邊坡可靠度的Bayes估計(jì)及后驗(yàn)穩(wěn)健性

夏增選，李 萍，曹 博，李同錄，沈 偉，康海偉

(1.長安大學(xué)地質(zhì)工程與測繪學(xué)院，陜西 西安 710054;2.黃土高原水循環(huán)與地質(zhì)環(huán)境教育部野外科學(xué)觀測研究站，甘肅 正寧 745399)

我國黃土滑坡隱患點(diǎn)較多，近年來黃土滑坡災(zāi)害屢有發(fā)生，造成了大量生命財(cái)產(chǎn)損失。由于黃土滑坡多為邊坡失穩(wěn)滑動(dòng)形成，因此研究黃土邊坡穩(wěn)定性，是防治黃土滑坡的關(guān)鍵問題，也一直是工程地質(zhì)界研究的重點(diǎn)課題[1-4]。傳統(tǒng)的邊坡穩(wěn)定性研究方法主要有剛體極限平衡法與數(shù)值分析法，應(yīng)用這些理論計(jì)算的穩(wěn)定系數(shù)為一定值。然而，黃土邊坡穩(wěn)定性受多種不確定因素影響，比如：土體參數(shù)空間變異性、分析模型的誤差、破壞模式的差異等。因此，采用傳統(tǒng)確定性的分析方法評價(jià)邊坡穩(wěn)定性，計(jì)算結(jié)果存在較大的不確定性。采用穩(wěn)定性指標(biāo)的概率分布取代單一定值，更加符合實(shí)際。

巖土工程師在處理復(fù)雜工程地質(zhì)問題時(shí)，并非嚴(yán)格按照試驗(yàn)室或原位測試的巖土體參數(shù)測試結(jié)果，進(jìn)行邊坡穩(wěn)定性評價(jià)及治理，而是根據(jù)工程經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行參數(shù)調(diào)整，使計(jì)算結(jié)果更加符合實(shí)際。Bayes理論多用于減小巖土體參數(shù)及模型不確定性對邊坡穩(wěn)定性的影響，并合理地將工程經(jīng)驗(yàn)或?qū)＜倚畔⒓{入理論框架。由于Bayes理論具有公式物理意義明確，形式簡潔的優(yōu)點(diǎn)，其在多個(gè)領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用[5-10]。當(dāng)根據(jù)數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷時(shí)，描述數(shù)據(jù)的模型存在敏感性，如果數(shù)據(jù)很多，這種敏感性變得很小，這種性質(zhì)稱之為穩(wěn)健性[11]。在Bayes統(tǒng)計(jì)推斷中，穩(wěn)健性亦是重要問題。當(dāng)先驗(yàn)分布發(fā)生小幅度改變時(shí)，后驗(yàn)分布是否會(huì)發(fā)生較大的改變，Box等[11]稱之為推斷穩(wěn)健性問題。應(yīng)用Bayes理論進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷時(shí)，為建立先驗(yàn)分布或似然函數(shù)，多數(shù)學(xué)者根據(jù)經(jīng)驗(yàn)對先驗(yàn)或總體分布的概型進(jìn)行假設(shè)[12-15]。然而，先驗(yàn)分布的表達(dá)并不是唯一的，不同的先驗(yàn)分布會(huì)得到不同的Bayes推斷結(jié)果。因此，有必要研究先驗(yàn)分布的不確定性對后驗(yàn)結(jié)果的影響。Bayes后驗(yàn)穩(wěn)健性分析方法主要有：邊緣分布分析法[9,16]、后驗(yàn)期望損失分析法[17-18]。后驗(yàn)穩(wěn)健性分析應(yīng)用在邊坡穩(wěn)定性研究中的成果鮮有報(bào)道。

本文將衡量邊坡穩(wěn)定性的3個(gè)指標(biāo)(穩(wěn)定系數(shù)、可靠指標(biāo)和失效概率)視為隨機(jī)變量，通過Bayes理論將研究區(qū)內(nèi)同類型的邊坡作為先驗(yàn)信息。同時(shí)，將邊坡自身的穩(wěn)定性參數(shù)作為樣本信息。Bayes理論集中了邊坡穩(wěn)定性參數(shù)總體、樣本和先驗(yàn)信息后，對于先驗(yàn)分布的更新，得到了更加合理、更加符合實(shí)際的穩(wěn)定性評價(jià)結(jié)果。加之，為了研究先驗(yàn)分布的不確定性對后驗(yàn)穩(wěn)定性結(jié)果的影響，對后驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行了穩(wěn)健性分析，從而保證了后驗(yàn)結(jié)果的準(zhǔn)確性。

1 Bayes 理 論

1.1 Bayes公式

Bayes理論將未知參數(shù)θ視為隨機(jī)變量，采用概率分布描述隨機(jī)變量θ。Bayes公式的概率密度函數(shù)形式表述如下：

(1)

式中：x——樣本值；Θ——參數(shù)空間；π(θ)——θ的先驗(yàn)概率密度函數(shù)；p(x|θ)——在樣本x給定下θ的概率，即似然函數(shù)；f(θ|x)——θ的后驗(yàn)概率密度函數(shù)。

1.2 正態(tài)后驗(yàn)分布

(2)

1.3 后驗(yàn)穩(wěn)健性分析方法

在Bayes推斷中，如果實(shí)際應(yīng)用條件與假設(shè)條件不完全相同，統(tǒng)計(jì)分析的優(yōu)良性難以繼續(xù)保持，因此必須分析由于條件差異而引起的后果[9]。一般通過歷史經(jīng)驗(yàn)或?qū)＜铱偨Y(jié)獲得未知參數(shù)的先驗(yàn)分布，但是先驗(yàn)分布存在不同的概型，且存在較大的人為主觀性，先驗(yàn)分布的不確定性直接影響后驗(yàn)分布的結(jié)果。因此，有必要研究當(dāng)先驗(yàn)分布發(fā)生波動(dòng)時(shí)，后驗(yàn)分布是否會(huì)有大的改變，即后驗(yàn)分布的穩(wěn)健性問題。

假設(shè)Г為先驗(yàn)分布族，a為Bayes統(tǒng)計(jì)推斷中所采取的行為(策略)，L(θ,a)為行為(策略)a的損失函數(shù)，記ρ(f(θ|x),a)為行為(策略)a的后驗(yàn)期望損失(損失函數(shù)L(θ,a)對后驗(yàn)分布f(θ|x)的期望)，當(dāng)先驗(yàn)分布π在先驗(yàn)分布族Г中變動(dòng)時(shí)，則式(3)表示可能的后驗(yàn)期望損失范圍，進(jìn)而評價(jià)行為(策略)a的穩(wěn)健性。

(3)

式中：inf——下確界；sup——上確界。

在Bayes決策行為中選擇一可信集C(C∈Θ)，后驗(yàn)期望損失函數(shù)為

(4)

(5)

采用先驗(yàn)分布的ε代換法構(gòu)成先驗(yàn)分布族Г：

Γ={π:π=(1-ε)π0+εq,q∈D}

(6)

式中：π0——初始先驗(yàn)分布；ε——代換系數(shù)，0<ε<1；q——代換分布；D——代換分布族。

后驗(yàn)期望損失可由下式計(jì)算：

(7)

式中：C——采用π0確定的最大后驗(yàn)密度(HPD)可信集。

2 工程實(shí)例分析

2.1 邊坡計(jì)算模型與參數(shù)選取

現(xiàn)以西安咸陽國際機(jī)場污水排放口黃土邊坡為例，說明Bayes理論在邊坡穩(wěn)定性計(jì)算結(jié)果分析中的具體應(yīng)用。該邊坡位于涇陽縣高莊鎮(zhèn)傅家村黃土臺(tái)塬北緣，臺(tái)塬與涇河大致平行。西安咸陽國際機(jī)場污水排放系統(tǒng)經(jīng)臺(tái)塬至涇河高漫灘，污水經(jīng)凈化流入涇河。該邊坡所在研究區(qū)如圖1所示。排水系統(tǒng)穿越的邊坡地形破碎，在邊坡體周壁小滑塌、小崩塌大量分布，兩側(cè)數(shù)百米處各有一大型滑坡。在邊坡頂部發(fā)現(xiàn)拉裂縫，近東西向展布，呈鋸齒狀延伸[19]。據(jù)李萍等[20]對極限狀態(tài)坡的定義及判別標(biāo)志，該坡為典型的黃土極限狀態(tài)自然坡。

圖1 西安咸陽國際機(jī)場污水排放口邊坡研究區(qū)域Fig.1 Study area of a loess slope at the sewage outlet of the Xi’an Xianyang International Airport

圖2 邊坡分析模型(單位:m)Fig.2 Model diagram of slope analysis(units:m)

邊坡高85 m，坡向320°，坡度40°～50°，最陡處可達(dá)65°。坡頂為黃土臺(tái)塬，坡底為河漫灘。黃土臺(tái)塬地層主要為第四系風(fēng)積黃土，夾十余層古土壤，L1-S9層黃土-古土壤序列從坡頂至坡底清晰可見，下伏河流沖積相的致密黏土。具體地層上部為約10 m厚晚更新統(tǒng)黃土(Q3)，中部為約65 m厚中更新統(tǒng)黃土(Q2)，底部為10 m厚早更新統(tǒng)黃土(Q1)。

本文采用Geo-slope/w建立邊坡模型，如圖2所示。該模型采用坡高85 m，坡度45°。在坡體上沿邊坡橫向依次縱向(320°)布3條測線，每條測線上布2個(gè)鉆孔，每條測線上的2個(gè)鉆孔試樣的物理力學(xué)性質(zhì)測試結(jié)果組成一個(gè)樣本數(shù)據(jù)，模型計(jì)算所需土性參數(shù)見表1。研究表明，不同地層的黃土抗剪強(qiáng)度參數(shù)多服從正態(tài)分布[1]，且正態(tài)分布的概率分析形式較為簡單，應(yīng)用最為廣泛，因此，該邊坡模型抗剪強(qiáng)度參數(shù)采用正態(tài)分布。

表1 邊坡土性參數(shù)Table 1 Soil parameters of slope

2.2 邊坡穩(wěn)定性參數(shù)計(jì)算

采用表1中所列邊坡土性參數(shù)，應(yīng)用Morgenstern-Price(M-P)法與Monte-Carlo法對邊坡穩(wěn)定性進(jìn)行可靠度計(jì)算，指定了邊坡滑面剪入和剪出區(qū)域，計(jì)算結(jié)果(穩(wěn)定系數(shù)Fs、可靠指標(biāo)β和失效概率Pf)作為樣本信息，采用樣本土性參數(shù)邊坡可靠度計(jì)算結(jié)果如圖3所示。

表2 先驗(yàn)邊坡信息Table 2 Prior slope information

2.3 先驗(yàn)概率密度函數(shù)建立

以涇陽南塬為研究區(qū)(圖1)，研究區(qū)地貌為黃土臺(tái)塬，出露第四系地層，地層呈水平狀沉積，厚度變化小。采用李萍等[20]的極限狀態(tài)坡鑒別標(biāo)準(zhǔn)，現(xiàn)場量測研究區(qū)內(nèi)21個(gè)自然條件下的極限狀態(tài)坡，21個(gè)極限狀態(tài)坡與研究邊坡位于同一研究區(qū)域，同時(shí)均屬于黃土極限狀態(tài)自然坡。21個(gè)先驗(yàn)邊坡位置見圖1，坡高和坡度見表2。表2中所列極限狀態(tài)坡與排污口邊坡的土層沉積特征一致，故仍采用圖2所示地層厚度。各地層的土性參數(shù)采用工程經(jīng)驗(yàn)值，并參考李萍等[21]對該區(qū)域土性參數(shù)的統(tǒng)計(jì)結(jié)果，土性參數(shù)值見表3。李萍等[2]認(rèn)為黃土地區(qū)黏聚力服從對數(shù)正態(tài)分布、內(nèi)摩擦角服從正態(tài)分布，先驗(yàn)邊坡穩(wěn)定性計(jì)算加入此“專家信息”，計(jì)算結(jié)果見表2。將計(jì)算所得21個(gè)邊坡的穩(wěn)定系數(shù)、可靠指標(biāo)及失效概率進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，作為機(jī)場污水排放口邊坡的先驗(yàn)信息。

表3 先驗(yàn)邊坡土性參數(shù)Table 3 Soil parameters of prior slopes

將表3中的穩(wěn)定系數(shù)、可靠指標(biāo)及失效概率繪制頻率直方圖，在直方圖上進(jìn)行正態(tài)分布擬合，如圖4所示，并對其分別進(jìn)行K-S檢驗(yàn)，在顯著性水平為0.05下，統(tǒng)計(jì)顯著性依次為0.11、0.08和0.10，統(tǒng)計(jì)顯著性均大于顯著性水平，結(jié)果表明，三者均服從正態(tài)分布。

圖4 邊坡穩(wěn)定性參數(shù)頻率直方圖Fig.4 Frequency distribution histograms of slope stability parameters

表4 Bayes估計(jì)與樣本和先驗(yàn)估計(jì)結(jié)果對比Table 4 Comparison of Bayesian estimation, sample and prior estimation

2.4 后驗(yàn)概率密度函數(shù)計(jì)算

采用樣本方差估計(jì)總體方差，在總體方差已估計(jì)的前提下，將表4的正態(tài)先驗(yàn)和樣本相關(guān)參數(shù)代入式(2)，可得邊坡穩(wěn)定性參數(shù)均值后驗(yàn)分布，并將Bayes估計(jì)結(jié)果與樣本和先驗(yàn)估計(jì)結(jié)果進(jìn)行比較,見表4。

Bayes估計(jì)與樣本和先驗(yàn)估計(jì)結(jié)果對比表明，邊坡穩(wěn)定性參數(shù)均值的Bayes估計(jì)介于樣本估計(jì)與先驗(yàn)估計(jì)之間，估計(jì)結(jié)果得到了很好的修正。方差代表了估計(jì)結(jié)果的精度，Bayes估計(jì)的方差比樣本估計(jì)和先驗(yàn)估計(jì)結(jié)果均小，Bayes估計(jì)結(jié)果的精度為先驗(yàn)信息與樣本信息精度之和。同時(shí)，研究邊坡后緣有拉裂縫，表現(xiàn)為更接近破壞的狀態(tài)，研究邊坡樣本估計(jì)失效概率為29.68%，與研究邊坡的野外特征并不完全相符。而加入先驗(yàn)分布后，失效概率為49.71%，與研究邊坡的野外特征更貼切。

2.5 后驗(yàn)分布穩(wěn)健性分析

機(jī)場污水排放口邊坡穩(wěn)定性的Bayes推斷中，假設(shè)了穩(wěn)定系數(shù)、可靠指標(biāo)和失效概率的先驗(yàn)分布均服從正態(tài)分布，并對其進(jìn)行了檢驗(yàn)，詳見2.3節(jié)。但是，先驗(yàn)分布服從的概型并不唯一，概型參數(shù)會(huì)隨統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的多少而發(fā)生改變，并且先驗(yàn)分布考慮專家信息或工程經(jīng)驗(yàn)，人為主觀性較大，因此，先驗(yàn)分布存在較大的不確定性。假定代換分布q服從均勻分布，即代換分布族為均勻分布族，表達(dá)式為

D={q:q=U(μ-k,μ+k),k>0}

(8)

式中：k——均勻分布族區(qū)間系數(shù)，上限根據(jù)邊坡工程實(shí)際情況而定。

假定先驗(yàn)分布存在5%、10%和15%的改變，即代換系數(shù)ε分別為5%、10%和15%。在邊坡工程中，穩(wěn)定系數(shù)均值理論最小值趨于0，同時(shí)，由圖4可知，穩(wěn)定系數(shù)初始先驗(yàn)分布均值趨于1，區(qū)間系數(shù)k上限為1，同理可得可靠指標(biāo)、失效概率的區(qū)間系數(shù)k上限分別為1、50%。經(jīng)計(jì)算得邊坡穩(wěn)定性指標(biāo)后驗(yàn)穩(wěn)健性結(jié)果，如圖5所示。結(jié)果表明：(a)穩(wěn)定系數(shù)、可靠指標(biāo)及失效概率均值后驗(yàn)期望損失，隨著分布區(qū)間系數(shù)k的增大而波動(dòng)，并且隨著代換系數(shù)ε的增大，后驗(yàn)期望損失依次增大；(b)穩(wěn)定系數(shù)均值后驗(yàn)期望損失開始有所波動(dòng)，隨后較快趨于較小的后驗(yàn)期望損失值，且后驗(yàn)期望損失上限較小，穩(wěn)健性良好；(c)可靠指標(biāo)和失效概率均值后驗(yàn)期望損失一直處于波動(dòng)狀態(tài)，但波動(dòng)的最大后驗(yàn)期望損失都在20%以內(nèi)。將穩(wěn)健性劃分為4個(gè)等級，即最大后驗(yàn)期望損失在5%以內(nèi)代表穩(wěn)健性很好，10%以內(nèi)代表穩(wěn)健性好，20%以內(nèi)代表穩(wěn)健性較好，20%以上代表穩(wěn)健性差，因此可靠指標(biāo)和失效概率的穩(wěn)健性較好?？梢姡闰?yàn)分布的正態(tài)概型是合理的，先驗(yàn)分布的不確定性對后驗(yàn)結(jié)果并未產(chǎn)生較大影響。

圖5 邊坡穩(wěn)定性指標(biāo)均值后驗(yàn)期望損失Fig.5 Posterior expected loss of slope stability index means

3 結(jié) 論

a. 采用Morgenstern-Price法與Monte-Carlo法對研究區(qū)內(nèi)的極限狀態(tài)黃土自然坡的穩(wěn)定性進(jìn)行可靠度計(jì)算。對穩(wěn)定系數(shù)、可靠指標(biāo)及失效概率進(jìn)行頻率直方圖統(tǒng)計(jì)與正態(tài)分布擬合及檢驗(yàn)，結(jié)果顯示，極限狀態(tài)坡穩(wěn)定性指標(biāo)均較好地服從正態(tài)分布。

b. 對黃土邊坡穩(wěn)定性計(jì)算結(jié)果進(jìn)行了Bayes分析。以涇陽南塬機(jī)場污水排放口邊坡為例，以研究區(qū)21個(gè)極限狀態(tài)坡建立先驗(yàn)分布，以邊坡自身穩(wěn)定性參數(shù)作為樣本信息，計(jì)算了穩(wěn)定系數(shù)、可靠指標(biāo)和失效概率均值后驗(yàn)分布，并將Bayes計(jì)算結(jié)果與樣本估計(jì)和先驗(yàn)估計(jì)進(jìn)行了比較，Bayes計(jì)算結(jié)果極大地降低了不確定性，結(jié)果更為精確，更加符合實(shí)際。

c. 鑒于先驗(yàn)分布的類型與分布參數(shù)并不唯一，且隨統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的多少和專家經(jīng)驗(yàn)發(fā)生改變，本文通過ε代換法構(gòu)建先驗(yàn)分布族，以后驗(yàn)期望損失范圍評價(jià)后驗(yàn)結(jié)果的穩(wěn)健性。當(dāng)代換系數(shù)ε為5%、10%和15%時(shí)，穩(wěn)定系數(shù)均值后驗(yàn)期望損失較快趨于較小值，可靠指標(biāo)和失效概率均值后驗(yàn)期望損失一直在20%損失范圍內(nèi)波動(dòng)。結(jié)果表明，構(gòu)建的先驗(yàn)分布合理，后驗(yàn)結(jié)果穩(wěn)健性較好，Bayes估計(jì)結(jié)果更加準(zhǔn)確。