淺析圓錐曲線中的探究性問題

趙善華

(華東師范大學(xué)附屬周浦中學(xué)，201318)

探究性問題是一種開放性問題,其特點(diǎn)是命題中缺少一定的條件或無明確結(jié)論,需要經(jīng)過猜測(cè)、歸納并加以證明的題型.圓錐曲線的探究性問題主要是結(jié)論探究的開放性問題,如探究位置關(guān)系、研究對(duì)象的存在性、定點(diǎn)問題等等,其結(jié)果有結(jié)論存在和結(jié)論不存在兩種情形.這類題型在考查圓錐曲線基礎(chǔ)知識(shí)及幾何性質(zhì)的同時(shí),能很好地考查學(xué)生的運(yùn)算求解、推理論證等數(shù)學(xué)能力,對(duì)學(xué)生的綜合能力要求較高.本文舉例說明求解圓錐曲線中探究性問題的常見解題思路,不到之處敬請(qǐng)同行批評(píng)指正.

一、數(shù)形結(jié)合,注重特殊與一般

(1)求橢圓E的方程；

(2)設(shè)動(dòng)直線l:y=kx+m與橢圓E有且只有一個(gè)公共點(diǎn)P,且與直線x=4相交于點(diǎn)Q.試探究:在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在定點(diǎn)M,使得以PQ為直徑的圓恒過點(diǎn)M?若存在,求出點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,說明理由.

(2)解法1 假設(shè)存在定點(diǎn)M滿足條件,由對(duì)稱性可知點(diǎn)M必在x軸上,可設(shè)M(t,0).

評(píng)注本例在探索定點(diǎn)M的存在性時(shí), 由圖形的對(duì)稱性得到M存在時(shí)必定在x軸上,由此可減少未知數(shù)的引入，降低問題求解的難度.解法2以特殊情況探路,再對(duì)一般性驗(yàn)證,使探索目標(biāo)更加明晰,能有效考查學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

二、引參消參,借力設(shè)而不求

(1)求橢圓C的方程；

(2)AB是經(jīng)過右焦點(diǎn)F的任一弦(不經(jīng)過點(diǎn)P),設(shè)直線AB與直線l相交于點(diǎn)M,記PA、PB、PM的斜率分別為k1、k2、k3.問:是否存在常數(shù)λ,使得k1+k2=λk3?若存在,求λ的值;若不存在,說明理由.

=2k-1.

評(píng)注引參消參、設(shè)而不求是求解解幾問題的重要方法與手段. 本題通過引入直線AB的斜率k,借助點(diǎn)A、B的坐標(biāo)為橋梁,用k去表示k1、k2、k3,將k1+k2=λk3轉(zhuǎn)化為關(guān)于k的方程.該方程有解，則說明實(shí)數(shù)λ存在，否則λ不存在.本題也以先考慮特殊情況k=0探索出λ=2,再對(duì)一般情形驗(yàn)證.

三、類比推理,優(yōu)化計(jì)算

(1)求C1、C2的方程；

(2)設(shè)C2與y軸的交點(diǎn)為M,過坐標(biāo)原點(diǎn)O的直線l與C2相交于點(diǎn)A、B,直線MA、MB分別與C1相交于點(diǎn)D、E.

(i)證明:MD⊥ME;

評(píng)注本題用k1去表示點(diǎn)A、B、D、E的坐標(biāo)及面積S1、S2時(shí),根據(jù)計(jì)算途徑的相似性運(yùn)用類比推理,極大地優(yōu)化了計(jì)算的進(jìn)程.

總之,圓錐曲線中的探究性問題的常用解題策略有兩種：一是先假設(shè)研究對(duì)象存在或結(jié)論成立，然后引進(jìn)未知數(shù)、參數(shù)并建立與其有關(guān)的等量關(guān)系，若能求出相應(yīng)的量，則表示研究對(duì)象存在或結(jié)論成立，否則表示研究對(duì)象不存在或結(jié)論不成立；另一種方法是在假設(shè)研究對(duì)象存在或結(jié)論成立的前提下，利用特殊情況作出猜想，然后加以驗(yàn)證.另外，簡(jiǎn)化計(jì)算過程也是解答解幾問題過程中需要考慮的要素.