從意料之中到意料之外*
——由學(xué)生自主析題引發(fā)的核心素養(yǎng)培養(yǎng)的思考

祁國(guó)偉

(福建省莆田市第六中學(xué)，351111)

隨著高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)理念的提出,如何提升學(xué)生的核心素養(yǎng),找到其落實(shí)的路徑成為高中數(shù)學(xué)教師的研究課題．課堂教學(xué)一直以來都是以教師為主導(dǎo),包括啟發(fā)式教學(xué)也是教師在啟,忽視了從學(xué)生角度看待數(shù)學(xué)知識(shí)與數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).換句話說，就是教師經(jīng)常把我們認(rèn)為的核心素養(yǎng)啟發(fā)給學(xué)生,而忽視了學(xué)生在看到題目后的數(shù)學(xué)思考及決策.一道題目可能入口很多,怎么決策才是數(shù)學(xué)的“眼光”,才是知識(shí)與素養(yǎng)的生成過程？本文以一次月考后的學(xué)生析題為例,談?wù)動(dòng)嘘P(guān)核心素養(yǎng)培養(yǎng)的思考．

一、教學(xué)案例

例題如圖1，已知?ABC中,A=2B,AB=10,AC=8,則?ABC的面積是______.

本題為我校20屆高三上學(xué)期期中考試的試題,命題背景為人教A版必修5第一章復(fù)習(xí)參考題B組第3題的改編,筆者預(yù)設(shè)有下面兩種解答.

解法1注意到已知兩邊長(zhǎng)及內(nèi)角的倍角關(guān)系,故考慮余弦定理．

評(píng)注該解法側(cè)重于代數(shù)基本思想(即變量與方程),難點(diǎn)在于運(yùn)算量大,方程看似簡(jiǎn)單,但次數(shù)較高,系數(shù)偏大,學(xué)生耗時(shí)多,更多的是培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力．

評(píng)注該解法以幾何關(guān)系為突破口,構(gòu)造角平分線得到一個(gè)四點(diǎn)形.優(yōu)點(diǎn)在于每個(gè)小三角形的數(shù)據(jù)比較簡(jiǎn)單,利用兩個(gè)三角形關(guān)系得到的方程比解法1更簡(jiǎn)潔．需要指出的是，解法2要求學(xué)生動(dòng)手作基本圖形,且要求學(xué)生通過添加輔助線體現(xiàn)出題干中倍角的幾何關(guān)系,對(duì)幾何作圖和幾何直觀有較高的要求．

課堂中，筆者隨機(jī)抽取一名同學(xué)進(jìn)行解答,不出意料,他所采用的是預(yù)設(shè)解法1,該生自言考場(chǎng)上耗時(shí)約10分鐘.緊接著，筆者課堂提問如何改進(jìn)對(duì)問題的解答，學(xué)生給出的如下析題卻大大出乎筆者的意料．

另解1將解法1中的邊長(zhǎng)數(shù)據(jù)同時(shí)縮一半,即先求AB=5,AC=4時(shí)三角形的面積,再同時(shí)擴(kuò)大兩倍即可．(具體過程略)

評(píng)注將數(shù)據(jù)縮小一半,使運(yùn)算量得到優(yōu)化．這看似簡(jiǎn)單但效果很好,體現(xiàn)了該生對(duì)算理(即相似三角形)的理解非常到位,對(duì)數(shù)據(jù)簡(jiǎn)化這個(gè)算法的應(yīng)用嫻熟．?dāng)?shù)學(xué)運(yùn)算這個(gè)核心素養(yǎng)的難點(diǎn)就在于算法與算理的優(yōu)化,從該解法我們可以看到素養(yǎng)培養(yǎng)的路徑之一:聚焦目標(biāo),優(yōu)化算理．

評(píng)注該生的這個(gè)解法是教師沒有預(yù)設(shè)到的,其核心是四點(diǎn)形的應(yīng)用.通過構(gòu)造法使得題干數(shù)據(jù)歸結(jié)到等腰?ACE,避開BC邊長(zhǎng)的計(jì)算,直接找到AB邊上的高,從而得出面積．該解法反映了數(shù)學(xué)直觀素養(yǎng)的重要性.把解三角形問題視為幾何問題,可以改變我們?cè)诮虒W(xué)時(shí)存在的重代數(shù)輕幾何的現(xiàn)象,將數(shù)形結(jié)合思想成為學(xué)生自發(fā)的一種行為準(zhǔn)則,使數(shù)學(xué)直觀素養(yǎng)的培養(yǎng)水到渠成．

需要指出的是：另解2略有邏輯上的缺陷,就是E點(diǎn)是否存在需要說明．課堂上也有學(xué)生指出這個(gè)問題,于是筆者將問題拋給學(xué)生當(dāng)場(chǎng)解決,結(jié)果同學(xué)們開始嘗試幾何解決，其解法如下:

綜合以上幾種改進(jìn)解法，都是在構(gòu)造四點(diǎn)形,都需要幾何直觀素養(yǎng)的參與.這提醒我們要提升學(xué)生的幾何直觀素養(yǎng)，應(yīng)該鼓勵(lì)學(xué)生對(duì)幾何問題的幾何本質(zhì)作出思考.優(yōu)化幾何對(duì)象及其關(guān)系,嘗試用圖形語言表達(dá)數(shù)量關(guān)系，使數(shù)形結(jié)合的解題思想落到實(shí)處，特別是解三角形和解析幾何這兩類主干知識(shí)．

二、延遲測(cè)檢

為了知道直觀想象在解三角形中的落地情況,兩周后筆者在課堂上給出下面兩道測(cè)試題,測(cè)試時(shí)間為20分鐘．

例1(2014年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽一試題改編)如圖5，設(shè)橢圓Γ的兩個(gè)焦點(diǎn)是F1、F2,過點(diǎn)F1的直線與Γ交于點(diǎn)P、Q,若|PF2|=|F1F2|,且3|PF1|=4|QF1|,則橢圓Γ的離心率為______.

學(xué)生給出的解答如下.

評(píng)注也有學(xué)生分別在?PF1F2和?QF1F2中利用∠PF1F2和∠QF1F2的余弦值相反，解得c=5m．

解法2注意到|PF2|=|F1F2|,如圖5，作F2M⊥PQ于點(diǎn)M,則點(diǎn)M為PQ中點(diǎn).設(shè)|PF1|=4m,|QF1|=3m,同解法1可知|PF2|=2c,|PM|=2m,|QF2|=m+2c,|QM|=5m.由PF22-PM2=QF22-QM2,可解得c=5m．

評(píng)注使用解法1的學(xué)生最多(接近一半),但計(jì)算量最大,說明在計(jì)算的選擇上并沒有認(rèn)真分析；用解法2的學(xué)生大約有四分之一，表明他們已經(jīng)有很明顯的幾何直觀優(yōu)先的思維了,值得稱贊．

例2(2019年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽江蘇省預(yù)賽題)已知?ABC中,AC=8,BC=10,32cos(A-B)=31,則?ABC的面積是______.