以數(shù)學(xué)為中心的高中跨學(xué)科教學(xué)路徑初探

華志遠(yuǎn)

摘要：跨學(xué)科教學(xué)是以一個(gè)學(xué)科為中心，在這個(gè)學(xué)科中選擇一個(gè)題目，運(yùn)用不同學(xué)科的知識(shí)，對(duì)所指向的中心題目進(jìn)行加工和設(shè)計(jì)教學(xué)。實(shí)施以數(shù)學(xué)為中心的高中跨學(xué)科教學(xué)的路徑有：抓住課程主線，尋求內(nèi)容的交匯點(diǎn);研究課程標(biāo)準(zhǔn)，尋求方法的結(jié)合點(diǎn);發(fā)掘真實(shí)問(wèn)題，拓展應(yīng)用的邊界;回顧發(fā)展歷史，獲得成功的經(jīng)驗(yàn)。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué);跨學(xué)科教學(xué);科學(xué)方法;數(shù)學(xué)應(yīng)用;數(shù)學(xué)史

《普通高中課程方案（2017年版）》突出了課程內(nèi)容的關(guān)聯(lián)性原則，即“注重學(xué)科內(nèi)容選擇、活動(dòng)設(shè)計(jì)與學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)養(yǎng)成的有機(jī)聯(lián)系;關(guān)注學(xué)科間的聯(lián)系與整合;增強(qiáng)課程內(nèi)容與社會(huì)生活、高等教育和職業(yè)發(fā)展的內(nèi)在聯(lián)系”。但從我國(guó)高中師資現(xiàn)狀來(lái)看，由于師范教育將教師定位于從事某一具體學(xué)科的教學(xué)工作，職后教育又較少涉及跨學(xué)科教學(xué)的培訓(xùn)，因此教師面臨的挑戰(zhàn)是怎樣培養(yǎng)和發(fā)展橫向聯(lián)結(jié)不同領(lǐng)域知識(shí)的能力。

在新課改中，高中數(shù)學(xué)受關(guān)注的程度很高，但其科學(xué)、應(yīng)用、人文和審美等價(jià)值遠(yuǎn)沒(méi)有受到師生足夠的重視，主要癥結(jié)表現(xiàn)為教學(xué)目標(biāo)過(guò)于窄化，教學(xué)過(guò)程過(guò)于封閉，較少關(guān)注與其他學(xué)科之間的聯(lián)系等。對(duì)于2019年高考數(shù)學(xué)全國(guó)Ⅰ卷和Ⅱ卷中分別涉及維納斯身高的估測(cè)和物理公式的近似推導(dǎo)兩道題，很多學(xué)生不知所措，便是例證。

研究表明：倘若學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中不能及時(shí)發(fā)現(xiàn)知識(shí)的縱橫聯(lián)系、實(shí)際意義和應(yīng)用價(jià)值，學(xué)習(xí)興趣就會(huì)大大降低，所學(xué)知識(shí)也會(huì)變得抽象、冰冷和乏味。而跨學(xué)科整合為數(shù)學(xué)教學(xué)開(kāi)拓了新的視野，帶來(lái)了新的氣象。

一、理解以數(shù)學(xué)為中心的高中跨學(xué)科教學(xué)的內(nèi)涵

“跨學(xué)科”概念起源于20世紀(jì)20年代，由美國(guó)學(xué)者泰勒、伍德沃斯等提出、倡導(dǎo)并在高等教育中實(shí)施，發(fā)展至今已有多個(gè)版本的定義。其中，筆者認(rèn)為，以艾倫·雷普克給出的定義最為權(quán)威：跨學(xué)科研究是回答、解決和處理問(wèn)題的進(jìn)程，由于這些問(wèn)題太寬泛、太復(fù)雜，僅靠單個(gè)學(xué)科的知識(shí)不足以解決;它以學(xué)科為依托，以整合見(jiàn)解、構(gòu)建更全面的觀點(diǎn)為目的?？梢?jiàn)，“跨學(xué)科”概念的要素有：首先，以現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的研究和解決為依托;其次，以多個(gè)學(xué)科為載體，關(guān)注復(fù)雜問(wèn)題或課題的全面分析與解決;再次，希望掌握明確的、整合的研究方法與思維方式;此外，力求獲得新的認(rèn)知，鼓勵(lì)在跨學(xué)科的基礎(chǔ)上有所發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)新。

我國(guó)學(xué)者對(duì)跨學(xué)科教學(xué)的定義，更多地借鑒了德國(guó)學(xué)者的定義：跨學(xué)科教學(xué)是以一個(gè)學(xué)科為中心，在選擇一個(gè)題目，運(yùn)用不同學(xué)科的知識(shí)，對(duì)所指向的中心題目進(jìn)行加工和設(shè)計(jì)教學(xué)。這一中心題目一旦被確定，就將被賦予更多的意義，即除了知識(shí)和技能目標(biāo)之外，還有思想方法、思考策略以及綜合素養(yǎng)等方面的培養(yǎng)?？梢?jiàn)，跨學(xué)科教學(xué)的目標(biāo)是：首先使學(xué)生有效地習(xí)得學(xué)以致用的知識(shí)，其次提高學(xué)生的能力和素養(yǎng)，再次引導(dǎo)學(xué)生形成正確的世界觀、人生觀和價(jià)值觀。

由此延伸，以數(shù)學(xué)為中心的高中跨學(xué)科教學(xué)，是指在高中數(shù)學(xué)課程中選擇合適的中心題目，運(yùn)用自然科學(xué)、信息技術(shù)、社會(huì)科學(xué)、人文科學(xué)等領(lǐng)域的知識(shí)，對(duì)所指向的中心題目進(jìn)行加工和設(shè)計(jì)教學(xué)，即以“問(wèn)題鏈”為依托，使學(xué)生在問(wèn)題（任務(wù)）的驅(qū)動(dòng)下，更有效地獲得知識(shí)，同時(shí)培養(yǎng)能力、提升素養(yǎng)。開(kāi)展這樣的教學(xué)，關(guān)鍵是要找到數(shù)學(xué)與其他學(xué)科整合的取向，即找到數(shù)學(xué)與其他學(xué)科之間有意義、有價(jià)值的聯(lián)系，并以此為紐帶對(duì)學(xué)科進(jìn)行整合。

二、實(shí)施以數(shù)學(xué)為中心的高中跨學(xué)科教學(xué)的路徑

（一）抓住課程主線，尋求內(nèi)容的交匯點(diǎn)

以數(shù)學(xué)為中心的高中跨學(xué)科教學(xué)，首先，要圍繞高中數(shù)學(xué)的主干知識(shí)、核心概念、定理、公式和重要思想方法展開(kāi)課程內(nèi)容;其次，要采用局部遞進(jìn)和整體貫穿的方法編排課程順序，即每個(gè)章節(jié)的內(nèi)容安排由淺入深，同時(shí)注重章節(jié)之間的銜接;再次，要結(jié)合課程內(nèi)容，探尋數(shù)學(xué)與其他學(xué)科的交匯點(diǎn)，促進(jìn)知識(shí)和方法的連接和融合。

比如，函數(shù)、方程及不等式是高中數(shù)學(xué)的主體內(nèi)容，而最值又是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容。對(duì)此，可以設(shè)計(jì)如下教學(xué)內(nèi)容：（1）力學(xué)、熱學(xué)、電磁學(xué)中的最值問(wèn)題;（2）經(jīng)濟(jì)學(xué)、建筑學(xué)、工程學(xué)中的最優(yōu)化問(wèn)題;（3）其他社會(huì)生產(chǎn)和生活中的實(shí)際問(wèn)題。這樣，既能體現(xiàn)數(shù)學(xué)的工具性，又能體現(xiàn)數(shù)學(xué)結(jié)果的跨學(xué)科意義或?qū)嶋H意義，引發(fā)學(xué)生的拓展性討論。

以“三角函數(shù)最值的應(yīng)用”教學(xué)為例，筆者設(shè)計(jì)了以下兩道例題：

例1如圖1，在水平地面上放一個(gè)重為60 N的物體M，M與地面的滑動(dòng)摩擦系數(shù)為33。要使M在地面上做勻速直線運(yùn)動(dòng)，問(wèn)：拉力F與地面的夾角θ為多大時(shí)最小？此時(shí)拉力F為多少？

圖1

例2如圖2，屋頂?shù)慕孛媸堑妊切蜛BC，其中AB=AC，橫梁BC的長(zhǎng)為定值2l。問(wèn)：當(dāng)屋頂面的傾斜角α為多大時(shí)，雨水從屋頂（頂面為光滑斜面）流下所需的時(shí)間最短？

圖2

這兩道題出示后，學(xué)生感覺(jué)很驚訝：數(shù)學(xué)課上怎么出現(xiàn)了物理題？筆者說(shuō)道：“牛頓在解決物理問(wèn)題時(shí)發(fā)明了微積分，愛(ài)因斯坦等著名物理學(xué)家也都是頂尖數(shù)學(xué)高手。希望同學(xué)們今后也能成為這樣的跨學(xué)科高手?！笔艽思?lì)，學(xué)生探索的熱情高漲。

對(duì)于例1，學(xué)生設(shè)地面對(duì)物體的彈力為N，物體與地面的滑動(dòng)摩擦力為f，得f=μN(yùn)后，通過(guò)物體的受力分析和正交分解法，得到Fcosθ-f=0，N+Fsinθ=G，從而解得F=μGμsinθ+cosθ=60sinθ+3cosθ=30sin （θ+60°），故當(dāng)θ+60°=90°，即θ=30°時(shí)，拉力F最小，為30 N。

對(duì)于例2，學(xué)生將雨滴看成質(zhì)點(diǎn)，利用受力分析和正交分解法，得到它沿AB下滑的加速度為gsinα，根據(jù)勻加速運(yùn)動(dòng)的位移公式，得到AB=s=12gt2sinα;根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，得到AB=BDcosα=lcosα;因此，lcosα=12gt2sinα，即有t2=2lgsinαcosα=4lgsin2α，故當(dāng)sin2α=1，即α=45°時(shí)，t取得最小值，此時(shí)雨水從屋頂流下所需的時(shí)間最短。

從兩道題的解決過(guò)程中，我們可以發(fā)現(xiàn)：?jiǎn)栴}所涉及的知識(shí)都是數(shù)學(xué)與物理的主干知識(shí)，用到的數(shù)學(xué)和物理的思想、模型都是最常見(jiàn)、最重要的。例1綜合了物理學(xué)中的受力分析和數(shù)學(xué)中的三角函數(shù)變換與最值以及方程思想，例2則綜合了物理學(xué)中的受力分析、位移公式和數(shù)學(xué)中的等腰三角形性質(zhì)、三角函數(shù)變換與最值以及方程思想。這兩題讓學(xué)生印象深刻，幫助學(xué)生積累了跨學(xué)科運(yùn)用知識(shí)解決問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn)，提升了跨學(xué)科素養(yǎng)。

（二）研究課程標(biāo)準(zhǔn)，尋求方法的結(jié)合點(diǎn)

課程標(biāo)準(zhǔn)給出了各個(gè)學(xué)科的主干知識(shí)和關(guān)鍵能力，除了涉及相關(guān)知識(shí)、技能層面的交叉、融合，還會(huì)展現(xiàn)思想方法和學(xué)習(xí)策略層面的滲透和相通。例如，數(shù)學(xué)建模與科學(xué)探究，其過(guò)程和方法極為相似。筆者通過(guò)與物理、信息技術(shù)教師協(xié)作，設(shè)計(jì)了《探究不同杯子的保溫效果》一課，把“函數(shù)模型及其應(yīng)用”“物體的冷卻規(guī)律”和防水溫度傳感器有機(jī)結(jié)合起來(lái)，收到了較好的教學(xué)效果。簡(jiǎn)要教學(xué)過(guò)程如下：

教師提出問(wèn)題：“生活中的杯子無(wú)論形狀、大小還是材質(zhì)不同，其保溫效果都可能有差異。將65℃的熱水分別倒入大小相同的圓柱形無(wú)蓋陶瓷杯和玻璃杯，哪個(gè)保溫效果更好？”學(xué)生猜測(cè)陶瓷杯的保溫效果更好，主要依據(jù)是物理學(xué)中有這樣的結(jié)論：陶瓷的導(dǎo)熱性比玻璃差。

“這一猜測(cè)是否成立呢？”教師利用Romeo控制器、USB數(shù)據(jù)線、兩個(gè)防水溫度傳感器、秒表等實(shí)驗(yàn)器材，每隔5分鐘，分別測(cè)量?jī)芍槐又械乃疁?，等串口監(jiān)視器上的溫度基本穩(wěn)定后記錄數(shù)據(jù)。測(cè)量5次后停止，數(shù)據(jù)記錄如表1所示。學(xué)生從表中發(fā)現(xiàn)，玻璃杯中水溫比陶瓷杯中水溫下降得略快一些，但每次測(cè)量值的差異并不大，僅在0.02℃至0.26℃之間，考慮到測(cè)量誤差等因素，這樣的差異可以忽略不計(jì)。

“為什么與我們先前的假設(shè)不相符呢？如果改變杯子的材質(zhì)、壁厚、容量，測(cè)得的數(shù)據(jù)又會(huì)如何？”學(xué)生在后續(xù)的分組實(shí)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)，不蓋蓋子時(shí)，保溫效果的差異不大;蓋上蓋子后，保溫效果的差異較大。

在評(píng)價(jià)與反思階段，學(xué)生終于道出了原因：在變量的控制過(guò)程中，有無(wú)蓋子決定了保溫效果，即導(dǎo)熱性必須在封閉容器中才能得以體現(xiàn)，而在無(wú)蓋狀態(tài)下，杯子主要依靠杯口向外散熱。

然后，教師引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)查閱發(fā)現(xiàn)，物體在常溫下的溫度變化可以用牛頓冷卻規(guī)律來(lái)描述：設(shè)物體的初始溫度是T0，經(jīng)過(guò)一定時(shí)間t后的溫度是T，則T-Ta=（T0-Ta）12th，其中Ta表示環(huán)境溫度，h稱為半衰期。又讓學(xué)生將表1中測(cè)得的初始、5分鐘和10分鐘時(shí)的溫度代入，計(jì)算得到環(huán)境溫度約為24℃，發(fā)現(xiàn)其與室溫基本吻合。

回顧上述教學(xué)過(guò)程，首先，從問(wèn)題引入，引出了實(shí)驗(yàn)操作的必要性，激發(fā)了學(xué)生探究的心向;其次，運(yùn)用信息技術(shù)獲得了相應(yīng)的數(shù)據(jù)，但結(jié)果又出乎學(xué)生的預(yù)料，從而點(diǎn)燃了學(xué)生進(jìn)一步探索的熱情;再次，通過(guò)回顧反思、執(zhí)果索因、關(guān)聯(lián)變量，重新對(duì)數(shù)據(jù)加以分析、綜合和評(píng)價(jià)，發(fā)展了學(xué)生的理性思維和批判性思維，培養(yǎng)了學(xué)生的科學(xué)精神和探究能力;最后，回歸數(shù)學(xué)教材上提出的物理模型，通過(guò)數(shù)據(jù)的擬合、函數(shù)與方程思想的應(yīng)用，加以定量分析。這樣，從實(shí)驗(yàn)操作到數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)，從定性分析到定量計(jì)算，從物理規(guī)律的理解到數(shù)學(xué)模型的建立，始終圍繞科學(xué)探究的主線，從而使跨學(xué)科教學(xué)自然、有序、和諧地開(kāi)展。

（三）發(fā)掘真實(shí)問(wèn)題，拓展應(yīng)用的邊界

在數(shù)學(xué)教學(xué)中進(jìn)行跨學(xué)科整合，關(guān)鍵是要找到真實(shí)的問(wèn)題。這些問(wèn)題一方面要指向數(shù)學(xué)教學(xué)目標(biāo)，對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)知識(shí)、技能、思想方法和思維策略等具有豐富的教學(xué)價(jià)值;另一方面要具備啟發(fā)性、探索性、應(yīng)用性、綜合性和拓展性等特征，對(duì)學(xué)生的理解力、思考力和創(chuàng)新力等核心學(xué)力有較好的訓(xùn)練和滋養(yǎng)價(jià)值。要設(shè)計(jì)出這樣的問(wèn)題鏈，學(xué)校應(yīng)組建相應(yīng)的跨學(xué)科教師團(tuán)隊(duì)，通過(guò)分工、協(xié)作和研討，發(fā)掘社會(huì)實(shí)踐、生產(chǎn)生活中可利用的資源，整合各個(gè)學(xué)科的課程目標(biāo)，把跨學(xué)科的學(xué)術(shù)形態(tài)轉(zhuǎn)化為可實(shí)施的教學(xué)樣態(tài)。

例如，蘇教版高中數(shù)學(xué)教材在“圓的方程”與“拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程”中，都有一些與拱橋有關(guān)的例題或習(xí)題。筆者就以此引發(fā)學(xué)生討論：究竟怎樣的拱橋適合用圓來(lái)擬合數(shù)據(jù)？怎樣的拱橋用拋物線來(lái)建立模型較好？由此引申出研究性學(xué)習(xí)課題：以無(wú)錫的橋梁變遷為例，談橋的發(fā)展、建造和價(jià)值。這樣的課題源于數(shù)學(xué)，又與人文、歷史、物理、建筑、美學(xué)等學(xué)科相融合，可有效促進(jìn)學(xué)生跨學(xué)科思維的形成和發(fā)展。

再如，教學(xué)“三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)”時(shí)，可以聯(lián)系物理中的圓周運(yùn)動(dòng)、簡(jiǎn)諧振動(dòng)、波等知識(shí)，尋找真實(shí)的問(wèn)題，如汽車(chē)發(fā)動(dòng)機(jī)曲柄連桿的運(yùn)動(dòng)、潮汐現(xiàn)象等。

（四）回顧發(fā)展歷史，獲得成功的經(jīng)驗(yàn)

從數(shù)學(xué)和科學(xué)的發(fā)展史來(lái)看，許多重大發(fā)現(xiàn)都離不開(kāi)跨學(xué)科研究。因此，在課堂教學(xué)中，結(jié)合課程內(nèi)容深入淺出地介紹這些歷史，不僅能激發(fā)學(xué)生的興趣，而且能讓學(xué)生體驗(yàn)原創(chuàng)思維的價(jià)值，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和實(shí)踐能力。另外，還可以結(jié)合科研的前沿動(dòng)態(tài)，介紹社會(huì)生產(chǎn)中成功運(yùn)用多學(xué)科知識(shí)解決具體問(wèn)題的實(shí)例和方法，幫助學(xué)生養(yǎng)成跨學(xué)科思維的習(xí)慣。

比如，牛頓在研究物理學(xué)中的變加速運(yùn)動(dòng)、變力做功等問(wèn)題時(shí)，采用微元分析的思想來(lái)解決，使數(shù)學(xué)的發(fā)展進(jìn)入了微積分時(shí)代。在此過(guò)程中，無(wú)窮小量引發(fā)了一次數(shù)學(xué)危機(jī)。而萊布尼茨通過(guò)極限思想完善了微積分理論，不僅推動(dòng)了數(shù)學(xué)的發(fā)展，而且促進(jìn)了數(shù)學(xué)與物理的融合。其中，一些典型問(wèn)題的解決，可以讓學(xué)生領(lǐng)略到跨學(xué)科學(xué)習(xí)的魅力。

例如，在推導(dǎo)球的表面積公式時(shí)，因?yàn)榍蛎婕糸_(kāi)后不能鋪平，所以筆者引導(dǎo)學(xué)生與劉徽的“割圓術(shù)”進(jìn)行類比，即將球看成無(wú)數(shù)個(gè)頂點(diǎn)在球心、底面在球面上的“小錐體”，只要這些“小錐體”的底面足夠小，就能把它們近似地看成高為球半徑R的棱錐，而它們的底面積之和就等于球的表面積S，體積之和就等于球的體積V，于是有13SR=V=43πR3，可以得S=4πR2。這里的微元分析思想為學(xué)生后續(xù)的微積分學(xué)習(xí)做了孕伏。為了強(qiáng)化這一思想，筆者設(shè)計(jì)了這樣一道物理題：

例3質(zhì)量為m的物體以勻速率v沿半徑為r的豎直圓形軌道運(yùn)動(dòng)。若物體與豎直圓形軌道間的摩擦系數(shù)為μ，問(wèn)：物體從軌道最低點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)的過(guò)程中，摩擦力做了多少功？

這里，物體從軌道最低點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)的過(guò)程中，由于位置差異導(dǎo)致與圓形軌道之間的正壓力不同，因此摩擦力也是變力。對(duì)此，只能利用微元分析思想，即把物體的運(yùn)動(dòng)無(wú)限細(xì)分，在每一個(gè)位移微元內(nèi)，因?yàn)榱Φ淖兓苄?，所以可以看成在恒力作用下運(yùn)動(dòng)，然后將所有位移微元內(nèi)的功相加，就得到總的功。具體解答如下：

解：如圖3，由圓軌道的對(duì)稱性，可在其水平直徑上、下對(duì)稱位置各取一點(diǎn)A、B，設(shè)OA、OB與水平直徑的夾角為θ。在Δs=rΔθ的無(wú)限短圓弧上，Δs可以看成線段，物體受到的摩擦力可以看成恒力。故在A、B兩點(diǎn)附近的Δs內(nèi)，物體受到的摩擦力所做的功為ΔW=-μN(yùn)1rΔθ-μN(yùn)2rΔθ。

由題意，物體在A、B兩點(diǎn)以速率v做圓周運(yùn)動(dòng)，故N1-mgsinθ=mv2r，N2+mgsinθ=mv2r。兩式相加，得N1+N2=2mv2r，故ΔW =-2μmv2Δθ，故當(dāng)θ從0取到π2時(shí)，摩擦力對(duì)物體所做的總功為-2μmv2π2，即-πμmv2。

本題不僅綜合了圓的切線性質(zhì)、弧度制、弧長(zhǎng)公式及重力、彈力、摩擦力、向心力、圓周運(yùn)動(dòng)、功等數(shù)學(xué)和物理學(xué)主干知識(shí)，而且必須在對(duì)稱、轉(zhuǎn)化以及微元分析等核心思想方法的引領(lǐng)下，才能獲得解決問(wèn)題的思路，從而體現(xiàn)了數(shù)學(xué)、物理單學(xué)科核心素養(yǎng)向跨學(xué)科核心素養(yǎng)的轉(zhuǎn)變。

最后，需要指出的是，由于以數(shù)學(xué)為中心的高中跨學(xué)科教學(xué)研究尚處于起步階段，相關(guān)課程資源匱乏，因此，需要數(shù)學(xué)教師通過(guò)學(xué)習(xí)和探索，并與其他學(xué)科教師進(jìn)行溝通和協(xié)作，有效開(kāi)發(fā)內(nèi)隱的課程資源，設(shè)計(jì)出既與高中數(shù)學(xué)課程相匹配，又與其他學(xué)科相融合，最好是符合社會(huì)生產(chǎn)、生活實(shí)際的問(wèn)題，作為中心題目和學(xué)習(xí)任務(wù)，并在國(guó)家、地方、學(xué)校三級(jí)課程的實(shí)施、評(píng)價(jià)過(guò)程中，不斷優(yōu)化、改進(jìn)與完善，從而為培養(yǎng)德才兼?zhèn)涞膹?fù)合型、創(chuàng)新型人才提供良好的范例。本文中所舉的案例主要體現(xiàn)的是數(shù)學(xué)與自然科學(xué)、信息技術(shù)等學(xué)科的整合，而與社會(huì)科學(xué)、人文科學(xué)等學(xué)科的整合（比如與古典詩(shī)詞的融合）將是筆者進(jìn)一步研究的重要方向。

本文系江蘇省教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃2020年度重點(diǎn)資助課題“以高中數(shù)學(xué)為主導(dǎo)的跨學(xué)科教學(xué)研究”（編號(hào)：Ba/2020/02/47）的階段性研究成果。

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