例談伸縮變換在橢圓問題中的應(yīng)用

符強如

(新疆烏魯木齊市實驗學(xué)校，830026)

解析幾何中與橢圓相關(guān)的問題經(jīng)常出現(xiàn).此類問題的常規(guī)求解過程復(fù)雜繁瑣,利用高中數(shù)學(xué)選修課程中的伸縮變換可以優(yōu)化計算,降低解題難度.

本文以高考題為例,展示伸縮變換的具體應(yīng)用.

(1)求曲線C的方程;

(2)過坐標原點的直線交C于P、Q兩點,點P在第一象限,PE⊥x軸,垂足為E,連結(jié)QE并延長交C于點G.

(i)證明:?PQG是直角三角形;

(ii)求?PQG面積的最大值.

回代到橢圓中,得kPGkPQ=-1,即PG⊥PQ,?PQG是直角三角形.

評注此題原解答比較繁瑣.利用伸縮變換及?P′Q′G′為直角三角形,并結(jié)合夾角定理,將S?P′Q′G′表示為單變量θ的三角解析式,使運算更簡潔,簡化了問題求解.

評注此題應(yīng)用伸縮變換將問題變成初中平面幾何問題(即相似三角形問題),并且?OA′B′是等腰三角形,使結(jié)論顯而易見,解題運算量大大減少.

(1)求橢圓C的方程及離心率;

(2)設(shè)P為第三象限內(nèi)一點且在橢圓C上,直線PA與y軸交于點M,直線PB與x軸交于點N,求證:四邊形ABNM的面積為定值.

由|B′M′|=|B′O|+|M′O|,得|B′M′|=2+2tan∠P′AO;同理得|AN′|=2+2tan∠P′B′O.故

=2(1+tanα)(1+tanβ).

評注將橢圓變成圓后,充分利用圓中同弧所對圓周角是圓心角的一半是解答該題的關(guān)鍵,順利將解幾中的面積問題轉(zhuǎn)化為三角問題,優(yōu)化了計算途徑與過程.

(1)求C1、C2的方程;

(2)過F1作C1的不垂直于y軸的弦AB,M為AB的中點,當(dāng)直線OM與C2交于P、Q兩點時,求四邊形APBQ面積的最小值.

(過程略)

評注本題利用伸縮變換將橢圓變成圓、雙曲線變成等軸雙曲線,使圓的直徑恰好等于雙曲線的實軸長,圓的直徑是線段P′Q′的一部分.再結(jié)合圓的垂徑定理,得出SP′A′Q′B′僅與cos∠M′OF1有關(guān),使面積的最小值輕松求出.