導數(shù)在f(x)±f(-x)=y(x)型函數(shù)中的應用

李敏 孫威

【摘要】本文利用導數(shù)這一工具，對任意抽象的可導函數(shù)f（x）構造出的形如，f（x）±f（-x）=y（x）函數(shù)進行研究，并通過例題討論與之相關函數(shù)的不等式問題.

【關鍵詞】奇函數(shù);偶函數(shù);單調性

一、引言、定義與引理

奇（偶）函數(shù)是具有特殊性質的一類重要函數(shù)，單調性是也是研究函數(shù)性態(tài)的重要內容之一.將函數(shù)的奇（偶）性以及單調性相結合，對研究某些函數(shù)或者一些不等式問題會起到事半功倍的效果.尤其是f（x）±f（-x）=y（x）型函數(shù)，其中函數(shù)f（x）是定義在（-∞，+∞）上的可導函數(shù).因為函數(shù)f（x）的抽象性使得問題難度加大，在此借助導數(shù)討論相應函數(shù)性態(tài)（如單調性，奇偶性）往往會簡單易于求解.

定義1[1] 設函數(shù)f（x）定義在區(qū)間I上，如果任意x∈I都有f（-x）=-f（x）（或f（x）），

則稱函數(shù)f（x）為區(qū)間I上奇函數(shù)（或偶函數(shù)）.

引理1[1] 如果函數(shù)f（x）在閉區(qū)間I上可導，且滿足任意x∈I都有f′（x）>0（或<0），

則函數(shù)f（x）為區(qū)間I上單調增加函數(shù)（或單調減少函數(shù)）.

二、f（x）±f（-x）=y（x）型函數(shù)問題討論

例1 設函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，+∞）上存在導函數(shù)，且滿足f（x）+f（-x）=2x2，當x∈（-∞，0]時有f′（x）+1<2x.如果f（α+3）-f（-α）≤4α+6，證明α≥-3 2.

解 這是含有參數(shù)的抽象函數(shù)及相關不等式問題，題中出現(xiàn)函數(shù)和導函數(shù)首先會想到聯(lián)系函數(shù)、導數(shù)的橋梁“中值定理”，但是所給區(qū)間不是有限閉區(qū)間，所以此法未必可行.于是可以考慮與導數(shù)密切相關的函數(shù)性態(tài)—單調性等進行討論.具體如下：

由于f′（x）+1<2x，x∈（-∞，0]即有

（f（x）-x2+x）′=f′（x）-2x+1<0，x∈（-∞，0].

因此，設g（x）=f（x）-x2+x，根據(jù)f（x）+f（-x）=2x2，x∈（-∞，+∞），則有

0=f（x）+f（-x）-2x2+x-x

=[f（x）-x2+x]+[f（-x）-（-x）2+（-x）]

=g（x）+g（-x），

由此知g（-x）=-g（x），x∈（-∞，+∞），由定義1即得函數(shù)g（x）在（-∞，+∞）上的奇函數(shù).結合前面討論知g′（x）=（f（x）-x2+x）′=f′（x）-2x+1<0，x∈（-∞，0]，由引理1又可知函數(shù)g（x）在（-∞，+∞）上是單調減少函數(shù).

根據(jù)已知條件和函數(shù)g（x）的定義可有

4α+6≥f（α+3）-f（-α）

=[g（α+3）+（α+3）2-（α+3）]-[g（-α）+（-α）2-（-α）]

=g（α+3）-g（-α）+4α+6.

上式等價于g（α+3）≤g（-α），再注意到函數(shù)g（x）在（-∞，+∞）上是單調減少函數(shù)，所以成立α+3≥-α，也就是參數(shù)α滿足α≥-3 2.

證明完畢.上述證明巧妙構造出函數(shù)，并利用其導數(shù)判定單調性使問題得證.

例2 設函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，+∞）上存在導函數(shù)，且滿足f（x）-f（-x）=2x3，當x∈[0，+∞）時有f′（x）>3x2.如果f（β）-f（β-1）>3β2-3β+1，證明β>1 2.

解 類似例1，該題是含有參數(shù)的抽象函數(shù)及相關不等式問題，所以考慮借助導數(shù)判定單調性進行討論.具體如下：

由于f′（x）>3x2，x∈[0，+∞）即有

（f（x）-x3）′=f′（x）-3x2>0，x∈[0，+∞）.

因此，設g（x）=f（x）-x3，根據(jù)f（x）-f（-x）=2x3，x∈（-∞，+∞），則有

0=f（x）-f（-x）-2x3

=[f（x）-x3]-[f（-x）-（-x）3]

=g（x）-g（-x），

由此知g（-x）=g（x），x∈（-∞，+∞），由定義1即得函數(shù)g（x）在（-∞，+∞）上的偶函數(shù).結合前面討論知g′（x）=（f（x）-x3）′=f′（x）-3x2>0，x∈[0，+∞），由引理1可知函數(shù)g（x）在[0，+∞）上是單調增加函數(shù)，函數(shù)g（x）在x∈（-∞，0]上是單調減少函數(shù).

根據(jù)已知條件和函數(shù)g（x）的定義可有

3β2-3β+1

=[g（β）+β3]-[g（β-1）+（β-1）3]

=g（β）-g（β-1）+3β2-3β+1.

上式等價于g（β-1）≤g（β）.

當0≤β-1<β即β≥1時，由函數(shù)g（x）在[0，+∞）上單調增加知g（β-1）≤g（β）;

當β-1<0≤β時，由函數(shù)g（x）在（-∞，+∞）上是偶函數(shù)，且函數(shù)g（x）在（-∞，0]上單調減少知，若g（-β）=g（β）≥g（β-1），則-β≤β-1，即β≥1 2;

當β-1<β≤0時，由g（x）在（-∞，0]上單調減少，必有g（β-1）>g（β）矛盾.

綜上所述，如果g（β-1）≤g（β），則參數(shù)β必須滿足β≥1 2.

結論證畢.以上巧妙構造出函數(shù)，借助導數(shù)判定單調性使問題得證.

【參考文獻】

[1]劉玉璉，傅沛仁.數(shù)學分析講義[M].北京：高等教育出版社，1992.

[2]毛羽輝.數(shù)學分析選論[M].北京：科學出版社，2003.

[3]劉三陽，于力，李廣民.數(shù)學分析選講[M].北京：科學出版社有限責任公司，2007.