(xué)。幾何畫板操作簡單，功能強大，而且在任意拖動幾何圖形的過程中保持幾何關(guān)系都不變，以一種動態(tài)的方式來呈現(xiàn)需要學(xué)習(xí)的幾何圖形。因此，在如今以學(xué)生為主體的課堂教學(xué)中，借助于幾何畫板平臺，學(xué)生在觀察、探索、發(fā)現(xiàn)過程中深化對知識的理解和掌握。幾何畫板在平面向量數(shù)量積求最值中的應(yīng)用有以下兩大優(yōu)勢：

首先，數(shù)學(xué)教師運用幾何畫板有助于學(xué)生能更加直觀地了解抽象的數(shù)學(xué)語言，從而可以加快課堂的學(xué)習(xí)進(jìn)度，提升課堂的教學(xué)效率。其次，恰當(dāng)?shù)剡\用幾何畫板，可以提升學(xué)生的自主探究能力，進(jìn)而提升學(xué)習(xí)興趣和積極性，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力。

二、幾何畫板在平面向量數(shù)量積求最值中的應(yīng)用

1.引入幾何畫板，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣

初中數(shù)學(xué)對于平面向量這一塊要求不高，學(xué)生只需初步了解一些概念，但是高中的平面向量教學(xué)頗有難度。況且高一學(xué)生從初中升入高中，有時無法適應(yīng)高中數(shù)學(xué)教學(xué)，導(dǎo)致學(xué)生對數(shù)學(xué)有一定的恐懼心理。因而，在進(jìn)行平面向量數(shù)量積求最值的教學(xué)中引入幾何畫板，借助于幾何畫板的動態(tài)演示來突破解題難點，使得學(xué)生易于接受，更能提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和積極性，從而取得較好的教學(xué)效果。

2.任務(wù)驅(qū)動，培養(yǎng)探究能力

在進(jìn)行平面向量數(shù)量積求最值的教學(xué)過程中，教師可以先讓學(xué)生了解平面向量數(shù)量積的相關(guān)理念，然后讓學(xué)生動手操作幾何畫板來進(jìn)行驗證。在驗證過程中出現(xiàn)的問題，可以小組之間進(jìn)行相互討論，倘若學(xué)生在多次嘗試之后仍然無法解決，教師利用幾何畫板進(jìn)行演示，之后再讓學(xué)生自己進(jìn)行探究。在反復(fù)的嘗試中思考、分析，從而提升學(xué)生的探究能力。

3.實踐應(yīng)用，關(guān)注教學(xué)成果

將幾何畫板的教學(xué)工具引入到學(xué)生的群體中，讓學(xué)生自己動手操作來解決下面習(xí)題。

已知：△ABC的外接圓是半徑為1的⊙0，且∠BOC=120°，求：（1）BA→·BC→的最大值;（2）AB→·AC→的最小值。

分析：第一小題，作AH垂直于BC于點H，如圖1，BA→·BC→=∣BA→∣·∣BC→∣·cos（BA→，BC→）根據(jù)平面向量數(shù)量積幾何意義，BA→·BC→即為∣BC→∣與BA→在BC→上的投影的乘積，由題可得∣BC→∣=3，故求BA→·BC→的最大值就轉(zhuǎn)化為求投影的最大值。為此，借助于幾何畫板地操作，當(dāng)點A在圓上運動時，觀察BA→在BC→上的投影變化情況，學(xué)生容易發(fā)現(xiàn)當(dāng)點A在點A1處時，即A1H1與圓相切，而A1H1垂直BC時，∣BH→∣max=∣BH1→∣=1+32，所以BA→·BC→最大值為 3（1+32）。

第二小題，取BC中點為點M，如圖2，根據(jù)極化恒等式，AB→·AC→=∣AM→∣2-14∣BC→∣2所以AB→·AC→即為第三邊BC中線長與第三邊BC一半的平方差，由題可得∣BC→∣=3，∣OM→∣=12，故求AB→·AC→的最小值就轉(zhuǎn)化為求中線長的最小值，為此，借助于幾何畫板地操作，當(dāng)點A在圓上運動時，觀察中線AM的變化情況，學(xué)生容易發(fā)現(xiàn)當(dāng)點A在點A2處，即A2、0、M三點共線時，∣AM→∣min=∣A2M→∣=12，所以AB→·AC→最小值為-12。

通過對這道習(xí)題的研究，我們發(fā)現(xiàn)讓學(xué)生參與甚至動手操作幾何畫板的動態(tài)演示，從中觀察、分析，這樣易于探究出動點A在何處位置時取得最值。這樣的課堂教學(xué)學(xué)生真正做到了合作探究，發(fā)現(xiàn)新知。

三、小結(jié)

高中數(shù)學(xué)教學(xué)的難度已經(jīng)比初中要高很多，高中數(shù)學(xué)的知識點會結(jié)合其他的知識點共同考核，如果學(xué)生不能夠完全地理解知識點的含義，很容易在綜合題的解題過程中出現(xiàn)看不懂題的情況。因而，在解決平面向量數(shù)量積求最值問題時，借助于幾何畫板操作，使得學(xué)生能夠更加直觀地了解問題本質(zhì)，從而快速有效地解決問題，大大提升教學(xué)效率。所以，幾何畫板使得數(shù)學(xué)課堂教學(xué)變得更靈活，更有效，更直觀。其實幾何畫板更為學(xué)生提供了一個可以進(jìn)行幾何“實驗”的環(huán)境，有助于發(fā)揮學(xué)生的主體性，積極性和創(chuàng)造性，充分體現(xiàn)了現(xiàn)代教學(xué)的思想。

【參考文獻(xiàn)】

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[3]王奮平.高師數(shù)學(xué)專業(yè)開設(shè)《幾何畫板》課的必要性研究[J].瓊州學(xué)院學(xué)報，2011，（5）：56-57.

（作者單位：浙江省天臺育英中學(xué)）