高中教材中數(shù)學(xué)建模問題設(shè)置的研究

洪雨沛

摘要：數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)的培養(yǎng)離不開對建模問題的研究與探討。本文梳理了現(xiàn)行高中數(shù)學(xué)理科教材中的數(shù)學(xué)建模問題，從問題情境、知識內(nèi)容、建模流程的完整性、問題呈現(xiàn)形式與設(shè)置意圖等方面進行了研究，并為教材建模問題的設(shè)置提出了一些建議。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)建模;核心素養(yǎng);教材分析

數(shù)學(xué)建模作為高中數(shù)學(xué)六大核心素養(yǎng)之一，引起了社會廣泛的關(guān)注。高中數(shù)學(xué)教材中數(shù)學(xué)建模問題的設(shè)置直接影響學(xué)生數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)培養(yǎng)的效果。本文選取人民教育出版社（A版）與上海教育出版社（以下簡稱人教A版和滬教版）出版的高中數(shù)學(xué)（理科）教材，對其中數(shù)學(xué)建模問題的設(shè)置進行研究。

一、研究工具

1.數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)應(yīng)用題的差異

數(shù)學(xué)建模的特點：問題來源于現(xiàn)實生活，原汁原味;因為現(xiàn)實生活的復(fù)雜性，為了簡化模型，往往需要提出一些合理的假設(shè);模型多樣化，可以不斷地優(yōu)化完善;得到的結(jié)果需要返回現(xiàn)實情境中進行檢驗。應(yīng)用題是編者根據(jù)現(xiàn)實情境進行合理簡化后編制而成的，有濃厚的“人為編制”的味道。另外，應(yīng)用題的解答流程與建模問題的解答流程并不完全一致，往往應(yīng)用題都有明確的答案，模型也較為單一。

2.問題選擇原則與分析框架

根據(jù)數(shù)學(xué)建模的內(nèi)涵，我們將教材中符合以下條件的問題整理出來：

（1）問題的情境為現(xiàn)實情境或科學(xué)情境;

（2）具備最基本的數(shù)學(xué)建模過程（將現(xiàn)實問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題、建立模型、求解模型、返回現(xiàn)實中解決問題）

對于多個類似的問題，我們將選取1～2個問題作為代表問題進行分析。按照這樣的原則，共選取123個問題，具體情況如表1：

兩個版本的問題數(shù)量相差不大，其中概率與統(tǒng)計主題人教A版選例較多，原因是人教A版教材中概率與統(tǒng)計內(nèi)容比滬教版多。人教A版幾何與代數(shù)選例較少，原因是在解析幾何部分大多以數(shù)學(xué)情境為背景讓學(xué)生直接進行計算求解，而滬教版有較多的現(xiàn)實情境實例讓學(xué)生加以練習(xí)。

值得注意的是，數(shù)學(xué)建模問題與我們常說的應(yīng)用題是有差異的，但考慮到高中數(shù)學(xué)教材的特殊性，只要滿足以上兩個條件，無論是否有應(yīng)用題的屬性特征，都被視作本研究中所提到的數(shù)學(xué)建模問題。

對于選擇出來的問題，將從以下角度進行分析研究：

（1）該問題的呈現(xiàn)形式是什么？設(shè)置的目的是什么？

（2）該問題的問題情境是哪一類？（《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》將問題情境分為現(xiàn)實情境、科學(xué)情境與數(shù)學(xué)情境。）

（3）該問題主要涉及哪些知識內(nèi)容？

（4）解決該問題所建立的模型是否唯一？能否讓學(xué)生經(jīng)歷“模型的改進”這一步驟？

二、教材研究

1.問題的呈現(xiàn)形式

兩版教材中的數(shù)學(xué)建模問題，都是應(yīng)用題占主導(dǎo)地位，但也有一些探究性學(xué)習(xí)或活動，這一點在滬教版教材中尤為明顯。滬教版教材會設(shè)置一些課題，讓同學(xué)們圍繞課題進行思考、討論與研究，課題有時會涉及一些試驗的設(shè)計與數(shù)學(xué)建模論文的撰寫。而人教A版教材中的探究性學(xué)習(xí)內(nèi)容較少，但會出現(xiàn)較多的方案設(shè)計題，要求學(xué)生根據(jù)具體的情境設(shè)計出符合要求的方案。研究性課題和方案設(shè)計問題對學(xué)生的要求，都要高于應(yīng)用題，這些問題更加貼近生活，使學(xué)生綜合運用知識的能力得到較充分的鍛煉。

通過對兩版教材建模問題的分析發(fā)現(xiàn)，問題設(shè)置的目的大致可以分為三種。一是借用數(shù)學(xué)建模問題，介紹新的知識或新的數(shù)學(xué)模型。這樣能夠讓學(xué)生在現(xiàn)實情境中自然地學(xué)習(xí)新的數(shù)學(xué)知識，更加深刻地感受新知識的應(yīng)用價值。二是對學(xué)生運用數(shù)學(xué)知識解決問題的能力進行檢測，通過一系列問題的設(shè)置，探查學(xué)生對知識的掌握程度。三是要求學(xué)生真正地解決生活中的一些問題，這類題目相對較少，主要出現(xiàn)在滬教版教材中，并且大多以課題的形式出現(xiàn)。

2.問題情境與知識內(nèi)容（如表2）

兩版教材中的建模問題大都以現(xiàn)實情境為背景，科學(xué)情境占少數(shù)。總體來看，問題背景較成熟，多為社會中的實際問題，并且問題涉及范圍較廣，與學(xué)生距離較遠，如人口增長率、地震級數(shù)、半衰期等。部分問題也具有積極的導(dǎo)向，如保護環(huán)境、合理調(diào)整自己的情緒等。部分問題也能幫助學(xué)生形成正確的社會價值觀，如廠家生產(chǎn)合格產(chǎn)品等。相比于滬教版教材，人教A版教材問題所涉及的范圍更加廣泛。

教材中的建模問題，有些要求學(xué)生能夠熟練地運用初等函數(shù)模型去探究變量與變量之間的（確定）關(guān)系，并對一些現(xiàn)象進行解釋和預(yù)測;有些問題要求學(xué)生能夠從現(xiàn)實情境中抽象出三角形模型，并使用正余弦定理等工具進行求解;有些問題要求學(xué)生運用線性規(guī)劃的知識去尋找最優(yōu)策略，并對現(xiàn)實問題進行最佳決策;有些問題需要學(xué)生運用解析幾何的知識加以解決。

概率與統(tǒng)計模塊的知識內(nèi)容在建模問題中也有大量的涉及。有些要求學(xué)生能夠根據(jù)具體的情境設(shè)計抽樣方案;有些要求學(xué)生能夠借助于一組數(shù)據(jù)的特征值對數(shù)據(jù)進行分析并對現(xiàn)實問題做出合理的判斷;有些要求學(xué)生利用計數(shù)原理與排列組合進行計數(shù)或計算古典概型的概率;有些要求學(xué)生能夠通過建立回歸方程去了解兩個變量之間的相關(guān)關(guān)系（滬教版教材不涉及相關(guān)內(nèi)容，故無無此類問題）;有些要求學(xué)生能夠?qū)蓚€變量進行獨立性檢驗，判斷是否顯著性相關(guān)。

從知識內(nèi)容上看，兩版教材中的建模問題差異不大，重點考查的知識內(nèi)容基本一致。但在解析幾何模塊，滬教版教材的建模問題較多，而人教A版大多以數(shù)學(xué)情境為背景讓學(xué)生直接進行計算求解。

3.建模問題的解決過程

根據(jù)《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》對數(shù)學(xué)建模內(nèi)涵的確定，我們可以認(rèn)為一個數(shù)學(xué)建模問題的解決，要經(jīng)歷將現(xiàn)實問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題—建立模型—求解模型—模型的改進—將結(jié)果返回現(xiàn)實中解決問題等一系列流程。在教材梳理的過程中，我們沒有將“模型的改進”作為一項問題篩選的指標(biāo)，因為大多數(shù)建模問題的模型以及結(jié)果都是唯一確定的，并沒有給學(xué)生改進模型的空間。在選取的123例中，只有24例在數(shù)學(xué)建模的過程中涉及模型的改進，其中人教A版獨占20例。而所涉及的問題主要是變量關(guān)系的確定或方案的設(shè)計，因為這類問題往往沒有標(biāo)準(zhǔn)答案，故學(xué)生可對自己選擇的模型進行改進與優(yōu)化。如變量關(guān)系的確定，有些關(guān)系可以用多種函數(shù)模型加以描述，當(dāng)學(xué)生選擇一種模型完成數(shù)學(xué)建模解模后，他們可以選擇另外一種模型進行描述，并對兩種模型進行比較，若后者優(yōu)于前者，則可以對之前的模型進行完善。方案的設(shè)計也是如此。

三、建議

學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中接觸較多的是傳統(tǒng)的應(yīng)用問題，對數(shù)學(xué)建模問題相對陌生，其主要原因是數(shù)學(xué)教材中，純正的數(shù)學(xué)建模問題較少，教師沒有抓手，無法進行相應(yīng)的教學(xué)。根據(jù)對教材的研究，筆者認(rèn)為教材中的建模問題應(yīng)盡可能具備以下特征：①問題情境應(yīng)盡量保留最原始的現(xiàn)實情境，不要做過多的簡化與假設(shè)，否則在學(xué)習(xí)的過程中，學(xué)生缺乏對問題的分析和假設(shè)，自身的思維品質(zhì)和創(chuàng)新能力將無法得到提高;②解決問題的模型應(yīng)具有多樣性，并且不同的模型能夠反映學(xué)生的不同水平。正如張思明總結(jié)國外教材變化時所說，應(yīng)用題要向數(shù)學(xué)建模問題不斷過渡，表現(xiàn)為：問題的來源更生活化，更貼近實際;條件和結(jié)論更模糊;可用信息和最終結(jié)論更有待學(xué)生自己的挖掘。另外，以建模問題為工具進行新知識、新模型的教學(xué)是一個不錯的手段;較復(fù)雜、較綜合的建模問題可以以課題、探究性活動等形式呈現(xiàn)。

除了教材中數(shù)學(xué)建模問題的設(shè)置需要進行適當(dāng)調(diào)整外，教師對數(shù)學(xué)建模的態(tài)度以及教學(xué)方式也需要有所改變，不能按照以往的應(yīng)用題的教學(xué)方式去教授數(shù)學(xué)建模。另外，在學(xué)生掌握常見數(shù)學(xué)模型的同時，也要鼓勵學(xué)生打開思路，對數(shù)學(xué)模型進行不斷的挖掘與創(chuàng)新。

責(zé)任編輯：黃大燦