《抽象代數(shù)》與大學數(shù)學課程

李瀏蘭，周立君

（衡陽師范學院 數(shù)學與統(tǒng)計學院，湖南 衡陽 421002）

地方師范院校由于受生源質量、師資水平等各方面條件的限制，數(shù)學專業(yè)畢業(yè)生主要去地方中小學擔任數(shù)學教師，所以很多數(shù)學專業(yè)學生對大學數(shù)學課程的重要性認識不夠，抱著應付過關的態(tài)度，對每門專業(yè)數(shù)學課程的學習都是 “蜻蜓點水” 淺嘗輒止，對各門數(shù)學課程之間的聯(lián)系鮮少思考，這導致學生所學的大學數(shù)學知識是零散的，孤立的。但是，數(shù)學專業(yè)的數(shù)學課程是一個完整的體系，互相之間聯(lián)系緊密，學生不僅要掌握每門專業(yè)課程，更要思考和掌握各門課程之間的聯(lián)系，這樣才能真正掌握數(shù)學學科的基本理論、基本知識與基本方法，才能運用所學的數(shù)學知識解決實際問題。

《抽象代數(shù)》被認為是大學數(shù)學的新 “三基” 之一，它研究群、環(huán)、域等代數(shù)體系，是經(jīng)典代數(shù)知識的抽象和深化，具有嚴密的邏輯性和高度的抽象概括性，學生必須跟上教師的授課進度消化每節(jié)課的內(nèi)容并將已學的知識點連貫起來，才能理解后續(xù)的教學內(nèi)容。由于授課學時有限，每節(jié)課的授課內(nèi)容多，教師在課堂上一般按照例子、定義、定理的模式講解，學生被動地接受知識灌輸；很多同學對于該課程的重要性認識不夠，甚至認為該課程 “無用” ，課程內(nèi)容又抽象難懂，因此學習該課程時不積極主動，甚至有厭學情緒，不僅沒法掌握基本的知識與方法，更談不上利用抽象代數(shù)的相關知識和方法解決實際問題。

事實上，抽象代數(shù)不僅能培養(yǎng)學生的抽象思維能力，更為解決很多實際問題提供了方法。比如，伽羅瓦在1832 年運用 “群” 的概念徹底解決了用根式求解代數(shù)方程的可能性問題。此外，抽象代數(shù)還與其它的數(shù)學專業(yè)課程聯(lián)系緊密，或為其它課程提供了理論基礎，或者其它一些課程可提供抽象代數(shù)的具體例子，而抽象代數(shù)的相關概念是這些例子的高度抽象，比如高等代數(shù)知識為《抽象代數(shù)》提供了很多具體的模型[1]。因此，要充分挖掘該課程的重要意義及其與其它數(shù)學課程的聯(lián)系，利用第二課堂和課堂教學時間見縫插針幫助學生理解、鞏固所學知識。本文將從具體的實例入手，幫助學生充分認識《抽象代數(shù)》的重要性，分析《抽象代數(shù)》與《復變函數(shù)》《實變函數(shù)》等課程之間的聯(lián)系，進一步理解抽象代數(shù)理論。

1 《抽象代數(shù)》有助于理解一些普遍規(guī)律的意義

1.1 結合律與交換律

眾所周知，通常的整數(shù)集、有理數(shù)集、實數(shù)集、復數(shù)集等集合上的加法運算和乘法運算都滿足結合律和交換律；通過學習抽象代數(shù)的結合律、交換律等運算規(guī)律，學生可知：加（乘）法同時滿足交換律和結合律，使得多個數(shù)的連加（乘）有意義且不需要考慮計算順序，這就有了七年級數(shù)學教材中的兩段話：（1）有理數(shù)的加法滿足交換律與結合律……，這樣，多個有理數(shù)相加，可以任意交換加數(shù)的位置，也可以先把其中的幾個數(shù)相加；（2） 根據(jù)乘法結合律與交換律，三個或三個以上的有理數(shù)相乘，可以任意交換因數(shù)的位置，也可以先把其中的幾個數(shù)相乘[2-3]。七年級數(shù)學教材先介紹有理數(shù)的加（乘）法滿足交換律與結合律，最后再陳述其意義，但是中間沒有任何解釋和說明性的過渡語句，中學數(shù)學教師由于自身對抽象代數(shù)的學習不深刻，本身并沒真正理解結合律與交換律的意義，所以講解的時候一般都是一句話帶過，學生并不能真正理解結合律與交換律的意義。如果數(shù)學專業(yè)的學生在學習抽象代數(shù)時能很好地掌握結合律和交換律的意義，畢業(yè)后走上工作崗位，作為一名中學數(shù)學教師就能讓學生不僅 “知其然” ，掌握乘法與加法運算的結合律與交換律，而且能讓學生 “知其所以然” ，理解加（乘）法滿足結合律與交換律的重要意義；接著，當學生接觸有理數(shù)的減法或除法時，教師可通過具體例子讓學生知道有理數(shù)的減（除）法既不滿足交換律，也不滿足結合律，所以三個或三個以上的有理數(shù)的做減（除）法運算必須加括號，括號的位置不同結果也不同，讓學生再次折服結合律與交換律的重要性。

此外，集合的交（并）運算同時滿足交換律和結合律，同理，通過學習抽象代數(shù)的交換律與結合律我們可知：多個集合的交（并）有意義且不用考慮運算順序，使得在《實變函數(shù)》中引入有限個集合、可數(shù)個集合、集族的交（并）自然而合理，在表示有限個集合、可數(shù)個集合、集族的交（并）時不需要考慮順序[4]。

1.2 除數(shù)不能為零

中小學階段我們學習除法、分數(shù)、分式時，要求被除數(shù)不能為零，要求分母不能為零，書上和中學數(shù)學教師一般都是簡單地說除數(shù)（分母）為零沒有意義，很多中學生只是記住這個要求，沒有真正理解它。事實上，抽象代數(shù)中關于域的概念要求：所有不為零的元素關于乘法都有逆元，設元素a不為零，則存在a關于乘法的逆元a-1使得aa-1=1。除法中求a÷b=x，實際上是尋找x使得a=bx，如果a≠0,b=0，這是不可能的，因為零元與任何元素相乘為零元；如果a=b=0，則x可為任意元素；綜合上述兩種情形，所以除數(shù)不能為零。

1.3 消去律

在中學解方程時，我們一般要對方程進行變形：方程的兩邊都加上（或都減去）同一個數(shù)或同一個整式；方程的兩邊同時乘以（或除以）同一個不為零的數(shù)，這樣變形后方程的解保持不變。初中教材是通過利用天平加減砝碼或擴大（縮小）砝碼來讓學生直觀理解。其實，這利用的是加法的消去律和非零數(shù)集關于乘法的消去律。通過學習群的知識，我們知道群關于其上的運算滿足消去律，而中學階段涉及的整數(shù)集、有理數(shù)集、實數(shù)集、復數(shù)集都關于加法是群，涉及的多項式、整式關于多項式的加法也構成群，所以關于加法滿足消去律：等式兩邊同時加上一個數(shù)（整式），所得結果還是等式；減去一個數(shù)實際上是加上這個數(shù)（整式）關于加法的逆元，所以還是加上一個數(shù)（整式），所得結果仍然是等式。但是，含有零元的數(shù)集并不是群，有理數(shù)集、實數(shù)集、復數(shù)集等集合去掉零后關于乘法才是群，才能滿足消去律，所以在方程兩邊乘以（除以）不為零的數(shù)，方程的解才能不變。值得注意的是：這個地方并沒有提及乘以或除以一個不為零的整式，這是由于多項式集合構成環(huán)，但不構成域。

在高等代數(shù)中，n×n階實矩陣組成的集合Mn(R)關于矩陣的加法構成群，關于矩陣的加法和乘法構成環(huán)，但由于有些n×n階實矩陣關于矩陣乘法沒有逆矩陣，所以Mn(R)中的非零矩陣組成的集合關于矩陣乘法不構成群，這就造成矩陣關于乘法不滿足消去律。如果我們只考慮Mn(R)中的可逆矩陣構成的集合，則該集合關于矩陣乘法構成群，所以可利用矩陣乘法解多元線性方程組：只要系數(shù)矩陣可逆，則線性方程組Ax=b的解就為x=A-1b, 其中A為n×n階可逆實矩陣，x和b是n維列向量，這就是利用可逆矩陣集合關于乘法的消去律在方程的兩邊同時乘以A-1[5-6]。

2 《抽象代數(shù)》讓我們理解數(shù)域的概念

高等代數(shù)的很多概念都建立在數(shù)域上，比如，定義在實數(shù)域上的線性空間，定義在復數(shù)域上的線性空間，但從沒有說建立在整數(shù)域上的線性空間。學習了抽象代數(shù)域的概念，我們才能知道：非零整數(shù)集關于乘法運算沒有逆元，所以整數(shù)集關于加法和乘法運算不是一個域，但有理數(shù)集、實數(shù)集關于加法和乘法運算構成域，從而我們能說有理數(shù)域、實數(shù)域，但不能說整數(shù)域。

我們在學習《復變函數(shù)》[7]時，首先學習的就是復數(shù)的概念與計算，通過學習《抽象代數(shù)》的群、環(huán)、域等概念，結合復數(shù)的運算知識我們可以很快理解：復數(shù)集合C 關于復數(shù)的加法和乘法構成域。因為C 關于復數(shù)的加法滿足封閉性、結合律和交換律， 0 是關于加法運算的單位元，每個復數(shù)z 關于加法的逆元是-z ，所以C 關于復數(shù)的加法是一個交換群；C 關于復數(shù)的乘法滿足結合律和交換律，1 是關于乘法運算的單位元，每個非零復數(shù)關于乘法有逆元；復數(shù)的加法運算和乘法運算滿足分配率，所以復數(shù)集合C 關于復數(shù)的加法和乘法構成域，俗稱復數(shù)域，所以我們也可以說復數(shù)域。

3 其它課程中一些《抽象代數(shù)》的模型和例子

《抽象代數(shù)》的概念是現(xiàn)實中相關模型的高度抽象和概括，除了教材中的例子，其它數(shù)學專業(yè)課程中也有很多例子，我們在學習其它課程時碰上這些例子，可以稍微講解，幫助學生再次回顧相關的《抽象代數(shù)》概念，鞏固所學的知識，也是所學知識的簡單運用。

3.1 《實變函數(shù)》中的交換群

我們采用的《實變函數(shù)》 教材是《實變函數(shù)》[4]，該書的第一節(jié)是 “集合及其運算” ，該節(jié)介紹了集族和集合的對稱差等概念，比如一個非空集合X 的所有子集就構成X上的一個集族F ，則F 關于集合的對稱差運算構成交換群：

（1） 顯然集族F 關于集合的對稱差運算封閉，即對任意的A，B ∈F , A 與B 的對稱差為

（2）集合的對稱差滿足結合律，參見《近世代數(shù)基礎》[2]中課后習題第4 題。

（3）空集是單位元，即對任意的A ∈F ，

（4）對任意的A ∈F ，它的逆元是它本身，即

（5）集合的對稱差滿足交換律。

3.2 《實變函數(shù)》中的 “等價關系” 模型

《義務教育教科書（數(shù)學）》[3]中的定理表明：集合的等價滿足（1）自反性，即任一個集合都與其自身等價。

（2）對稱性，即集合A 與B 等價，則B 與A等價。

（3）傳遞性，即集合A 與B 等價，且B 與C等價，則集合A 與C 等價，所以，集合的等價是《抽象代數(shù)》中的一個 “等價關系” 。

3.3 《復變函數(shù)》中的群模型

故這個集合關于映射的復合構成群[7]。由于映射的復合不滿足交換律，所以，這是一個非交換群。

4 《抽象代數(shù)》為一些后繼課程提供了理論基礎

4.1 幫助學生深刻理解可數(shù)集和連續(xù)統(tǒng)勢概念

我們定義：與正整數(shù)集合等價的集合是可數(shù)集，因此正整數(shù)集是可數(shù)集，整數(shù)集是可數(shù)集；利用至多可數(shù)個可數(shù)集的并還是可數(shù)集我們可以證明有理數(shù)集? 是可數(shù)集[4]。這個時候，如果問同學們：可數(shù)集都是等價的嗎？很多同學會比較迷茫，還有同學的答案是否定的。但如果我們還記得集合的等價是一個 “等價關系” ，由等價關系的傳遞性，同學們很快就可知道可數(shù)集都是等價的。很多涉及可數(shù)集的證明題，如果沒有具體說是哪個可數(shù)集合，則可以根據(jù)需要選擇我們熟悉的正整數(shù)集、整數(shù)集或有理數(shù)集等可數(shù)集。比如，在證明? 中任一兩兩不想交的開區(qū)間族是至多可數(shù)的時，沒有采用可數(shù)集的定義證明，也不是采用可數(shù)集的相關性質定理證明，而是證明這樣的開區(qū)間族與有理數(shù)集的子集等價；在證明?上單調函數(shù)的間斷點是至多可數(shù)集時，我們是證明? 上單調函數(shù)的間斷點組成的集合與? 中一個兩兩不想交的開區(qū)間族等價。

類似地，我們定義：與閉區(qū)間[0 ,1] 等價的集合稱為有連續(xù)統(tǒng)勢，接下來我們證明了任何區(qū)間都具有連續(xù)統(tǒng)勢，實數(shù)集具有連續(xù)統(tǒng)勢，因此，由集合的等價是一個 “等價關系” 可知：所有的區(qū)間、實數(shù)集都與閉區(qū)間[0 ,1] 等價，很多涉及連續(xù)統(tǒng)勢的證明可根據(jù)需要選取熟悉的[0 ,1] 、開區(qū)間、實數(shù)集等來做，可簡化證明，提高解題效率。

4.2 為《實變函數(shù)》提供了構造不可測集的方法

《實變函數(shù)》 在實數(shù)集上定義了一個 “關系” ，兩個元素符合關系當且僅當兩個元素的差是有理數(shù)， 這一關系是等價關系， 對任意的x∈[0 ,1] ，定義

則E(x)是x的等價類子集，因此由抽象代數(shù)中等價類的相關知識，我們可知，任意兩個E(x),E(y)要么相等，要么兩者的交為空集，而且

把所有不同的E(x)找出來，并在每一個這樣的E(x)中取一個代表元構成集合E，則我們可證明集合E是不可測集。

從上述的案例中，我們發(fā)現(xiàn)：利用《抽象代數(shù)》知識可深刻理解結合律、交換律、消去律等一些大家耳熟能詳?shù)钠毡橐?guī)律；《抽象代數(shù)》與《復變函數(shù)》《實變函數(shù)》等課程存在著千絲萬縷的關系，很多知識點互為基礎，互相補充。見微知著，我們可知：大學數(shù)學專業(yè)課程并不是孤立的，而是緊密聯(lián)系的，思考、理解和掌握不同課程知識點之間的聯(lián)系，可以幫助我們更深刻地理解、運用這些知識解決實際問題，從而更能實現(xiàn)人才培養(yǎng)目標。