數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

劉經(jīng)標(biāo)

（廣昌縣第一中學(xué)，江西撫州 344900）

數(shù)形結(jié)合思想是把數(shù)學(xué)題中的數(shù)和形進(jìn)行靈活的轉(zhuǎn)換，用圖形的形式把抽象的數(shù)學(xué)問題直觀地展現(xiàn)出來，幫助學(xué)生進(jìn)行理解。著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生曾說：“數(shù)與形，本身相倚依，焉能兩邊飛？數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微。數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休。”說的是數(shù)形結(jié)合在應(yīng)用中的重要意義?？v觀高中數(shù)學(xué)，特別是在高考試題中，數(shù)形結(jié)合思想無處不得以體現(xiàn)，不僅可以解決數(shù)學(xué)問題，還可以幫助學(xué)生了解數(shù)學(xué)的本質(zhì)，為以后的深入學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。

一、利用數(shù)形結(jié)合解集合問題

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中集合問題雖然較為簡(jiǎn)單，但它是數(shù)學(xué)語言學(xué)習(xí)與運(yùn)用的基礎(chǔ)，對(duì)集合語言進(jìn)行掌握，可以幫助學(xué)生更好地進(jìn)行數(shù)學(xué)表達(dá)。教師要提醒學(xué)生對(duì)集合學(xué)習(xí)進(jìn)行重視。在解答集合問題時(shí)，學(xué)生要完成答題需要一定的空間構(gòu)思能力，也會(huì)有一定的難度。在集合問題中應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想，可以讓問題變得更加直觀，提高學(xué)生解題效率，降低錯(cuò)誤率。[1]

集合問題在運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法時(shí)，一般把圓視作一個(gè)集合，通過兩圓相交、兩圓相離的情況，可以直觀地看出集合之間有沒有公共的數(shù)集，對(duì)集合之間的關(guān)系可以有準(zhǔn)確的把握。用畫圖的形式可以降低演算量，把計(jì)算簡(jiǎn)單化。[2]在解不等式的取值范圍問題時(shí)，可以利用畫數(shù)軸圖形的方式來解決問題，讓問題變得簡(jiǎn)單。

二、利用數(shù)形結(jié)合解函數(shù)問題

1.數(shù)形結(jié)合思想與函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題

對(duì)于很多方程根的個(gè)數(shù)或零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，僅從數(shù)的角度思考和探究，往往就會(huì)陷入“山重水復(fù)”的地步，這時(shí)，我們?nèi)绻D(zhuǎn)換思路，從數(shù)化形，以形助數(shù)，數(shù)形結(jié)合，就會(huì)出現(xiàn)“柳暗花明”境界。

例1.（2018遼寧莊河高中、沈陽二十中高三上學(xué)期第一次聯(lián)考）函數(shù)則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（ ）。

A.2個(gè) B.3個(gè) C.4個(gè) D.5個(gè)

【答案】D

【點(diǎn)評(píng)】函數(shù)零點(diǎn)的求解與判斷方法：

（1）直接求零點(diǎn)：令f(x)＝0，如果能求出解，則有幾個(gè)解就有幾個(gè)零點(diǎn)。

（2）利用零點(diǎn)存在定理：利用定理不僅要函數(shù)在區(qū)間[a，b]上是連續(xù)不斷的曲線，且還必須結(jié)合函數(shù)的圖像與性質(zhì)（如單調(diào)性、奇偶性）才能確定函數(shù)有多少個(gè)零點(diǎn)。

（3）利用圖像交點(diǎn)的個(gè)數(shù)：將函數(shù)變形為兩個(gè)函數(shù)的差，畫兩個(gè)函數(shù)的圖像，看其交點(diǎn)的橫坐標(biāo)有幾個(gè)不同的值，就有幾個(gè)不同的零點(diǎn)。

2.數(shù)形結(jié)合思想與函數(shù)（導(dǎo)數(shù)）不等式問題

例2.若存在x∈(0,+∞)使ex-ax-1≤0成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）。

A.（0，+∞） B.（0，1） C.（1，+∞） D.[1，+∞）

【解法1】分類討論法（略）

【解法2】數(shù)形結(jié)合法

原題?ex≤ax+1在（0，+∞）有解，作出y=ex圖像，直線lAB:y=x+1在x=0處與y=ex圖像相切，故a＞1。

【點(diǎn)評(píng)】比較這兩個(gè)方法，可以看出運(yùn)用數(shù)形結(jié)合法，直觀、快速、準(zhǔn)確地可求出結(jié)果，避開了較復(fù)雜的討論和計(jì)算。方法2顯得簡(jiǎn)單多了。

三、利用數(shù)形結(jié)合思想求距離及其范圍

【點(diǎn)評(píng)】此題運(yùn)用代數(shù)法計(jì)算量大，且易出錯(cuò)，但用數(shù)形結(jié)合法簡(jiǎn)單明了，結(jié)論易得且易理解。很多求代數(shù)式的值或取值范圍的題目，都可以賦形來求解。

四、數(shù)形結(jié)合思想在解析幾何中的應(yīng)用

例4.（2017，江蘇卷）在平面直角坐標(biāo)系xoy中，A（-12，0），B（0，6），點(diǎn)P在圓O：x2+y2=50上，若，則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)范圍是_______。

【解析】如圖所示，A（-5，-5），B（1，7），由圖得，滿足條件的P點(diǎn)位于圓O中短弧線段上，故P的橫坐標(biāo)范圍是

【點(diǎn)評(píng)】該題用代數(shù)法極易給學(xué)生造成錯(cuò)解，得出P的橫坐標(biāo)范圍是[-5，1]。而以形助數(shù)，形象直觀從而能正確得出結(jié)論。

對(duì)于復(fù)雜、計(jì)算過程繁瑣的題目，用換元法、不等式法、函數(shù)單調(diào)性來解決問題容易出現(xiàn)錯(cuò)誤，教師要積極引導(dǎo)學(xué)生轉(zhuǎn)變思路，把數(shù)形結(jié)合思想應(yīng)用到函數(shù)問題中來。在三角函數(shù)、線性規(guī)劃、復(fù)數(shù)問題中，都可以運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，有效地解決各類問題。教師應(yīng)該重視起來，加強(qiáng)對(duì)學(xué)生數(shù)形結(jié)合思想的培養(yǎng)。

教師要轉(zhuǎn)變單一的教學(xué)方式，充分利用多媒體等現(xiàn)代教學(xué)設(shè)備進(jìn)行教學(xué)，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，讓學(xué)生對(duì)數(shù)形結(jié)合的思路充滿學(xué)習(xí)動(dòng)力。觀察多媒體中的圖形及動(dòng)態(tài)變化，有利于增強(qiáng)學(xué)生總結(jié)和發(fā)現(xiàn)問題的能力，有利于數(shù)形結(jié)合思想的形成。

總之，數(shù)形結(jié)合思想在數(shù)學(xué)中有較為廣泛的應(yīng)用，可以用來解決各類數(shù)學(xué)題，其直觀易懂的特點(diǎn)有利于把抽象的題目形象具體化，幫助學(xué)生進(jìn)行理解。數(shù)學(xué)解題過程就像抽絲剝繭，要層層分析，若僅使用代數(shù)法或者幾何法，很可能找不到解決問題的思路，或陷入復(fù)雜的計(jì)算，或易造成假象錯(cuò)誤，或過于抽象不好理解從而不能解答。數(shù)形結(jié)合是比較直觀、具體的思路，特別是求方程的根個(gè)數(shù)、零點(diǎn)個(gè)數(shù)，不等式求參范圍等，就常需轉(zhuǎn)化思路，將數(shù)與形結(jié)合起來，以形助數(shù)，同時(shí)在研究某一圖形時(shí)，找出圖形之間的數(shù)量關(guān)系，用代數(shù)法解決幾何問題，做到數(shù)形兼顧，彼此互化，可以提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)思想在解題時(shí)所帶來的成就感和快樂感，更好地幫助學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題。