地方高校幾何學(xué)方向本科教學(xué)的探索與實踐

毛井 陳小麗

【摘要】當(dāng)前地方高校的數(shù)學(xué)類專業(yè)幾何學(xué)方向開設(shè)課程種類、難易程度參差不齊，筆者根據(jù)在本科生幾何課程教學(xué)過程中的一些實踐經(jīng)驗，給出了以“微分幾何”為例的幾何學(xué)課程教學(xué)和課程設(shè)置相關(guān)的建議和相對應(yīng)問題的一些對策.

【關(guān)鍵詞】微分幾何;高等教育;數(shù)學(xué)教學(xué)

【基金項目】本課題的研究受到湖北大學(xué)2018年度本科生教學(xué)改革研究項目資助.

一、引 言

我國社會經(jīng)濟迅速發(fā)展，高等教育也隨之高速發(fā)展，由精英式教育逐漸轉(zhuǎn)為大眾教育，接受高等教育的學(xué)生呈現(xiàn)井噴式增長.地方高校在本科教育上應(yīng)著重培養(yǎng)學(xué)生知識應(yīng)用和實踐能力，以適應(yīng)本科生目前嚴(yán)峻的就業(yè)形勢.同時，地方高校也應(yīng)著重培養(yǎng)研究型人才，加強專業(yè)知識的培養(yǎng)與引導(dǎo)，否則學(xué)生在研究生階段的學(xué)習(xí)中會出現(xiàn)幾何知識短缺、幾何觀念薄弱和幾何思想貧乏的情況.

地方高校一般在大一開設(shè)“解析幾何”，大二開設(shè)“高等幾何”，大三開設(shè)“微分幾何”，大四開設(shè)“微分流形初步”和“黎曼幾何”，但大三、大四的幾何課程一般作為選修類專業(yè)課開設(shè)，由于該類課程的復(fù)雜度和難度較高，學(xué)生通常望而卻步，因此，地方高校要基于自身培養(yǎng)目標(biāo)和方案，明確幾何課程的教學(xué)定位.

“微分幾何”作為數(shù)學(xué)類本科學(xué)生的一門重要的專業(yè)課程，是銜接經(jīng)典“內(nèi)蘊幾何”和現(xiàn)代“微分流形”的紐帶，也是本科期間幾何課程和現(xiàn)代幾何課程密切聯(lián)系的橋梁，而且其以“數(shù)學(xué)分析”中微積分部分（主要是微分）為工具，探討三維空間乃至n維空間中曲線、曲面的局部與整體性質(zhì)，與此同時，可將其視為“數(shù)學(xué)分析”相關(guān)知識在幾何學(xué)上的應(yīng)用與探索、研究生階段“微分幾何”最基礎(chǔ)的課程.地方高校開設(shè)的“微分幾何”課程主要有兩個原因：一是數(shù)學(xué)類本科階段課程自身構(gòu)建完整的知識體系的需要，“解析幾何”“高等幾何”將初高中簡單的幾何空間知識過渡到主要以初等數(shù)學(xué)的角度來探索三維或高維空間的曲線與曲面，“微分幾何”則是借助微分工具以微積分（主要是微分）的視角研究空間曲線和曲面;二是針對部分學(xué)生在研究生階段繼續(xù)深造學(xué)習(xí)研究微分幾何方向課程的需要，經(jīng)典微分幾何主要涉及曲面的內(nèi)蘊幾何，而現(xiàn)代幾何的基礎(chǔ)則是流形，“微分幾何”課程是聯(lián)系二者的樞紐.

二、現(xiàn)狀分析

“微分幾何”內(nèi)容多、課時少，教師一般通過講授法進(jìn)行演繹推理，經(jīng)過大量復(fù)雜計算以及嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评聿拍軌蛲瓿上嚓P(guān)定理推論的證明與計算.因而，學(xué)生會感到生澀難懂，從而失去學(xué)習(xí)的興趣，要么退選這門課，要么在這門課中見木不見林，思考較少，無法真正理解其具體內(nèi)容和方法.由此可見，地方高校在開設(shè)“微分幾何”這門課程還存在以下問題：

（一）教學(xué)內(nèi)容有待優(yōu)化

“微分幾何”在教學(xué)內(nèi)容上和大多數(shù)數(shù)學(xué)類基礎(chǔ)課程一樣都出現(xiàn)了相對陳舊的現(xiàn)象，主要表現(xiàn)在教材不能很好地反映幾何學(xué)科的最新成果，在理論與方法上相對陳舊.

（二）傳統(tǒng)教學(xué)方法需要更新

“微分幾何”主要采用的“講授法”中小學(xué)乃至地方高校在本科期間主要采用的方法，講授法的主要優(yōu)點是能夠較快地講授知識點，順利地將教學(xué)大綱所規(guī)定內(nèi)容傳遞給學(xué)生.然而，這種單一的教學(xué)方式也存在許多問題，不僅忽略了“微分幾何”給予學(xué)生的直觀教育，而且使學(xué)生丟失了在學(xué)習(xí)中參與者的身份.

（三）應(yīng)用意識尚需提高

經(jīng)典的“微分幾何”不僅是微積分與線性代數(shù)的進(jìn)一步應(yīng)用、幾何學(xué)研究性學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，還可以廣泛地應(yīng)用于生活中，比如，線面設(shè)計、曲面磨光、公路橋梁設(shè)計和機器人研究等范疇.但是在本科教學(xué)過程中，微分幾何更傾向于傳統(tǒng)教學(xué)，側(cè)重于理論，同時受到學(xué)校安排的課時、場地等因素的影響.在“微分幾何”的教學(xué)中，教師對培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用意識和能力方面缺少主動性.學(xué)生在學(xué)習(xí)“微分幾何”時興趣不足，所學(xué)知識不夠，導(dǎo)致對“微分幾何”的學(xué)習(xí)變得被動.因此，在教學(xué)內(nèi)容的安排和教學(xué)方法的設(shè)計上，教師也應(yīng)該做出相應(yīng)的改變與思考.

三、地方高校微分幾何本科教學(xué)在內(nèi)容和教學(xué)方法的探索與實踐

（一）教學(xué)方法

教師在“微分幾何”課程的教學(xué)方法上，應(yīng)該將講授法、演示法、自主學(xué)習(xí)法等多種教學(xué)方法有效地結(jié)合起來，因材施教，激發(fā)學(xué)生思維，讓學(xué)生將自主學(xué)習(xí)視為重點，增強學(xué)生的自學(xué)能力，使學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中將抽象轉(zhuǎn)化為形象，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，從而提高教學(xué)質(zhì)量.在講授該課程時，教師主動聯(lián)系已有的幾何、微分知識，開展啟發(fā)式教學(xué).采用多種教學(xué)方式最大限度地讓學(xué)生參與課堂，參與學(xué)習(xí)，在引導(dǎo)啟發(fā)式教學(xué)設(shè)計時，教師要遵從主體性、目標(biāo)性、可行性、開放性，培養(yǎng)學(xué)生的動手能力與科研能力等，嘗試新穎的教學(xué)模式與方法.筆者針對以上內(nèi)容提出了以下幾種具體措施：

1.適時、適當(dāng)?shù)卦O(shè)置小組活動的教學(xué)方式.小組合作與啟發(fā)式提問相結(jié)合，教師可以根據(jù)學(xué)生的能力和水平組織學(xué)生通過小組活動的形式完成一些教學(xué)任務(wù)，比如，在教師教授了一部分理論知識后，留下1～3個問題讓小組解決，通過小組全員講授的方式讓學(xué)生都參與進(jìn)來.在課時不允許的情況下，改為以作業(yè)的形式上交教師，讓每個小組成員都有所參與.這樣的方式不僅能夠活躍學(xué)習(xí)氣氛，而且能夠〖HJ1.5mm〗使問題細(xì)分化，讓每名學(xué)生都能參與到課堂中.教師還可以采用主講和學(xué)生參與討論相結(jié)合的方式，讓學(xué)生更進(jìn)一步地融入教學(xué)過程中，將單一的講授內(nèi)容化解成一個個問題，讓學(xué)生思維得到鍛煉.這種方式不僅可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中獲得成就感，而且有益于教師更有效、更及時地把握學(xué)生的學(xué)習(xí)狀況，把握教學(xué)進(jìn)度以及對教學(xué)的深度和難度進(jìn)行及時的調(diào)整.

2.微課程教學(xué)組織模式.在新時代的教學(xué)模式下，教師可以有效地利用21世紀(jì)結(jié)合科技發(fā)展的新型教學(xué)方式，充分利用公共資源、共享資源、網(wǎng)絡(luò)資源，讓學(xué)生加入自主學(xué)習(xí)的行列.比如，大多數(shù)學(xué)校的超星圖書館里都有很多雙一流學(xué)科的授課視頻，教師可以讓學(xué)生提前學(xué)習(xí)，掌握一定的知識內(nèi)容，有效地縮短教師在課堂上單一講授理論知識的時間，同時學(xué)生也可以吸收多種思維.這種多樣化的學(xué)習(xí)方式，既可以培養(yǎng)學(xué)生的自學(xué)能力，又教會了學(xué)生學(xué)習(xí)途徑.

3.在考核過程中，教師可以從單一的考核評價向多元評價過渡，把握過程評價、能力評價、目標(biāo)評價相結(jié)合的綜合評價方式，向多元化評價的教學(xué)方法改進(jìn).傳統(tǒng)的考核方式是只記期末卷面成績，這樣就出現(xiàn)了學(xué)生“臨時抱佛腳”、理論知識不踏實、知識系統(tǒng)不連貫的情況，雖然新時期地方高校的考核方式逐漸加入了平時成績的考核，但是對平時成績的細(xì)則并沒有給出較多的方案，教師也只是單一地從平時交上的課后作業(yè)給予評價和計分，這種平時成績加上期末卷面成績的考核方式雖然改變了單一的期末考核方式，但是也并沒有對學(xué)生是否掌握知識做出一個完整的評價.因此，教師可以在建立多種教學(xué)方式后，根據(jù)學(xué)生課堂的表現(xiàn)、解決問題的能力、學(xué)習(xí)態(tài)度等多種角度上考核學(xué)生，不僅能夠拉近教師與學(xué)生的距離，也能夠在考核方式上體現(xiàn)公平性.

4.分層答疑輔導(dǎo).學(xué)生學(xué)習(xí)情況存在差異，并且由于在中高階段學(xué)生出現(xiàn)的學(xué)習(xí)情況差異也比較明顯，因此，教師可以安排合理的時段讓助教教師為學(xué)生答疑解惑.以湖北大學(xué)為例，學(xué)校的每門課程都設(shè)有助教，助教既能減輕教師的教學(xué)負(fù)擔(dān)，留給教師足夠的時間進(jìn)行科研活動，同時也可為學(xué)生答疑解惑，助教也可以通過作業(yè)的反饋，對學(xué)生進(jìn)行分層答疑輔導(dǎo)，更好地使不同基礎(chǔ)的學(xué)生獲得最有效的學(xué)習(xí)效果.

（二）教學(xué)內(nèi)容

在“微分幾何”課程的教學(xué)內(nèi)容上，地方高校很難實現(xiàn)教學(xué)內(nèi)容上的及時更新，在選擇教材時也很大程度上延續(xù)使用了傳統(tǒng)的教材，一方面，是因為我國的高等教育體系還在不斷改進(jìn)和進(jìn)步，另一方面，是為了大大減輕教師的負(fù)擔(dān)，使教師將注意力更多地放在教學(xué)方法的改進(jìn)上.為此，結(jié)合筆者的實際教學(xué)經(jīng)歷，以下的建議值得嘗試：

1.教學(xué)內(nèi)容命題化.在很多學(xué)科的教學(xué)上，教師一般都存在照本宣科、生搬硬套教材的問題，沒有考慮學(xué)生對知識點的需要，一味地講解與朗讀，學(xué)生既失去了對“微分幾何”的學(xué)習(xí)興趣，又無法牢固掌握知識.因此，將教學(xué)內(nèi)容命題化，結(jié)合小組活動的方式，有效地把數(shù)學(xué)定理目的化，數(shù)學(xué)問題細(xì)化，增強了學(xué)生對知識點的應(yīng)用能力，讓學(xué)生真切感受到定理的證明、推論、例題間的相互關(guān)系與差異性.

2.教學(xué)內(nèi)容連貫化.學(xué)科之間交叉時，學(xué)生并未感受到學(xué)科之間的聯(lián)系，這就導(dǎo)致學(xué)生對某一門學(xué)科的忽視，因此，教師在教學(xué)過程中要注意學(xué)科間的相互影響和聯(lián)系，在“微分幾何”課程中，有大量內(nèi)容都與微分、幾何初等知識有聯(lián)系，教師應(yīng)考慮在課程導(dǎo)入或者教學(xué)過程中簡單闡述知識之間的聯(lián)系，不僅讓學(xué)生明白學(xué)科的重要性，也感受到了數(shù)學(xué)的邏輯性.

3.教學(xué)內(nèi)容深度化.教師可以根據(jù)學(xué)生的學(xué)習(xí)情況和學(xué)生自身能力做出相應(yīng)的問題拓展，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，并對后面的“微分流形”“黎曼幾何”等幾何課程做鋪墊，讓學(xué)生能夠感受到“微分幾何”課程的用處，并且對幾何學(xué)研究的現(xiàn)狀有相應(yīng)的了解，這不僅能夠加深學(xué)生對“微分幾何”這門課程的理解和掌握，同時對“微分幾何”這門學(xué)科的發(fā)展也有重要的意義.

4.邀請學(xué)生參加“微分幾何”方向的學(xué)術(shù)講座，“微分幾何”方向的學(xué)術(shù)講座可以對本科生開放，教師邀請學(xué)生參與學(xué)術(shù)講座，初步了解“微分幾何”學(xué)科的新發(fā)現(xiàn)、新探索.對學(xué)生實行自愿鼓勵的方式參與，培養(yǎng)對“微分幾何”學(xué)科感興趣的研究性人才.這不僅讓其感受到了基礎(chǔ)學(xué)科的魅力，增加學(xué)生對微分幾何的興趣，也讓學(xué)生感受到微分幾何的發(fā)展.

四、總 結(jié)

微分幾何是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的重要分支，是研究空間結(jié)構(gòu)的探索，是探索宇宙的工具，如偉大的幾何學(xué)家陳省身大師所說：“物理就是幾何.”物理學(xué)上的一些理論和幾何學(xué)上的一些公式定理殊途同歸.因此，“微分幾何”可以說是現(xiàn)代自然科學(xué)研究的一門重要基礎(chǔ)學(xué)科，教師與學(xué)生對“微分幾何”這門課程都應(yīng)嚴(yán)謹(jǐn)對待.在新時期，如果教師不做出相應(yīng)的改變和思考，極有可能導(dǎo)致學(xué)生忽視“微分幾何”課程，嚴(yán)重影響國內(nèi)幾何學(xué)科的發(fā)展，使得后續(xù)的幾何方向研究生教育出現(xiàn)一系列困難.〖WT〗

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