三重境界 潤物無聲
——處理二元三角方程(組)問題的點滴感悟

顧旭東

(江蘇省海門中學，226100)

高中生對常規(guī)的二元方程組的求解總是得心應手,但對一些與三角函數有關的二元方程組求解時則顯得心有余而力不足,操作起來缺少針對性的方法. 本文對一些常規(guī)問題稍作整理,以饗讀者.

一重境界——看得見算得出，望盡天涯路

例1若sinα+sinβ=1,cosα+cosβ=0,求cos 2α+cos 2β的值.

所以,cos 2α+cos 2β=(1-2sin2α)+(1-2sin2β)=1.

評注本題的源頭是求cos(α-β)的值,許多教學只關注三角式的結構特征,兩式平方相加即可獲解,缺少深挖問題潛在價值的思考.事實上,若題目變?yōu)榍骳os(α+β),可能會讓很多學生走入困境,而本例消元求解的策略給我們指明了方向,有經驗的老師會把求cos(α+β)與cos(α-β)結合起來,讓學生通過解法比較,使課堂效率產生最大化.

二重境界——想得出算得到，一葉難障目

例2銳角α、β滿足3sin2α+2sin2β=1,3sin 2α-2sin 2β=0,求α+2β的值.

即 9sin4α+9sin2αcos2α=1,

評注解法1固然能順利獲解,但與解法2相對可以秒殺的結局,方法的優(yōu)劣立判高下.鮮明的對比告訴我們，在平時的教學中需要我們教師潛移默化、潤物無聲地培養(yǎng)學生的數學素養(yǎng),學會從不同角度看問題.當然,對于學生而言,只有通過對數學的多練、多思、多悟,數學的感覺才能逐漸培養(yǎng)起來.

三重境界——看不見摸不著，燈火闌珊處

解方程的兩個根為

=sin(45°±40°),

于是,x1=sin 5°,x2=sin 85°,即α=5°,β=85°.

評注本題源于2012年江蘇高考第15題.原題作為解答題的第1題，命題者顯然不會刻意為難考生,然而當年百分之九十的考生卻為此失分,或由于思考時間過長而直接影響后續(xù)的解題,原因就在于有效解方程組的思路在那時沒有想出來.本改編題求解時需要從函數名的角度挖掘兩方程間的內在聯(lián)系,結合消元思想使問題獲解.