矩陣的秩的三種常見(jiàn)的應(yīng)用

謝毅 徐聰

【摘要】分別從向量組的定性、求線性方程組的解的結(jié)構(gòu)以及判定矩陣行（列）空間的基和維數(shù)三方面給出矩陣的秩的三種常見(jiàn)的應(yīng)用.

【關(guān)鍵詞】矩陣的秩;向量組;線性方程組的解的結(jié)構(gòu);矩陣的行（列）空間;應(yīng)用.

一、引 言

矩陣的秩是矩陣的核心內(nèi)容，是動(dòng)態(tài)研究矩陣的根本所在.矩陣的秩應(yīng)用性十分廣泛，尤其是在判定向量組的線性相關(guān)性，求解方程組的解的結(jié)構(gòu)以及判定矩陣行（列）空間的基和維數(shù)上的應(yīng)用更為常見(jiàn)，本文給出矩陣的秩在這三方面的應(yīng)用.

定理1 向量組a1，a2，…，am線性相關(guān)的充要條件是它所構(gòu)成的矩陣A =（a1，a2，…，am）的秩小于向量的個(gè)數(shù)m;向量組線性無(wú)關(guān)的充要條件是R（A ）=m.

定義1 齊次線性方程組的解集的最大無(wú)關(guān)組稱(chēng)為該齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系.

定理2 設(shè)m×n矩陣A 的秩R（A ）=r，則n元齊次線性方程組A x=0的解集S的秩RS=n-r.

性質(zhì)1 設(shè)x= SymbolhA@ 是方程非齊次線性方程組的解，x= SymbolxA@ 是該非齊次線性方程組生成的齊次線性方程組的解，則x=SymbolxA@ + SymbolhA@ 仍是該非齊次線性方程組的解.

注 非齊次方程組的通解=對(duì)應(yīng)的其次方程組的通解+非齊次方程組的一個(gè)特解.

定義2 矩陣A 的列向量組的秩稱(chēng)為A 的列秩;A 的行向量組的秩稱(chēng)為A 的行秩.矩陣A 的列秩等于A 的列空間的維數(shù)，A 的行秩等于A 的行空間的維數(shù).

二、在判定向量組的線性相關(guān)性上的應(yīng)用

例1 討論下列向量組的線性相關(guān)性.

矩陣B 的第1，2，3列的列向量的秩是3，所以矩陣A 的列空間的基是由矩陣A 的第1，2，3列的列向量構(gòu)成.R（A ）=3，所以矩陣A 的行空間的維數(shù)等于列空間的維數(shù)3.

五、結(jié) 語(yǔ)

作為矩陣的核心內(nèi)容，矩陣的秩廣泛應(yīng)用于行列式、向量組、線性方程組、特征值等知識(shí)點(diǎn)中，以判定、求解和證明為主要形式出現(xiàn)在其中，是線性代數(shù)知識(shí)體系的樞紐.把握好矩陣的秩與其他知識(shí)點(diǎn)交叉的定理推論是其運(yùn)用的關(guān)鍵.

【參考文獻(xiàn)】

[1]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.工程數(shù)學(xué)·線性代數(shù)：第6版[M].北京：高等教育出版社，2014：97-103，88.

[2]丘維聲.高等代數(shù)（上冊(cè)）[M].北京：清華大學(xué)出版社，2010：109-114.